华理概率论习题6答案
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第六册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________
学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第十六次作业
一． 计算题：
1 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两
只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；
（2）用泊松分布作近似计算。
解:设不合格得产品数为ξ.
(1)4013940
(2)1(0)(1)1(0.98)(0.02)(0.98)0.1905P P P C ξξξ≥=-=-==--≈. (2)利用二项分布列的泊松定理近似,得400.020.8n np λ==?=,
0.80.8(2)10.80.1912P e e ξ--≥≈--≈.
2 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从)5.0,5.0(-上的均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？
解 设各个加数的取整误差为i ξ（1200,,2,1 =i ）。因为 i ξ～
)5.0,5.0(-U ，所以 02
5.05.0=+-==i E ξμ ，12112)5.05.0(22=+==i D ξσ （1200,,2,1 =i ）。
设取整误差的总和为 ∑==n
i i 1ξη，因为n 1200=数值很大，由定理知，这时近
似有 ∑==n
i i 1ξη～),(2σμn n N ，其中，001200=?=μn ，
10012
112002=?
=σn 。 所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为 {}12>ηP {}12121≤≤--=ηP ≈??
????--Φ--Φ-)12()12(122σμσμn n n n ?????
?--Φ--Φ-=)100012()100012(1)2.1()2.1(1-Φ+Φ-= )]2.1(1[2Φ-=2302.0)8849.01(2=-?= 。
3 设2021,,,ξξξ 是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度
???≤≤=其他0
102)(x x x ? 。 令2021ξξξη+++= ，用中心极限定理求}10{≤ηP 的近似值。
解 因为 i ξ（20,,2,1 =i ）的概率密度为 ?
??≤≤=其他0102)(x x x ? ，所以 3
2d 2d )(1
02===??∞+∞-x x x x x E i ?ξ ， 1819421)32(d 2)()(210322=-=-=-=?x x E E D i i i ξξξ。 由中心极限定理可知，这时近似有 ∑==20
1i i ξη～),(2σμn n N ，其中，20=n ，
3403220=?
==i nE n ξμ，9
10181202=?==i nD n ξσ 。 所以， }10{≤ξP ≈)91034010()10(2
-Φ=-Φσμn n ≈)16.3(1)16.3(Φ-=-Φ≈008.0 。
4. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布(0.2)P ，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。
解 设i ξ是第i 页印刷错误的个数，已知i ξ～)2.0(P ，1,2,,300i =，它们相互
独立，由普阿松分布可知的可加性，所以，300页书的错误总数∑==300
1i i ξη～
)60(P 。
直接用普阿松分布计算，则有
{}{}7070
6000600700.909813!k
k k P P k e k ηη-==≤≤===≈∑∑ 。
下面用独立同分布中心极限定理近似计算。
因为i ξ～)2.0(P ，300,,2,1 =i ，
独立同分布，λξ=i E 2.0=，λξ=i D 2.0=，300,,2,1 =i ，根据独立同分布中心极限定理，可认为 ∑==300
1i i ξη近似服从正态
分布),(2σμn n N ，其中 602.0300=?==i nE n ξμ , 602.03002=?==i nD n ξσ。
所以
}700{≤≤ηP ≈)6060
0()6060
70(-Φ--Φ)6060
()6010
(-Φ-Φ=
≈)75.7()29.1(-Φ-Φ≈09015.0-9015.0= 。
5. 设有30个相互独立的电子器件1230,,,D D D ，它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 立即使用；2D 损坏，3D 立即使用，…。设器件i D ()1,2,,30i =的寿命服从参数为0.1λ=（1/小时）的指数分布，令T 为30个器件使用的总计时间。问T 超过350小时的概率是多少？
