2019中考数学复习第13课时二次函数的图像与性质测试(含答案)71
第三单元 函数
第十三课时 二次函数的图像与性质 基础达标训练
1. (2018哈尔滨)抛物线y ＝－35(x ＋12)2
－3的顶点坐标是( )
A. (12，－3)
B. (－12，－3)
C. (12，3)
D. (－1
2，3)
2. (2018金华)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2
B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2
C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2
D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是2
第3题图
3. (2018长沙中考模拟卷五)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
4. (2018连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A. y 1>0>y 2 B. y 2>0>y 1 C. y 1>y 2>0 D. y 2>y 1>0
第5题图
5. (2018六盘水)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( ) A. b >0，c >0 B. b >0，c <0 C. b <0，c <0 D. b <0，c >0
6. 将抛物线y ＝3x 2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( )
A. y ＝3(x －3)2－3
B. y ＝3x 2
C. y ＝3(x ＋3)2－3
D. y ＝3x 2－6
7. (2018宁波)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第三象限
第8题图
8. (2018鄂州)已知二次函数y ＝(x ＋m )2－n 的图象如图所示，则一
次函数y ＝mx ＋n 与反比例函数y ＝mn
x
的图象可能是( )
9. (2018随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )
A. 它的图象与x 轴有两个交点
B. 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3
C. 它的图象的对称轴在y 轴的右侧
D. x 10. (2018徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( ) A. b <1且b ≠0 B. b >1 C. 0 11. (2018眉山)若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2－ax ( ) A. 有最大值a 4 B. 有最大值－a 4 C. 有最小值a 4 D. 有最小值－a 4 12. (2018兰州)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值： 那么方程x 2＋3A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3 第13题图 13. (2018河北)如图，若抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围在封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝k x (x >0)的图象是( ) 14. (2018长沙中考模拟卷六)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示， 第14题图 现有下列结论：①b 2 －4ac >0；②abc >0；③c a >－8；④ 9a ＋3b ＋c <0. 其中，正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. (2018苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关 于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( ) A. x 1＝0，x 2＝4 B. x 1＝－2，x 2＝6 C. x 1＝32，x 2＝5 2 D. x 1＝－4，x 2＝0 16. (2018乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( ) A. 32 B. 2 C. 32或 2 D. －3 2 或 2 17. (2018上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是______________．(只需写一个) 18. (2018百色)经过A (4，0)，B (－2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是______________． 19. (2018广州)当x ＝________时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值________． 第20题图 20. (2018兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则Q 点的坐标为________． 21. (2018青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________． 第22题图 22. (2018咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____． 23. (2018鄂州)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是________．24. (6分)设二次函数y＝x2＋px＋q的图象经过点(2，－1)，且与x 轴交于不同的两点A(x1，0)，B(x2，0)，M为二次函数图象的顶点，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式． 25. (8分)(2018云南)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点． (1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由； (2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标． 26. (8分)(2018北京)在平面直角坐标系x O y中，抛物线y＝x2－4x ＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式； (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围． 27. (9分)(2018荆州)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k为常数． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； (2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围； (3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．28. (9分)(2018郴州)设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者．例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max(4，3)＝4.参照上面的材料，解答下列问题： (1)ma x{5，2}＝________，max{0，3}＝________； (2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围； (3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标．