福建省福州一中九年级数学综合素质测试数学试卷

2008年福州一中九年级数学综合素质测试数学试卷

（满分100分，考试时间60分钟）

注意：请将选择题、填空题的答案填写在答题卷的相应位置上。

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。） 1．下列命题中一定正确的有 （1）0)2(-的相反数是0； （2）

1-=---y

x y

x ； （3）()()55102522+-++=-++y x y x y x x ．

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个 2．如图，已知⊙O 的直径AB 为cm 20，弦CD 垂直AB 于E ，

CD ＝cm 12，则AE 的长为

A. cm 1

B. cm 2

C. cm 3

D. cm 4

3．若（1，1）和（b ，21n +）是反比例函数x

k

y =图象上的两个

点，则一次函数b kx y +=的图象经过

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

4．如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90?的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为

A. 2米

B.

22米 C. 42米 D. 8

2米 5．一个均匀的正方体骰子六个面上标有数字1，2，3，4，5，6，连

续抛掷两次骰子,朝上的数字分别为m 、n ，若把m 、n 作为点P 的

横、纵坐标，则点()n m P ,落在反比例函数3

y x

= 图象与坐标轴所

围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是

A. 136

B. 19

C. 5

36

D. 16

6．方程组??

?

??-+==22x x y a y 有四组不同的解，则a 的取值范围是

A. a ＞49-

B. 4

9

- ＜a ＜49 C. 0＜a ≤49 D. 0＜a ＜49

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

B

3y x

=

7．如图，在ABC Rt ?中，90ACB ∠=?，点D 、E 分别是AC 、

BC 边的中点，CF 是斜边的中线，若cm DE 3=，则=CF ★★★★ cm .

8．d c b a ，，，为实数，现规定一种新的运算

bc ad d

c b a -=，则不等式

1

2

312+x x

＜1的解为 ★★★★ .

9．下列命题中正确的是 ★★★★ .（写出所有正确命题的序号） （1）在平面直角坐标系中，点（1，2-）与点（1-，2-）关于y 轴对称； （2）若y 与x 的函数关系为x

y 4

=

，则y 随着x 的增大而减小； （3）如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ， 12+x ，

23+x ，34+x ，45+x 的平均数是2+x ；

（4）已知1x ，2x 是方程01322=-+x x 的两个根，则

31

12

1=+x x . 10．2008年8月8日，举世瞩目的第29届奥运会将在中国首都北京举行。北京

某体育馆的座位分东、西、南、北四侧。若东侧有40排座位，第一排有50个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，则东侧每排的座位数m 与这排的排数n 的函数关系式为 ★★★★ .（401≤≤n ，且n 是正整数。） 11．在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为（1，0），将点0P 绕原点按逆时

针方向旋转45?得到1P ，延长1OP 到点2P ，使122OP OP =；再将点2P 绕着原点O 按逆时针方向旋转45?得到点3P ，延长3OP 到点4P ，使432OP OP =如

此继续下去，则点2008P 的坐标是 ★★★★ . 12．如图，在四边形ABCD 中， 60A ∠=?，90B D ∠=∠=?，

2=BC ，3=CD ，则AB = ★★★★ .

D

E A

F

B

C 60?

C

D

B

A

福州一中2008年高中招生（面向福州以外）

综合素质测试数学答题卷

一、选择题

二、填空题

7．

8．

9．

10．

11．

12．

三、解答题（本大题共3小题。第13题10分，第14、15题各15分，共40分。） 13.阅读下列范例,按要求解答问题。

例:已知实数,,a b c 满足:223

21,602

a b c a b c ++=+++

=,求,,a b c 的值. 解：2112a b c a b c ++=∴+=-，

设1212,22c c a t b t --=+=- ① 223602

a b c +++= ②

将①代入②得：2212123

()()60222c c t t c --++-++=

整理得：22(21)0t c c +++=，即22(1)0,0,1t c t c ++=∴==- 将,t c 的值同时代入①得：2

3

,23==

b a . 3

,12

a b c ∴===-.

以上解法是采用“均值换元”解决问题。一般地，若实数,x y 满足x y m +=，

则可设,22

m m

x t y t =

+=-，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题。现请你根据上述方法试解决下面问题： 已知实数,,a b c 满足:2226,12a b c a b c ++=++=，求,,a b c 的值.

14.已知点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心,动点E 、F 分别在边AB 、 AD 上移动(含端点) .

(1)如图①，若90EOF ∠=?，试证：OE OF =； (2)如图②，当45EOF ∠=?时，设,BE x DF y ==，求y 与x 之间的函数 关系式, 并写出x 的取值范围.

(3)在满足（2）的条件时,试探究直线EF 与正方形ABCD 的内切圆O 的 位置关系,并证明你的结论.

图① 图②

F E O B A C D F E

O

B A

C D

15.已知抛物线64)12(2-+--=m x m x y

(1)试说明对于每一个实数m ，抛物线都经过x 轴上的一个定点A ；

(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 、B 不重合），顶点为C ，若ABC ?

