第12章：一线三等角与全等三角形
一线三等角与全等三角形
一、一线三等角概念
“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 二、一线三等角的类型
同侧：
锐角 直角 钝角 异侧：
三、“一线三等角”的性质
当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况
例1：在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，
○
1图中有几对相等的锐角？ ○
2求证：AEC ?≌CFB ?； ○
3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.
图1 图2 图3
l
F
E B A
C
l F
E
B A
C l
F
E
B
A
C D
C
C
D C D B
A
D B C
A
A
B
巩固提高1：
1.如图，ABC ?是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，?=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○
1AE CD =； ○221∠=∠； ○3?=∠+∠9043； ○4BE AD =. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
2.适用于锐角或钝角的情况
例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 演练题：
1.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF __________.
2.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于点E ，
CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _________.
3.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作
CD AE ⊥于点E .若?=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.
43
2
1E
B D
C A
l F E
B
A
C
E
C D
B
A
E
C D
A
B
4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．
（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．
5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；