解 设i ξ是第i 个电子器件的寿命，已知i ξ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，它们独立同分布，101.011
===λξi E ，1001
.01122===λξi D ，30,,2,1 =i 。 根据独立同分布中心极限定理，可认为 ∑==30
1
i i T ξ近似服从正态分布
),(2σμn n N ，其中 3001030=?==i nE n ξμ , 3000100302=?==i nD n ξσ。 所以
}350{>T P }350{1≤-=T P ≈)3000300
350(1-Φ-)300050
(1Φ-=
≈)913.0(1Φ-≈1814.08186.01=- 。
6. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏
的概率都是0.1，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有88%的部件起作用。
（1）已知系统中共有900个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地工作的概率）。
（2）为了使整个系统的可靠性达到0.99，整个系统至少需要由多少个部件组成？ 解 设ξ是起作用的部件数 ，ξ～),(p n b ，
当n 比较大时，近似有ξ～),(npq np N 。 （1）900=n ，9.0=p ，1.01=-=p q ,810=np ，81=npq 。
整个系统要能可靠地工作，至少要有 792%88900%88=?=?n 个部件起作用，
所以，这时系统能可靠地工作的概率等于
}900792{≤≤ξP ≈ )81810
792()81810
900(-Φ--Φ)2()10(-Φ-Φ= ≈ 9772.0 ；
（2）设至少需要n 个部件，n np 9.0=，n npq 09.0=。
这时系统能可靠地工作的概率等于
}88.0{n n P ≤≤ξ≈)09.09.088.0()09.09.0(n n
n n n
n -Φ--Φ=)15
()3(n n -Φ-Φ ≈)15(1n -Φ-)15
(n Φ= （ 因为本题中n 很大，3n 的值远远超过了4，所以可以认为 )3
(n Φ≈1 ） 。 要99.0)15(≥Φn ，查表可得3263.215
≥n ，即2)153263.2(?≥n ≈1218 ， 即如果整个系统可靠性要达到99.0，它至少需要由1218个部件组成。
7. 某单位设置一台电话总机，共有200个分机。设每个分机在任一时刻要使用外线通话的概率为5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线，才能以90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解 设ξ是要使用外线的分机数，ξ～),(p n b ，200=n ，05.0=p ，95.01=-=p q 。
近似有 ξ～),(npq np N ，其中 1005.0200=?=np ，5.995.010=?=npq 。 设k 是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即 k ≤ξ 的概率要大于90％，即要有
}{k P ≤ξ≈9.0)5.910(
≥-Φk 。 查表可得 2816.15.910
≥-k ，解得 5.92816.110?+≥k ≈95.13，大于它的最小整
数是14，所以，需要设置14条外线。
第十七次作业
一．计算题：
1. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有100000人参加这项保险，每人每年需付保险费20元，在此类保险者里，每个人死亡的概率是0.002，死亡后家属立即向保险公司领得8000元。若不计保险公司支出的管理费，试求：
（1）保险公司在此项保险中亏本的概率；
（2）保险公司在此项保险中获益80000元以上的概率。
解：设ξ是死亡的人数，ξ～),(p n b ，100000=n ，002.0=p ，998.01=-=p q 。近似有 ξ～),(npq np N ，200002.0100000=?=np ，6.199998.0200=?=npq 。 保险公司的净获益为 ξ800010000020-?。
（1）当 ξ800010000020-?0< ，即 250>ξ时，保险公司在此项保险中亏本，其概率为
}250{>ξP ≈)6.199200
250(1-Φ-≈)539.3(1Φ-≈0002.0 ；
（2）若要 ξ800010000020-?80000>，必须有 240<ξ，这时，概率为
}240{<ξP ≈)6.199200
240(-Φ≈)831.2(Φ≈9977.0 。
2. 某种福利彩票的奖金额ξ由摇奖决定，其分布列为
若一年中要开出300个奖，问需要准备多少奖金总额，才有95%的把握，保
证能够发放奖金？
解 设需要资金总额为b,设i ξ表示第i 个奖金额,其中1,2,,300i =,其期望和方差分别为29,764i i E D ξξ==,利用独立分布中心极限定理近似,得
300
1()0.95i i P b ξ=≤=∑, 0.95300764Φ=?,查表得 1.6449300764=?,即9487.5b ≈.
