应用数理统计习题答案_孙荣恒(全)

3.(1)[||]0.140

(2)[||]0.1

(,4),(,),(0,)

[||]20.1

800

255

(3){||0.1}2(10.95

1.961537

E a D n

E a

N a N a t a N

n n

E t t dt

P t P

ξξ

ξξξ

+∞

-==≤?=

-≤

==≤

≤=≤=Φ-≥

=?≥

:::

《应用数理统计》参考答案

习题一

0.5

1.(,0.5)(,)

{||0.1}0.997

2.97442

N a N a

P a P

ξξ

-<=<=

=?=

2.(,4)(,)

100

(1)(||)()0.90,0.33

0.20.2

(2):

P(||)

N a N a

a U

P a U P U

ξξ

ξε

-<=<==

-≥≤

挈比学夫不等式

(5)(5)1255

15(3){15}1{15}1{15,15,,15}121512

1[{

}]22

1[1(1.5)]0.292

P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->

=--Φ=L 1

121212111

()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n n

m n

m n m n m n

i i P k pq P M m P m m m P m m m pq

pq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑Q K K 4.

5. 6. 13

.0)25

(1}8

.012

138

.012{

}13{)

,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N Θ(1)(1)12555115

15(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]121012

1[1{

}]22

1[11(1)]0.579

P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤

=--+Φ=L 6(1)0.001567.2

800~(0.0015)

(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞

-->=>==?Q 6(6)30000.00156 4.56

(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-?

1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n n

P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+K K

7．

均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和

由中心极限定理：

10.

11.

22222(1)

(1)(1)

()222~()()()[()](,)it it

it n e n n e n e it i t t t n it it n n n n p t e t t e e n e e e N n λξλλξξλλλλλξλ???λ

ξλ---+--∴=∴======∴Q

:12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151

~(0,)2

{||0.3}1220.67

N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=Q 2(),(),

E a D ξξσ==

Q 12

(0,1)(0,1)~(,)n n i i i n

i i na a n N N N a n n

ξξσξσξ==--∴∴=∑

∑

::22222

222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k k

k k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a n

ξξξξξ===-=--∴==-∴:22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=

13.

14.

15.

16.

,(),(),()

()0,()()()

(1),

[()]

(1)1

i i

i i i

E a E a D D

E D D D

n D nD

ES n D

n n

E ES D

n n n

ξξξσξ

ξξξξξξ

σξ

ξξ

ξξξ

====

∴-=-=+

===-

-==

∑

222

(1),

()(1)()

2(1)21 ()2(1)() ns

ns n

E n Es O

n n

ns n

D n Ds O

n n n χ

σσ

=-?==+

=-?==+ :

1232

''' '

2(121)

(1)()()()()

5231

()(121)2302

3021

D E E E EA E E A AVar A

ξξξξξη

ηηηηηξξξξξ

-+=-==

=--=--

????

???

==--=

???

????

122

'''

110

(2)(,)

111

()()()()

5231

()(121)2302

3021

E E E EB E E B BVar B

ηηηξξ

ηηηηξξξξ

?? ?

===

? ?

?? ?

∑=--=--

????

???

==--=

???

????

()

(2)||

2241

2811

x x

e dx dxπ

- ?

∞∞

????

-∞-∞

=∑

????

∑==

? ?

????

17.

18.

21.

22.

()

122

111

110

(,),

1115

1101

21111

111100

13011

11003

10110

N A A A

A A

ηηθ

???? ?

? ? ?

?? ?

∑

????

? ?

????

???

∑=-=

? ?

???

????

???

????

‘

＝，由引理1.2.3，则

－

的联合分布为

－

111

~(,),

1011

1114321

111

111213

0111

210.

N A A A

A A

ξξ

ηθ

ρρ

ρρηη

???? ?

? ? ?

?? ?

∴∑

????

+--????

???

∑=-=

? ?

???

---

????

???

????

∴--=?=-

Q＝=A，

－

时与独立

''44

''22

'''''' 44224

(0,)

(,)()()2()

()()()()

cov(,)(,)()() ()()2()()()2()

N I

E A B tr A tr B tr AB

E A E B tr A tr B

A B E A B E A E B

tr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσ

ζζζζσσ

ζζζζζζζζζζζζ

σσσσσ

∴=-

=+-=

()11

1122

2,1,1,0

2177

1224

y y Q

a b

θθ

--=

????

?===-=

????

∴=∑== ?

? ?

????

23.

24.

又则令则

与独立，则与

独立，且

26.