为直角三角形，试求m 的值；

(3)在满足（2）的条件时，若点B 在点A 的左侧，试问：抛物线上是否存在点

D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形?若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由.

x y

-2

-4

-3

-1

4

3

21

-4

-3-2-14

3

2

1

O

参考答案

一、选择题

二、填空题

7． 3 8．10x >- 9．(1)(3)(4) 10．49+=n m 11．)0,2(1004- 12．3

3

8 三、解答题

13.阅读下列范例,按要求解答问题。

例:已知实数,,a b c 满足：223

21,602a b c a b c ++=+++=,求,,a b c 的值. 解：2112a b c a b c ++=∴+=-，

设1212,22c c a t b t --=

+=- ①223

602

a b c +++= ② 将①代入②得：2212123

()()60222

c c t t c --++-++=

整理得：22(21)0t c c +++=，即22(1)0,0,1t c t c ++=∴==-

将,t c 的值同时代入①得：23,23==

b a . 3

,12

a b c ∴===-. 以上解法是采用“均值换元”解决问题。一般地，若实数,x y 满足x y m +=，

则可设,22

m m

x t y t =

+=-，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题。现请你根据上述方法试解决下面问题：

已知实数,,a b c 满足：2226,12a b c a b c ++=++=，求,,a b c 的值.

解： 66a b c a b c ++=∴+=-，设66,22

c c

a t

b t --=+=- ① 22212a b

c ++= 22266()()1222

c c

t t c --∴++-+=

整理得： 01241232

2=++-t c c 配方得：04)2(322=+-t c

0,2==∴t c

把2,0c t ==代入①得：2,2==b a 所以，2===c b a

14.已知点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心,动点E 、F 分别在边AB 、AD 上移动(含端点) .

(1)如图①，若90EOF ∠=?，试证：OE OF =；

(2)如图②，当45EOF ∠=?时，设,BE x DF y ==，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围.

(3)在满足（2）的条件时,试探究直线EF 与正方形ABCD 的内切圆O 的位置关系,并证明你的结论.

图① 图② 图③ 解:(1) 在正方形ABCD 中, 45EAO FDO ∠=∠=?，OD AO =，90AOD ∠=?,

又90EOF ∠=?

∴AOF EOF AOF AOD ∠-∠=∠-∠,即DOF AOE ∠=∠ 在AOE ?和DOF ?中

()EAO FDO AO DO

AOE DOF ASA AOE DOF ∠=∠??

=∴?????∠=∠?

OE OF ∴= (2) 在BEO ?和DOF ∠中

135EOB BEO EOB DOF BEO DOF ∠+∠=∠+∠=?∴∠=∠

又45EBO ODF ∠=∠=?BEO ∴?∽DOF ?BE BO

DO DF

∴=

,BE x DF y ==，OB OD ===y =

2(12)y x x =∴≤≤ （3）EF 与O 相切

BEO ?∽DOF ? BE OE

DO OF

=∴

又DO OB = BE OE BO OF

=∴ 又45EBO EOF ∠=∠=∵°BEO OEF ∴△∽△ BEO OEF ∠=∠∴

∴点O 到AB 的距离等于点O 到EF 的距离.AB ∵与O 相切

F E O B A C D F E

O

B A

C D

F O

E

B C

D A

∴点O 到EF 的距离等于半径R ． ∴EF 与O 相切 15.已知抛物线64)12(2-+--=m x m x y

(1)试说明对于每一个实数m ，抛物线都经过x 轴上的一个定点A ；

(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 、B 不重合），顶点为C ，若ABC ?

为直角三角形，试求m 的值；

(3)在满足（2）的条件时，若点B 在点A 的左侧，试问：抛物线上是否存在点

D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形?若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）令2(21)460x m x m --+-=，解得：

1,221(25)

2

m m x -±-==

123x m =-， 22x =

∴ 对于每一个实数m ，抛物线都经过x 轴上的一个定点(2,0)A

（2）根据抛物线的对称性且ABC ?为直角三角形，

可得ABC ?为等腰直角三角形且?=∠90ACB

如图,过点C 作CP AB ⊥于P , 则1

2

CP AB =,

∵抛物线 64)12(2-+--=m x m x y 的顶点

为2

12(-m C ，

220425

)4m m -- ∴2204254

m m CP --=,()1

125232222m AB m -=--=

22042525

42

m m m ---=

∴242025104m m m -+=- 231=

m ， 25

2=m （舍去） 或242025410m m m -+=- 273=m ， 2

5

4=m （舍去）

综上可得： m 的值为23或27

(3) 依题意得： 1.5m =，此时抛物线方程为22y x x =-

设存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形，

i) 若BD ∥AC ，设直线AC 方程为11y k x b =+ ，把A 、C 坐标代入直线方程得，

1111021k b k b =+??-=+? 解得 111

2k b =??

=-? ∴直线AC 方程为2y x =- ∴ 直线BD 方程为 y x =

由2

2y x y x x =??=-? 得 1100x y =??=? 2233x y =??=? ∴(3,3)D

ii) 若AD ∥BC ，由于直线BC 方程为 y x =- 所以，可设直线AD 的方程为 2y x b =-+， 把A （2-，0）代入得 ，202b =-+ ∴ 22b = ∴ 2y x =-+

∴2

2

2y x y x x =-+??=-? 解得 1120x y =??=? 2213x y =-??=? ∴ (1,3)D -

综上可得：抛物线上存在点(3,3)D 或(1,3)D -，使得以为A 、B 、C 、D 为 顶点的四边形是梯形。