初三数学一元二次方程单元综合测试题(含答案)
（时间：90分钟 满分：100分）
一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程
1
2
x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）
2
1x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2
=0．
3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果
2
1x
－2x －8=0，则1
x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________．
7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．
8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12
x 2
+8x+5的最小值是_________．
二、选择题（每题3分，共18分）
11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对
12．若分式226
32
x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）．
A ．3或－2
B ．3
C ．－2
D ．－3或2 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1
14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3）
15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（）．
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）
17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；
（3x2=6x（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．
四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）
18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求x
y
的值．
19．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，?体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．（1）填写统计表：
2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:
年份2000200
1
200
2
200
3
全社会用电量
（单位：亿kW·h）
（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大
销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元 （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
22．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程12x 2x+c －1
2
a=0有两个相等的实数根，?方程3cx+2b=2a 的根为x=0． （1）试判断△ABC 的形状．
（2）若a ，b 为方程x 2+mx －3m=0的两个根，求m 的值．
23．已知关于x 的方程a 2x 2+（2a －1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）根据题意，得△=（2a －1）2－4a 2>0，解得a<1
4
． ∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，则x 1+x 2=－21
a a
=0 ①， 解得a=
12，经检验，a=1
2
是方程①的根．
∴当a=1
2
时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．
上述解答过程是否有错误如果有，请指出错误之处，并解答．
答案:
1．x1=3，x2=10
2．（5）点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．
3．6x2－2=0
4．4 －2 点拨：把1
x
看做一个整体．
5．m≠±1
6．m>－
1
12
点拨：理解定义是关键．
7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．
8．y2－5y+6=0 x1，x2=，x3，x4=
9．x2－x=0（答案不唯一）
10．－27
11．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．
12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．
13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．
14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．
15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．
16．C 点拨：?本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．17．（1）整理得（x+2）2=4，
即（x+2）=±2，
∴x1=0，x2=－4
（2）x（x－3）－x=0，
x（x－3－1）=0，
x（x－4）=0，
∴x1=0，x2=4．
（32+－6x=0，
x2－，
由求根公式得x1，x2．（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，解得y1=－4，y2=1，
即x+3=－4，x=－7．
由x+3=1，得x=－2．
∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．
18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，
得（x－5）2+（y－8）2=0，
∴x=5，y=8，∴x
y
=
5
8
．
19．（1）换元降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．
由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．
由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．
所以原方程的解为x1=－3，x2=2．20．（1）
（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x ， 则2001年用电量为亿kW ·h ， 2002年为（1+x ）亿kW ·h ， 2003年为（1+x ）2亿kW ·h ． 则可列方程：（1+x ）2=，1+x=±， ∴x 1==22%，x 2=－（舍去）．
则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．
21．（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40－x ）·（30+2x ）=1200， 解得x 1=0，x 2=25， 当x=0时，能卖出30件； 当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意． 故每件衬衫应降价25元． （2）设商场每天盈利为W 元．
W=（40－x ）（30+2x ）=－2x 2+50x+1200=－2（x 2－25x ）+1200=－2（x －）2+ 当每件衬衫降价为元时，商场服装部每天盈利最多，为元．
22．∵
12x 2x+c －1
2
a=0有两个相等的实数根，
∴判别式=）2－4×12（c －1
2
a ）=0，
整理得a+b －2c=0 ①， 又∵3cx+2b=2a 的根为x=0， ∴a=b ②． 把②代入①得a=c ，
∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形． （2）a ，b 是方程x 2+mx －3m=0的两个根， 所以m 2－4×（－3m ）=0，即m 2+12m=0， ∴m 1=0，m 2=－12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去）， ∴m=12．
23．上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a2≠0且满足（2a－1）2－4a2>0，∴a<1
4
且a≠0．
（2）a不可能等于1
2
．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a的取值范围是a<1
4
且a≠0，
而a=1
2
>
1
4
（不符合题意，所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．
!