3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品不少于10个，则认为这批产品不能接受，应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9。
解 设要检查n 个产品，ξ是其中的次品数，ξ～),(p n b ，1.0=p ，9.01=-=p q 。近似有 ξ～),(npq np N ，n np 1.0=，n n npq 09.09.01.0=?= 。
当10≥ξ时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为
}10{n P ≤≤ξ≈)09.01.010()09.01.0(n n n n n -Φ--Φ )09.01.010()3(n
n n -Φ-Φ= ≈)09.01.010(1n n -Φ-)09.0101.0(n
n -Φ= （ 因为本题中n 很大，n 3的值远远超过了4，所以可以认为 )3(n Φ≈1 ） 。
现在要}10{n P ≤≤ξ)09.010
1.0(n n -Φ=9.0≥，查表可得2816.109.010
1.0≥-n n ，即有
01038448.01.0≥--n n 。 这是一个关于n 的一元二次不等式方程，解这个方程，得到 1055.12≥n 或 2607.8-≤n ，但n 不可能小于负值，所以只有1055.12≥n ，平方后得到
2)1055.12(≥n 543.146= ，
大于543.146的最小整数是147，即只要检查147个产品即可达到要求。
4. 分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的概率在4.0～6.0之间的概率不少于90%。 解 设要掷n 次硬币，ξ是掷出的正面数，ξ～),(p n b ，
5.0=p ，5.01=-=p q ，n np E 5.0==ξ，n n npq D 25.05.05.0=?==ξ 。
（1）用切比雪夫不等式估计。
=≤≤}6.04.0{n P ξ?
?????≤-1.05.0n P ξ}1.05.0{n n P ≤-=ξ }1.0{n E P ≤-=ξξ2)1.0(1n D ξ-≥n n n 25101.025.012-=-= 。 现在要 =≤≤}6.04.0{n P ξ9.0251≥-
n ，即要有 2509
.0125=-≥n 。用切比雪夫不等式估计，需要掷250次。
（2）用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计。 因为ξ～),(p n b ，近似有ξ～),(npq np N ，n np 5.0=，n npq 25.0= 。
=≤≤}6.04.0{n P ξ
}6.04.0{n n P ≤≤ξ≈)25.05.04.0()25.05.06.0(n n
n n n
n -Φ--Φ
)2.0()2.0(n n -Φ-Φ=1)2.0(2-Φ=n 。
现在要 =≤≤}6.04.0{n P ξ
9.01)2.0(2≥-Φn ，即要有95.0)2.0(≥Φn ，查
表可得 6449.12.0≥n ，即有 6424.67)2
.06449.1(2=≥n 。大于6424.67的最小整数是68，
用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计，只要掷68次就可以了。
5. 设}{n ξ为独立同分布随机变量序列，1(log )(1,2,)2
n P k n ξ=±==k 为大于零的常数，试证}{n ξ服从大数定理。
解 }{n ξ是独立同分布随机变量序列，0)log (21log 21=-+=
k k E n ξ，数学期望有限，
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征 习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解： 由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
华东理工大学概率论答案-4,5,6
华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第二册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第四次作业 一． 填空题： 1．设事件A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ∪＝ 4/9 2． 设A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ， P(A)=P(B)=P(C)< 21, 16 9)(=∪∪C B A P 则P(C)= 0.25 3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ∪=，则(|)P A B = 13，(|)P B A =1 2 。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==，(|)0.4P A B =，则()P AB = 0.2，()P A B ∪= 0.6， (|)P B A = 2 3 。 二． 选择题： 1. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ） A．)(b a a + B．11?+?b a a C． )1)(() 1(?++?b a b a a a D．2 2)(b a a + 2．已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为（ B ）。 A ．A B 与互不相容； B ．A B 与独立； C ．A B ?； D ．()0.4P B A =.
