概率统计习题及答案(2)

作业2（修改2008－10）

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为

止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次

出现正面的概率是1(1)

k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p

--==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

泊松近似律分别计算.

解设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥.

1) 用二项分布公式计算

31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算 331004

100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665

!k k k k

k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑∑.

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,!k

P X k e k k λλ-===L .

问当k 取何值时{}P X k =最大？

解设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k =L ,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλλ+--==-, 数列{}k

a 是一个递减的数列. 若1

1a <,则(0)P X =最大. 若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大.

5 由此得

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]{}1P X k k λλλλλ?=?=?-?不是整数最大或是整数.

12. 设随机变量X 的概率密度为

[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出

()p x 与()F x 的图形. 解 ()0(,0)[0,1)0()()()0()0x

x x F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞-∞

-∞==?+?+????

()01[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞-∞+?++-??? ()012[2,)012()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞+∞-∞+?++-+?????

()()11

[0,1)[1,2)[2,)00101()()(2)()(2)x x I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-????? 22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x

I x x x I x I x +∞=+--+.

11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()

p x cxI x =.求

6 常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤. 解 10

21000

1()502cx p x dx cxdx c +∞

-∞====??, 1/50c =.

[0,10)[10,)[0,10)[10,)0()()()()()()50100x x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞==+=+??.

2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

88222

()3/550100x x p x dx dx ====??.

15. 设随机变量X 的密度为2x x ce -+.求常数c . 解

2221/2(1/2)1/41/41/1x t x x x t ce dx c e dx ce e dt ce =++∞

+∞+∞-+--+--∞-∞-∞====???.

由上式得1/41/2c e π--=.

15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:

7 求边缘分布.又问随机变量,X Y 是否独立？解 X 有分布 k x 0 1 2

()k P X x = 0.4 0.3 0.3

Y 有分布 k y

0 1 2 3 ()k P Y y = 0.1 0.2 0.3 0.4

因为 0(2,0)(2)(0)0.30.1

P X Y P X P Y ===≠===?, 所以X ,Y 不独立.

18．设随机向量(,)X Y 服从矩形

{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分

布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.

解 1()(622)/62/32

P X Y ≤=-??=, 1(,1)(11)/61/122

P X Y X ≤≥=??=,

8 (,1)1/12(1|)1/8()2/3

P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.

22. 随机向量(,)X Y 有联合密度

(,)(,)E p x y x y =,

其中222{(,):0}E x y x

y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率.

解

()222cos sin 20001(,)2x r y r R x y R p x y dxdy d cdr cR θθ

πθπ==+∞+∞-∞-∞<+≤==

==?????? 因而12c R π=.而

222{(,)}(,)D x y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==

????

()cos sin 2001/2x r y r r d dr r R R θθπθπ====??.

27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得

()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =, 10.9α=,20.95α=,30.99α=.

9 解1

22()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσ

μσμσαμσμσ+---=-<<+=?

2/2()()2()1i i x t k t i i i k

dt k k k σμ=+--==Φ-Φ-=Φ-?. ()(1)/2i

i k αΦ=+. 代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.

解2 设1~(0,1)2X

Z N -=,则~(0,1)Z N .

()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--??=-<<+==<< ???

()()()2()1i i

i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i

k αΦ=+. 代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.

28. 某商品的每包重量

2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.

解设200~(0,1)X Z N σ-=,则~(0,1)Z N . 195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--??<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ???

. {195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥?Φ-≥

15/(0.99) 2.335/2.33 2.15

σσ-?≥Φ=?≤=.

28. 设X 服从自由度为k 的2

χ分布,即X 有密度 /21/2(0,)/21

()()2(/2)k x X k p x x e I x k --+∞=Γ.

求Y .

解1

当0y <时

,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.

当0y >时

,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤=≤=≤=, 222/21/22(0,)/21()()2()2()()

2(/2)k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===?Γ

()()2/2

1/2

2/2/2k k ky k y e k --=Γ.