则

2122

1~(,),~(0,),

~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-Q ::'

11111(,,),(,,)111

(,,),()11n n n ij n n n n i i i i

a a B D n

n n ξξθξσσσσδσσ?======-∑∑

K K K '2,0,D D D BD ===22

1(,)(,)1()

n n

i i n

nB N a N I ηξθσσ===∑

:,i i i a ξγσ-=2

'11,()()()

i i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑

B n

ηξ=ξηζ)1(~2

-n χζ11

(,)

22U ξθθ-+:(1)()12

221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------?-<<+

?=???==-+∴=-=??-+==?+-=--=?-?-?

27.

33.

2222

(0,),

()||

2 ()()()()

(1)

Y a N

E d Y dy

D d

E d E d E

n n

ξσ

σπ

σσ

ππ

∞

-∞

=-=-

=?-=-

∑?

∑

0.3

(0,0.3),(0,)

10()

(9)

0.3

10()

100.18

{}

0.30.3

{(2}0.01

N N

ξξ

=<=

∑

(2)(0,1),(1)

0.3

(9)

{0.9}0.9932

N n

P P

ξξ

<=<=

Q:::

1212

2222

(3)(0,0.18)

(0,1)

(1)

{()40}0.9

N N

ξξξ

χχ

ξξ

Q::

::::

413

(4)~(1),~(0,0.12),

10.73 {10.73}{}0.95

P P

ξχξξ

ξξ

<=<=

34.

《应用数理统计》参考答案

122

222

221

(1)(0,),(0,)

((1)

11,()()(2)

n n m

i i i i n n

n m

i i i i n N n N m n m a b n m a b n m ξσξσξ

χχσσξξχ+==++==+--==++-∑∑∑∑∑∑Q ::::::

:22

2211

(2)(),(0,)

(),n m

i i i n i n

m N n N t m c ξχξσσξξ+=+=∴=

∑∑∑∑Q ::::::222

222112

1221

(3)(),()

()/(1,1),/n

n m

i i i i n n

i i n m i i n n m n m F n m d n m ξξχχσσ

ξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑Q ::::

1. 由矩估计法

2. (1) 由矩估计法

(2)

(3)

(4)

(5)

$μ°818

2262

12266174.00281610(74.002)88610 6.85710181i i i i a X x S x n S S n σ=-=--?===????==?=-??

∴==??=?--∑

∑

$11'

1202()3

3A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=?

$111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξ

θξθξ==+==+==+-∴=-?

$1211

211122

222

221212

222222

121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθ

θθθθαθθξ

θαθθξθξθξθθξθξθ--

+∞--+∞==?=+==?===+∴=+==-+?=-?∴?=???

∑

μ111(1)122

i N

N A x N N N

ξξ=+=

==?

?=∑

g $11102()1

A dx ξξθξ===

?=-?

2∞

()

{0},

(){0}

{}()0.7,

0.7,0.525

x a

A X A

P A P dx

a a

P a p

p a

=<=

=<=Φ-=≈

∴≈=-

设表示出现的次数，

(1)

(1)()

ln()[ln ln(1)ln]

ln()1

[ln ln]ln ln0 ln ln

n n

i i

L c x

c x n c x

x n c

θθ

θθθθ

θθ

=+-+

=+-=+-=?

∏

∑

∑∑

∑

(2)()

ln()[ln1)ln]

ln()

(ln)

L x

=+=

∑

1()

()

(3)()

ln()ln

ln()

,,,,

()

0,0,

,()()

n n

L n

other other

L L

θθ

ξξθξθ

θθθ

θξ

=-=

≤≤

∏

1()

()

(3)()

ln()ln

ln()

,,,,

()

0,0,

,()()

n n

L n

other other

L L

θθ

ξξθξθ

θθθ

θξ

=-=

≤≤

∏

()

(5)()

()

ln()[ln]

2()2()

ln()

n x

i i

x x

θθθθθ

θθ

----

==?

∑

(1)

(1)(1)

(6)()

ln()[ln ln(1)ln]

ln()

(),,,

()()

c c

i n

L c x

L c c c x

L nc

L c x

L L

θθ

θθθξξ

θξθξ

=--+

=-=

=≤

≤?=

∏

∑

∏K

不能解出，所以由

(7)()1)(1)

ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]

ln()22

i i

L x

L x x

x n

L n

θθθ

θθθξ

=--

=+--+-

=-=?=

∏

∑

（

~(,0)

ξθ

∏

所以不唯一。

求不出结果

$$11()1min ~(,2)11(2)(),,,2,()(),,,222n

n n i n n U L L L ξθθθθξξθθθξξξθθθθ===<<=≤<∏

Q K K $()()111

111(1)()(1)()||(2)1()

()(1)