华理概率论习题5答案
华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第五册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第十三次作业 一． 填空题： 1． 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为 则 ()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==??? ??+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。 2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立，1ξ~)6,0(U ，2ξ~)4,0(N ，3ξ~)3(E ，则： )32(321ξξξ+-E = ____4___，)32(321ξξξ+-D = __20_。 二． 选择题： 设),N(10~ξ，)4,0(~N η，ηξ?+=，下列说法正确的是（ B ）。 A. )5,0(~N ? B. 0=?E C. 5=?D D. 3=?D 05.15.025.02.136.0
三． 计算题： 1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为 ?????< <<<+=其他0 2 0,20)(81 ),(y x y x y x p 求)(,,ξηηξE E E 。 解：ηξE y y x x x y x y x xp E D ==+= =????6 7 d )(d 81d d ),(2020 3 4 d )(d 81d d ),()(2020=+= = ????y y x xy x y x y x xyp E D ξη 2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。 解: ),(ηξ～2, (,),(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈?=? ?? 1 1 014 ()2()3y E dy x y dx ξη-+=+= ??, 11220111 ()2()6 y E dy x y dx ξη-+=+=??, 2211161 ()()[()]6918 D E E ξηξηξη+=+-+=-= 3. 有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。
华理概率论06-6-B-试卷答案
华东理工大学2005–2006学年第二学期 《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.06 开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 一、 填空题（每题5分，共20分） （1）设 P ( A ) = 0.5 , P ( A B ) = 0.75 , a ） 若A 与 B 独立，则 P(B) ＝ 0.5 ； b). 若A 与B 不相容 ，则 P(B) ＝ 0.25 。 （2）设n X X X ,,21为总体2 ~(,)N ξμσ的样本，211 1,()n n i i i i X X X U n μσ==-==∑∑， 则它们分别服从 2(,)N n μσ 和 2()n χ 分布。 （3）设随机变量,ξη相互独立，且4D D ξη=。记23,23X Y ξηξη=+=-，则 {()()(E XY EX EY -＝ 725 。 （4） 设随机变量ξ的密度函数为：01 (),120ax x p x b x x ≤
（A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）P(AB) = P(A) P(B)； （D ）()()P A B P A -=。 （2）设随机变量,ξη相互独立，且3, 2.1E D ξξ==；4, 2.4E D ηη==，则 2(2)E ξη-=（ A ）。 （A ）14.8 ； （B ） 4 ； （C ）12.4 ； （D ）其它 。 （3）设随机变量X ，Y 相互独立，服从相同的两点分布：111212-?? ????，则下列结论中肯定正确的是（ C ）： （A ）X=Y ； （B ）P(X=Y) = 0 ； （C ）P(X=Y) = 12； （D ）P(X=Y) = 1 。 （4）设(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量,U X Y V X Y =+=-独立的充要条件为（ B ）： （A ）EX EY =； （B ）2222()()EX EX EY EY -=-； （C ）22EX EY =； （D ）2222()()EX EX EY EY +=+。 三、（共10分）袋中有5个白球，3个红球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机取出一球。 （1）试求“乙取出的是白球”的概率； （2）若已知“乙取出的是白球”，计算“甲取到红球”的条件概率。 解：（1）设A ＝{ 甲取出的是白球 }；B ＝{ 乙取出的是白球 }；则 B AB AB =+，由全概率公式（或抓阄模型）， ()()()()()P B P A P B A P A P B A =+＝5435587878 ?+?=。（5分） （2） 利用贝叶斯公式，得 35()()()3 87()5()()78 P A P B A P AB P A B P B P B ?====。 （5分）
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命， 解 （1） }, 100,,1,0{ n i n i ==Ω其中n 为班级人数（2）}18,,4,3{ =Ω （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 华东理工大学概率论答案-2 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第二册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第四次作业 一． 填空题： 1． 设事件A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ?＝ 4/9 2． 设A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ， P(A)=P(B)=P(C)<21, 16 9 )(=??C B A P 则P(C)= 0.25 3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ?=，则(|)P A B = 13，(|)P B A =12 。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==，(|)0.4P A B =，则()P AB = 0.2，()P A B ?= 0.6， (|)P B A = 2 3 。 二． 选择题： 1. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ） A ．)(b a a + B ．11-+-b a a C ． )1)(()1(-++-b a b a a a D ．2 2 )(b a a + 2． 已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的 为（ B ）。 A ．A B 与互不相容； B ．A B 与独立； C ． A B ?； D ．()0.4P B A =. 3．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ） A ．一定不独立，，则若 B A AB ?=； B ．一定独立，，则若B A AB ?≠； C ．有可能独立，，则若B A AB ?≠； D ．一定独立，，则若B A AB ?= 4．设事件,,,A B C D 相互独立，则下列事件对中不相互独立的是（ C ） )(A A 与BC D ?； )(B AC D ?与BC ； )(C BC 与A D -； )(D C A -与BD . 三． 计算题： 1．设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 （1） 求任取一个零件是废品的概率 （2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工 的概率。 解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则122 1(),()33 P A P A ==, 由全概率公式得： 112221()(|)()(|)()0.030.060.0433 P B P B A P A P B A P A =+=?+?= (2)222(|)()0.02 (|)0.5()0.04 P B A P A P A B P B === 2．