函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值． 第28题图 能力提升训练 1. (2018天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A 在点B左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为( ) A. y＝x2＋2x＋1 B. y＝x2＋2x－1 C. y＝x2－2x＋1 D. y＝x2－2x－1 第2题图 2. (2018扬州)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，2)、B (1，0)、C (2，1)，若二次函数y ＝x 2＋bx ＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A. b ≤－2 B. b <－2 C. b ≥－2 D. b >－2 3. (2018长沙中考模拟卷二)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a>0)经过点M (－1，2)和点N (1，－2)，交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C . 现有以下四个结论：①b ＝－2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在实数a ，使得M ，A ，C 三点在同一条直线上；④若a ＝1，则 OA ·OB ＝OC 2.其中，正确的结论有( ) A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 4. (2018武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2 5. (9分)(2018天津)已知抛物线y ＝x 2＋bx －3(b 是常数)经过点A (－1，0)． (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)P (m ，t)为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为P ′. ①当点P ′落在该抛物线上时，求m 的值； ②当点P ′落在第二象限内，P′A 2取得最小值时，求m 的值． 答案 1. B 【解析】：y ＝－35(x ＋12)2－3为顶点式，顶点坐标是(－12，－ 3)． 2. B 【解析】：由二次函数y＝－(x－1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除选项C，D，函数开口向下，有最大值，当x＝1时，最大值为y＝2，故选B. 3. A 【解析】：∵对称轴x＝1且经过点P(3，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)，代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中，得a－b＋c＝0. 4. C 【解析】：如解图，根据图象可知，y1>0，y2>0，且y1>y2＞0. 第4题解图 5. B 【解析】：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝－b 2a 在y 轴右侧，∴－b 2a ＞0，∴b＞0，又∵图象与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0. 6. A 【解析】：由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知：当y＝3x2－3的图象向右平移3个单位时，得到新抛物线的表达式为y＝3(x－3)2－3. 7. A 【解析】：对称轴x＝－b 2a ＝1，代入表达式可得y＝m2＋1，∴顶点坐标为(1，m2＋1)，∵m2≥0，∴m2＋1≥1，∴顶点坐标在第一象限． 8. C 【解析】：∵二次函数y＝(x＋m)2－n的顶点在第二象限，∴ －m <0，－n >0，∴m >0，n<0，mn <0，∴一次函数y ＝mx ＋n 经过第一、 三、四象限，反比例函数y ＝mn x 经过第二、四象限． 9. C 【解析】：∵b 2－4ac ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，A 正确；令y ＝0得x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为－31＝－3，B 正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－ －2m 2 ＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确． 10. A 【解析】：∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，∴图象与x 轴有两个交点，则(－2)2－4b>0，解得b <1，又∵图象与 y 轴有一个交点，∴b ≠0，综上，b 的取值范围是b ＜1且b ≠0. 11. B 【解析】：∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四 象限，∴? ????a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x － 12)2－1 4a ，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－14 a. 12. C 【解析】：由表格可知当x ＝1.2时，y 的值最接近0，∴x 2＋3x －5＝0的一个近似根是1.2. 13. D 【解析】：在抛物线y ＝－x 2＋3中，令y ＝0，解得x ＝±3， 令x ＝0，则y ＝3，∴抛物线与x 轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有：(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，∴k ＝4，∴反 比例函数解析式为y ＝4 x ，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)， 故选D. 14. D 【解析】：观察图象可知，函数与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，故①项正确；函数图象开口向上，与y 轴交于负半轴，∴ a ＞0，c ＜0，对称轴－b 2a ＝1，∴b ＜0，∴abc ＞0，故②正确；由② 可得对称轴－ b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，可将抛物线的解析式化为y ＝ax 2－2ax ＋c(a ≠0)，由函数图象知：当x ＝－2时，y ＞0，即4a －(－ 4a )＋c ＝8a ＋c ＞0，即c a ＞－8，故③正确；由二次函数的对称性可知， 当x ＝3和x ＝－1时，y 的值相等，观察图象可知，当x ＝－1时，y ＜0，∴当x ＝3时，y ＜0，则9a ＋3b ＋c ＜0，故④项正确，综上所述，正确结论为①②③④，共4个． 15. A 【解析】：∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得(－2)2 a ＋1＝0，解得a ＝－14，即－1 4 (x －2)2＋1＝0，解得x 1 ＝0，x 2＝4. 16. D 【解析】：∵二次函数的对称轴为x ＝m ，∴对称轴不确定，需分情况讨论．①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时，y 取得最小值－2，即－2＝22 －2m ×2，解得m ＝3 2 (舍)； ②当－1 －1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时，y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2 －2m ×(－1)，解得m ＝－3 2 ，综上所述，m ＝－3 2 或 2. 17. y ＝x 2－1(答案不唯一) 【解析】：∵二次函数的图象开口向上，∴a >0，顶点坐标为(0，－1)，可设二次函数解析式为y ＝ax 2－1，即y ＝x 2－1(答案不唯一)． 