因而

()()2/2

1/2(0,)2/2()()/2k k ky Y k

p y y e I y k --+∞=Γ.

解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数

12()f y ky ?-==, y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度

()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/21/22(0,)/212()()2(/2)k ky k ky ky e I ky k --+∞=?Γ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ.

29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为

/(0,)()()x X p x I x α-+∞=.

其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度.

解1

当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y

p y F y '==. 当0y >时

,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX

y P X F =≤=≤=≤=,

22/()(0,)()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'===

222/()2/()y m y m αα--=

因而

22/()(0,)()()y m Y p y I y α-+∞=.

解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设2

()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数

1()f y ?-==y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度

()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/()

(0,)y m X p I α-+∞==

22/()(0,)()y m I y α-+∞=.

30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2

Y X =.求Y 的分布.

解 X 有密度[1,2}1()()3X

P x I x -=.Y 有分布函数 ()()Y F y P Y y =≤

2()P X

y =≤

[0,)()(I

y P X +∞=

[0,)()()X I

y p x dx +∞=

[0,)[1,2]()()I y x dx +∞-=

[0,1)[1,4)[4,)1()()()3

I y I y I y dy +∞-=++

[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+.

13 31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.

解设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度

[0,2]1()()2p I πθθπΘ=.

设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为 ()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.

当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时

1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ????=Θ≤=≤Θ≤-=- ? ??

???. 因而落点的横坐标X 有概率密度

(1,1)()()()X X p x F x x -'==.

34. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布.

解设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.

14 设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数

1()y f y e ?--==, y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 [0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ??---+∞+∞'===.

36. 设

X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度. 解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx

+∞

-∞=-? ()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞

--+∞-∞

=-?

()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞

---∞-∞=? 1

()()[0,1)[1,)00()()z z x z x I

z e dx I z e dx ----+∞=+?? [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I

z e e e I z --+∞=-+-.

37. 设系统L 由两个相互独立的子系统12

,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,

并联和备用

15 (当系统1L 损坏时,系统2

L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为

X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.

请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.

解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数

(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-

和

(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.

1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =,

(){min(,)}1{min(,)}S

F z P X Y z P X Y z =≤=-> ()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F

z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-, ()(0,)()()()()zs Z Z p z F z e I z αβαβ-++∞'==+.

2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =, (){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤=

(0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--, ()(0,)()()(())()z z z Z Z p z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+.

16 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+,

()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞

+∞---+∞+∞-∞-∞=-=?-??

()()(0,)(0,)00()()z z x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==??.

因此,

当αβ≠时, (0,)()()()z z Z p z e e I z αβαββα--+∞=--,

当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.

38. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)

Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1110(,)(1)s t B s t u u dx --=-?为β函数,

由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)

解 (见命题A .2.1)

43. 设12,,,n

X X X L 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度

()/1(0,)()()m x m m m

p x x e I x ηη--+∞=.

证明12min(,,,)n

X X X L 仍服从威布尔分布.

17 证 i X 1,i n =L 有分布函数 ()/1(0,)0()()m x

v m m m F x I

x v e dv ηη--+∞=?,

()()()///(0,)(0,)0()(1)()

m m m v t x x t I x e dt e I x ηηη=--+∞+∞==-?. 设 12min(,,,)n Z X X X =L ,

则Z 有分布函数

11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n

F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤L L 11()()1[1()]n n P X

z P X z F x =->>=--L .

()()//(,0](0,)(0,)1()()1()m mn n x x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞??=-+=- ???

, 接下来的证明过程可以有两种。

其一：

()Z F z 与()F x 有相同的形式，从而12min(,,,)n Z X X X =L 仍服从威布尔分布.

其二：

因而Z 有密度函数

18 ()1/(0,)()()()mn x Z Z

p z F z mne I x η--+∞'==, 从而12min(,,,)n Z X X X =L 仍服从威布尔分布.