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 1 :2:3:9，它们在一定时间内需要修理的概率 之比为 1:3:2:1，当一台机床需要修理时，求这台 习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ）【解】(1) 11111()(1)012;82 8 4 2 E X =-? +?+?+?= (2) 222 2 2 11115()(1)012;8 2 8 4 4E X =-? +?+?+? = (3) 1(23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为 故 ()0.5830 0.34010.07020.0073E X =?+?+?+?+?+?0.501, = 5 20 ()[()]i i i D X x E X P == -∑222 (00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-?+-?++-?= 3.设随机变量X 的分布律为 且已知E （X ）123【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2 2 2 2 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多 少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1(). N N k k k P X k k P X k N N n E X N N === == == = ∑ ∑ 概率论与数理统计 作业簿（第三册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第七次作业 一．填空题： 1. ξ的分布列为: 则=E ξ 2.7 。 2. ξ的分布列为: 则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2 =E ξ24 。 二．选择题： 1. 若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ C ） 。 A ．0 B ．X C ．EX D ．2)(EX 2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） （A ）6.5 （B ）12 （C ）7.8 （D ）9 三．计算题 1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θ θ θ--?<1，求 EX 。 解 21 1 111 10011111011----====--??EX x x dx x dx x θθθθθθθθ θ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数 ,0 (=0,0 x e x p x x -?>? ≤?） 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。 解 0 1,x E xe dx ξ+∞-==? (2 )22, E E ξξ== 22204 ()()13 x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞ ----+=+=+?= ?。 3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立，用ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望。 解 设A i =｛第i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A 1)=0.1，P(A 2)= 0.2，P(A 3)=0.3 。所以 123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===??=， 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123(3)()0.006.P P A A A ξ=== 从而 00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=?+?+?+?=。 4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b ]内，求球的体积的平均值。 解 设球的直径长为ξ,且[,]U a b ξ~,球的体积为η,与直径ξ的关系为3 432πξη?? = ???,那 么,3 3223 4()()326 624b a x a b a b E E E dx b a πξπππηξ++??=?=?== ?-???. 第十五次作业 一. 选择题： 1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。 A 、11()33y p + B 、13()3y p + C 、1(3(1))3p y + D 、1 3()3 y p - 2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则 ),max(ηξζ＝ 的分布函数 )(z F ζ等于 （ B ） A ．)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξ C ．)]()([2 1 z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+ 二. 填空： 已知ξ～)1,0(N ,3 1ξη=, 则η的概率密度为=)(y η? 2 2 6 e 23y y - π 。 三. 计算题 1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。 解: ???<≥--=? ? ?<≥≤≤-=≤=0 0)()(00 }{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ 故() ?? ? ??<≥--=000)()(21 )(y y y p y p y y p ξξ η＝??? ??≤≤其他 4041 y y 2. 设随机变量X 的概率分布为： 求)2 sin( X Y π =的概率分布。 解：由于?? ? ??-==-=-=3 41 20 141)2sin(k x k x k x x π Λ,2,1=k 故随机变量Y 的可能取值为：-1，0，1。 随机变量Y 的∑∞ =-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑ ∞ =-=-?==1 4 1 415 212118121k k ； ∑∞ ====1 }2{}0{k k X P Y P ∑ ∞ ==-?==12 23112114121k k ； ∑∞ =-===1 }34{}1{k k X P Y P ∑ ∞ =-=-?= =1 4 3 415 812112121k k ， 于是随机变量Y 的分布律为： 3．设~ξ)1,0(U ，求η =ξξ ln 的分布 。 解：对应于η =ξ ξ ln ， )(2 )(ln ln x f e x y x x === ，由于 x x e x f x 1 ln 2)(2)(ln '??= 。 当)1,0(∈x 时， 0)(' 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题三 答案 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1. 222??222 ??2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1，2. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 2 4 7C 1C 35 = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ? ≤≤≤≤ ?=??? 其它 求二维随机变量(,)X Y 在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量(,)X Y 的分布密度 (34)e ,0,0 (,)0,x y A x y f x y -+?>>=? ? 