18. y ＝－38(x －4)(x ＋2) 【解析】：设抛物线解析式为y ＝a (x －4)(x ＋2)，把C (0，3)代入上式得3＝a (0－4)(0＋2)，解得a ＝－3 8，故y ＝－3 8 (x －4)(x ＋2)． 19. 1，5 【解析】：∵y ＝x 2－2x ＋6＝(x 2－2x ＋1)＋5＝(x －1)2＋5，∴当x ＝1时，y ＝x 2－2x ＋6有最小值，且最小值为5. 20. (－2，0) 【解析】：∵抛物线上点P 和点Q 关于x ＝1对称，P(4， 0)，可设Q (m ，0)，∴m ＋42 ＝1，解得m ＝－2，∴Q (－2，0)． 21. m >9 【解析】：∵抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，∴方程x 2－6x ＋m ＝0无实数解，即b 2－4ac ＝(－6)2－4m <0，解得m >9. 22. x <－1或x >4 【解析】：观察题图，当直线在抛物线之上时，即mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c ，∵A (－1，p )，B (4，q )，∴关于x 的不等式的解集为x <－1或x >4. 23. 2≤m ≤8 【解析】：∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得 m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8. 24. 解：∵二次函数y ＝x 2＋px ＋q 经过点(2，－1)，代入得－1＝22＋2p ＋q ， 即2p ＋q ＝－5， ∵x 1，x 2为x 2＋px ＋q ＝0两根， ∴x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ， ∴|AB |＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝p 2－4q ， 顶点M (－p 2，4q －p 2 4 )， ∴S △AMB ＝12|AB |·|4q －p 24|＝12p 2－4q ·|4q －p 24|＝18·(p 2 －4q )12·|4q －p 2|＝1 8 (p 2－4q )32， 当p 2－4q 最小时，S △AMB 有最小值， ∵p 2－4q ＝p 2＋8p ＋20＝(p ＋4)2＋4， ∴当p ＝－4时，p 2－4q 取最小值4，此时q ＝3， 故所求的二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. 25. 解：(1)不等式b ＋2c ＋8≥0成立．理由如下： ∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(3，8)， ∴?????－b 2×（－2） ＝3，4×（－2）c －b 2 4×（－2）＝8， 解得? ????b ＝12c ＝－10， ∴b ＋2c ＋8＝0， ∴不等式b ＋2c ＋8≥0成立； (2)由(1)知，b ＝12，c ＝－10， ∴代入得y ＝－2x 2＋12x －10， 由已知得点A 的坐标为(3，0)，设M (x ，－2x 2＋12x －10)， 当点M 在x 轴上方时，S ＝1 2×3×(－2x 2＋12x －10)＝9， 解得x 1＝2或x 2＝4； 当点M 在x 轴下方时，S ＝1 2×3×[－(－2x 2＋12x －10)]＝9， 解得x 3＝3－7或x 4＝3＋7， ∴满足S ＝9的所有点M 的坐标为(2，6)，(4，6)，(3－7，－6)，(3＋7，－6)． 26. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 左侧)， ∴令y ＝0，则有x 2－4x ＋3＝(x －3)·(x －1)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3， ∴A (1，0)，B (3，0)， ∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0，得y ＝3，∴C (0，3)， 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将B (3，0)，C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得 ?????3k ＋b ＝0b ＝3，解得? ????k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，顶点为(2，－1)， ∵l ⊥y 轴，l 交抛物线于点P 、Q ，交BC 于点N ，x 1 ∴－1<－x 3＋3<0，x 1＋x 2 2 ＝2, ∴3 27. 解：(1)∵a ＝1，b ＝k －5，c ＝1－k ， ∴b 2－4ac ＝(k －5)2－4(1－k )＝k 2－6k ＋21＝(k －3)2＋12， 其中(k －3)2≥0， ∴b 2－4ac ＝(k －3)2＋12>0， ∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)∵二次函数图象不经过第三象限， ∴对称轴x ＝5－k 2 >0且不与y 轴负半轴相交，即1－k ≥0， 联立得?????5－k 2>0 1－k≥0 ，解得k ≤1； (3)依题意得，对于y ＝x 2＋(k －5)x ＋1－k ， ∵x ＝3时，y <0， ∴y ＝32＋3(k －5)＋1－k <0， 即2k －5<0，k <52， ∴k 的最大整数取2. 28. 解：(1)5，3； (2)由题意知：3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0； (3)联立函数解析式得?????y ＝x 2 －2x －4 y ＝－x ＋2 ， 解得?????x 1＝3y 1＝－1或?????x 2＝－2y 2＝4 ， 第28题解图 ∴两函数的交点坐标为：(3，－1)，(－2，4)； 如解图，过两交点作直线即为所求图象； 观察解图可知：max {－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值为－1. 能力提升训练 1. A 【解析】：∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B(3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使B 平移后的对应点B ′落在 y 轴上，需再向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函 数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1. 2. C 【解析】：如解图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋1与y 轴交于点(0， 1)，对称轴为x ＝－b 2，当b ＝－2时，对称轴x ＝1，抛物线过(0，1)， C (2，1)；当b ＜－2时，对称轴x>1，抛物线与△ABC 不相交；当b ＞－2时，对称轴x <1，抛物线与△ABC 相交，综上所述，b ≥－2. 第2题解图 3. C 【解析】：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点M (－1，2) 和点N (1，－2)，∴?????2＝a －b ＋c －2＝a ＋b ＋c ，解得 b ＝－2，故①正确；∵二 次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ＞0，∴该二次函数图象开口向上，∵点M (－1，2)和点N (1，－2)，∴直线MN 的解析式为y ＝－2x ，当－1＜x ＜1时，二次函数图象在y ＝－2x 的下方，∴该二次函数图象与y 轴交于负半轴，故②正确；根据抛物线图象的特点，M 、A 、C 三点不可能在同一条直线上，故③错误；当a ＝1时，c ＝－1，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －1，当y ＝0时，0＝x 2－2x ＋c ，利用根与系数的关系可得x 1·x 2＝c ，即OA ·OB ＝|c |，当x ＝0时，y ＝c ，即OC ＝|c |＝1＝OC 2，∴若a ＝1，则OA ·OB ＝OC 2，故④正确．综上所述，正确的结论有①②④.