221(1)()(,)2,,11()22,,2

i n i n

i k l i k l i n n

x i i i n i i n x x x n i n n

n n n L f x e x x x x x x L e e n n θ

θθθθθθξθθξξ===+--==+---+-++==<<<<<<∑∑∑==???=?+???∏∏

K L L 为奇

时L()达到最大值为偶$$11

(1)()

1111~(,),,,22221

()1,11()()22

n n

i n U L or ξθθθξξθθθθξξθθξ=-+-<<+==+--+∴==∏

Q K $0()011

010

(1)(),ln ()[ln ()ln ]ln ()1()0i n n x t i i i n i n i i i L e L x t L n n x t x t x nt βββββββθββ--=====

=+-?=--=?==?--∑

∏∑

∑

μμ001()000110

010

00(1)0(1)0(1)

(2)(),ln ()[ln ()]

ln ()0,,,()()(),,i n

i n n

x t i i i n nt x n L t e L t x t L t n t t L t L t L e t t ββββββξξξβξξ=--==-==--?==

∏K

10.

11.

12.

μμ

()

122

121

222

1(1)2(1)

(,)

ln(,)ln

ln(,)

n x

i i

L e e

x n

L n

n n

θθ

θθθ

θθ

θθθ

θθξ

θθθθ

θξθξξ

∑

=--+

=-+-=?+=

∴==-

∏

∑

~(,),~(,),~(0,),

(),

n n

i i

N a N a N

n n

E E x dx

k k

x dx

ξσξξξσ

σξξ

+∞

-∞

∴=-=

+-=

∑∑?

∑

μμ

~(0,),

()/()

()

x x

a N

E a x dx x dx

E E a n

e D

σσ

ξσ

σξσ

σσ

+∞??

-∞

∴-=-

?=-==

13.

μμμμμμμμμμ112223331

112223331

1231,()1,2319,,55101012,3349131982,,2525251010100145,999

,,,i i E E a D D Ea E E a Ea E E a Ea E E a Da D D Da D D Da D D a a a a Da ξξξξξξξξξξξξξξξξ=====+==+==+==+==+==+=∴Q 都是的无偏估计量最小μμμμμμ

μμμμμμ2211112222112211221212

2222

112212122222

1211221212122112121

222

,(),()()2cov(,)2(,,)2(1)220

22Ea Ea a D a D a D c a c a c Da c Da c c a a c c c c L D c c c c c c c c L c c c L c c σσρσσρσσσσρσσλσρσσλσ====∴=

+=++=++=++++-?=++=??=+?112221212121

1212010,,12c L c c c c c ρσσλσρσσλσσρσσ+=-?=+-===-?+

-$212()25

12121

2121

1212212,(1)~(,5),()()ln ()[ln ]10()2()ln ()0,1014(2)(,),(,),4314

()i x a a n i n

i i n n i i i n i i i i a a a N a a L a x a a L a x x a L a a a n n N a N a n n n n D D D n n n ξηξηξηξηξηξη-+-?======---=-+=----?=====-?--=+=+=∑∑∑∑::1222''

2222

,(1)14140,0()()n n n D D n n n n n n -=-==-=--

14.

15.

()

25 1212

,(1)~(,5),()

()

ln()[]

()

2()

ln()

(2)(,),(,),

()

x a a

n n

i i i

a a a N a a L a

x a a

L a

x a

L a

a n n

N a N a

n n

D D D

n n n

ξη

ξηξη

=---=

=====-?

-=+=+=

∑

∑∑

∑

2222

1122

111

(1)

1414

0,0

()()

(3)()0,[]

n n

D D

n n n n n n

n n n n n

=-==-=

∴-+==

(1)

111

212

1122

(,),

222

()()[1()][]

111

[]

221

111

[]()

221

n n

U E A

D D

n n

g x nf x F x n x

EX nx x dx

DX nx x dx

θθ

ξθθξθξ

θθ

-++

-+∴====

=-=-+

=-+=-+

=-+--+

∑

Q的密度函数为

(1)

111

212

1122

(,),

222

()()[1()][]

111

[]

221

111

[]()

221

n n

U E A

D D

n n

g x nf x F x n x

EX nx x dx

DX nx x dx

θθ

ξθθξθξ

θθ

-++

-+∴====

=-=-+

=-+=-+

=-+--+

∑

Q的密度函数为

()

212

(1)()

()()[()][]

111

[]

221

111

[]()

221

[]

222

[]

n n

n n n n

g x nf x F x n x

EX nx x dx

DX nx x dx

E E E

D D D D

θθ

ξξθ

ξξ

ξξξ

==+-

=+-=+-

=+--+-

?=+==

=+=<

Q的密度函数为