其他 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量(,)X Y 的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞ +∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y x u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< (34)380102 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499.x y x y P X Y x y -+--<≤<≤=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24 (,)0,k x y x y f x y --<<< 概率论与数理统计浙大四版习题答案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为 未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1） X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== = +-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得 c X X θ-= （2） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑==n i i n i i x c n n θ θd θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量） （2） ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑ ====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大 似然估计量。 （5）∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 ， ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 第二十一次作业 一、填空题 1. 将合适的数字填入空格，其中：（1）置信水平α，（2）置信水平α-1，（3）精确度，（4）准确度。 置信区间的可信度由 （2） 控制，而样本容量可用来调整置信区间的 （3） 。 2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：g ）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布),(2σμN ，则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为 [500.4,507.1] ，总体标准差σ的置信水平为95%的置信区间为 [4.582,9.599] 。 二、选择题 1．设从总体),(~211σμξN 和总体),(~222σμηN 中分别抽取容量为9，16的独立样本，以x ，y ，2x S ，2y S 分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差， 若已知1σ=2σ，则21μμ-的95%的置信区间为（ ） A. 169(2221975 .0σσ+--u y x ，)1692221975.0σσ+-+u y x B. 169(22975.0y x S S u y x +--，)16 922975.0y x S S u y x +-+ C. 5)23((975.0w S t y x --，)5)23(975.0w S t y x -+，其中23 16922y x w S S S += D. 5)25((975.0w S t y x --，)5)25(975.0w S t y x -+，其中25 16922y x w S S S += 2．关于“参数μ的95%的置信区间为),(b a ”的正确理解的是（ ） A. 至少有95%的把握认为),(b a 包含参数真值μ； B. 有95%的把握认为),(b a 包含参数真值μ； C. 有95%的把握认为参数真值μ落在区间),(b a 内； D. 若进行100次抽样，必有95次参数真值μ落在区间),(b a 内。 三、计算题 1．设某地旅游者日消费额服从正态分布),(2σμN ，且标准差12=σ，今对该地 旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），问至少需要调查多少人？ 习题三 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (0 p 1) ，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。解(X k) 表示事件：前k 1次出现正面，第k 次出现反面，或前k 1次出现反面，第k 次出现正面，所以 P X ( k ) p k1(1p ) (1p)k 1 p,k 2,3, 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。 解从a b个球中任取r 个球共有C a b r种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有C C b k a r k，所以X 的分布列为 P X (k ) C C C bk a b r ar k，k max(0, r a), max(0, r a ) 1, ,min( , )b r ， 此乃因为，如果r a，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即 k 0 ； 如果r a 则r 个球中至少有r a个黑球，此时k 应从r a开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品1 的概率p i (i 1,2,3) ，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布 i 1 列。 . ·19· ·20 · 解 设 A i ‘第i 个零件是合格品’i 1,2,3。则 1 1 1 1 P X ( 0) P A A A ( 1 2 3 ) ， 2 3 4 24 P X ( 1) P A A A ( 1 23 A A A 1 23 A A A 1 2 3 ) P A A A ( 1 2 3 ) P A A A ( 1 23 ) P A A A ( 1 2 3 ) 1 1 1 1 2 1 1 1 3 6 ， 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 P X ( 2) P A A A ( 1 23 A A A 1 23 A A A 1 2 3 ) P A A A ( 1 2 3 ) P A A A ( 1 23 ) P A A A ( 1 2 3 ) 1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 ， 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 3 6 P X ( 3) P A A A ( 12 3 ) . 2 3 4 24 即 X 的分 布列为 . 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2, ,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； （3）A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ； （5）AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）1 23A A A ；（3） 123123123A A A A A A A A A ；（4） 12 13 23A A A A A A 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =； 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- g g g g 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 华东理工大学概率论答案, ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 华东理工大学 概率论与数理统计 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第十九次作业 一．填空题： 1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位: mm)如下: 1.23， 1.24， 1.26， 1.29， 1.20， 1.32， 1.23， 1.23， 1.29， 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望μ的估计值μ ?=257.1=x ， 标准差σ的估计值σ ?=037.01=-n s 。 2．将合适的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定 理，（4）大数定理。 矩估计的做法是用（2） ，代替（1） ，其依据是 （4） 。 3．已知总体),(~2σμN X ，其中未知参数σμ和的极大似然估计分别为 1-n S X 和，则概率}2{华东理工大学概率论答案-2
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