第11章第3讲 二项式定理
第3讲 二项式定理
基础知识整合
1．二项式定理的内容
(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r n a
n －r b r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质
(1)0≤r ≤n 时，C r n 与C n －r n 的关系是□0
4相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n
2＋1项的二项式系数最大，最大为□06C n
2n ，当n 为奇数时第□07n －12＋1或
n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为□08C n －12n 或C n ＋1
2n .
(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□
112n －1.
1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．
1．(2020·东莞调研测试)二项式? ????x －1x 26的展开式的常数项为( )
A ．±15
B ．15
C ．±20
D ．－20
答案 B
解析 二项式? ????x －1x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·? ??
??－1x 2r ＝C r
6·(－1)r ·x 6－3r .令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 2
6＝15，故选B.
2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24
答案 A
解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 1
4＝12.故选
A.
解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.
3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
答案 B
解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8.
4．(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10
答案 B
解析 (x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·
x 5－r ·y r ，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35
＝－5.故选B.
5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( )
A ．500
B ．－500
C ．150
D ．－150
答案 C
解析 由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r ·x 4－r 2.令4－r
2＝3，即r ＝2，此时C 24·
52·(－1)2＝150. 6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案 162 5
解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·
(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，
可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
核心考向突破
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
例1 (1)? ?
???x －
13x 18的展开式中含x 15的项的系数为( ) A ．153 B ．－153 C ．17 D ．－17
答案 C 解析
T r ＋1＝C r 18x
18－r ?
????－13x r ＝? ??
??－13r C r 18·x 18－32r ，令18－3
2r ＝15，解得r ＝2，所以含x 15
的项的系数为? ??
??－132C 2
18＝17.
(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x 2－a )? ????
x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等
于( )
A.13
B.1
2 C ．1
D ．2
解析 ? ????x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·? ??
??1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x
6
的系数为C 210，所以(x 2－a )? ????x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 3
10－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.
(3)(2019·天津高考)? ?
???2x －18x 38的展开式中的常数项为________．
答案 28
解析 ? ?
???2x －18x 38的展开式的通项为T r ＋1＝
C r 8()2x 8－r ·? ????－18x 3r ＝C r 8
28－r ? ????－18r ·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2，
∴展开式中的常数项为T 3＝C 28
26? ??
??－182
＝28.
求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T r ＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r .
(3)代回通项公式得所求．
[即时训练] 1.(2019·广州调研)? ?
???x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )
A ．－21
2 B ．－92 C.92
D.212
解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9
x 9－r ? ????－12x r ＝? ????－12r C r 9x 9－2r
，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为? ????
－123C 39
＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.
2．(2020·河南信阳摸底)(x 2＋1)? ????
1x －25的展开式的常数项是( )
A ．5
B ．－10
C ．－32
D ．－42
答案 D
解析 由于? ????1x －25的展开式的通项为C r 5·? ????1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r ·x r －52，故
(x 2
＋1)·? ??
??1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5
＝－42.故选D. 3．已知? ??
??a
x －
x 29
的展开式中x 3的系数为94，则a ＝________.
答案 4 解析 ? ????a
x
－
x 29的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9? ????a x 9－r ·? ?
?
??－x 2r
＝(－1)r ·a 9－r
·2－r 2·C r 9·x 32r －9.令32r －9＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89
＝94，解得a ＝4. 精准设计考向，多角度探究突破 考向二 二项式系数与各项的系数问题 角度1 二项展开式中系数的和
例2 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式? ?
?
??x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和
为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A ．－1
B ．1
C ．27
D ．－27
答案 A
解析 由题意，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n
＝8，即n ＝3，
所以? ?
?
??x 2－2x 3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.
(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.
答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.
令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7.①
又a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，
∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得
a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187.② ①＋②
2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093， ∴a 2＋a 4＋a 6＝1092.
赋值法的应用
(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.
(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1.
(3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ， 则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，
(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为1
2[g (1)＋g (－1)]， (a ＋bx )n
的展开式中偶数项的系数和为1
2[g (1)－g (－1)]．
[即时训练] 4.(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )
A ．0
B ．1
C ．32
D ．－1
答案 A
解析 由(1－x )5的展开式的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 5x r ，可得a 1，a 3，a 5为负
数，a 0，a 2，a 4为正数，故有|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(1－1)5＝0.故选A.
5．(2019·郑州一测)在? ????x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比
为32∶1，则x 2的系数为________．
答案 90
解析 令x ＝1，则?
????x ＋3x n ＝4n ，所以? ?
???x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n
，又二项式系数和为2n
，所以4n 2n ＝2n
＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝
C r 5x 5－r ? ??
??3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90. 角度2 二项式系数的最值问题
例3 (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m
＋1
展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
答案 B
解析 由题意，得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 则13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，
∴
13·(2m )！m ！·m ！
＝
7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！
，
∴
7·(2m ＋1)m ＋1
＝13，解得m ＝6，
经检验m ＝6为原方程的解，故选B.
(2)(2019·安徽马鞍山模拟)二项式? ?
????3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项
式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．7
答案 D
解析 根据? ?
??
??3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴? ?????3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·? ???
??
13x r ＝(3)20－r ·C r
20·x 20－4r
3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数为整数的项共有7项．故选D.
求二项式系数最大项
(1)如果n 是偶数，那么中间一项? ??
??
第? ????n 2＋1项的二项式系数最大．
(2)如果n 是奇数，那么中间两项? ????
第n ＋12项与第? ????n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．
[即时训练] 6.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A ．212
B ．211
C ．210
D ．29
答案 D
解析 因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7
n ，解得
n ＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.
7．若? ?
???x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常
数项是( )
A ．180
B ．120
C ．90
D ．45
答案 A
解析 由只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是展开式的通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ? ????2x 2r ＝2r C r
10
·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以展开式中的常数项是22C 210＝180.故选A.
角度3 项的系数的最值问题
例4 (1)(2020·承德摸底)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )
A.112 5 .16 5 C.112 解析 ∵????? C 162x >C 06， C 162x >C 26(2x )2，∴????? x >1 12，0 即112 (2)若? ? ???x 3＋1x 2n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( ) A ．210 B ．10 C ．462 D ．252 答案 A 解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n 的值可能是9,10,11. 设常数项为T r ＋1＝C r n x 3(n －r )x －2r ＝C r n x 3n －5r ， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210. 求展开式系数最大项 如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用??? ?? A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． [即时训练] 8.(2020·宜昌高三测试)已知(x 2 3＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n ＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 22 3 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由 T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x 10＋4k 3，得 ????? 3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15， ∴72≤k ≤92，∴k ＝4， ∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45 (x 23)(3x 2)4＝405x 263. 考向三 二项式定理的应用 例5 (1)(2019·潍坊模拟)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512020＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D 解析 由于51＝52－1，(52－1)2020＝C 020********－C 1202052 2019＋…－C 2019 2020521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a ，0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12. (2)0.9910的第一位小数为n 1，第二位小数为n 2，第三位小数为n 3，则n 1，n 2，n 3分别为( ) A ．9,0,4 B ．9,4,0 C ．9,2,0 D ．9,0,2 答案 A 解析 0.9910＝(1－0.01)10＝C 010×110×(－0.01)0＋C 110×19×(－0.01)1＋C 210 ×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045. 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后 的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . [即时训练] 9.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10 10除 以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87 答案 B 解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110×889＋…＋C 910×88＋1.∵前10项均能被88整 除，∴余数是1. 10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172 解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18×0.02＋C 28×0.022＋C 38×0.023 ≈1.172. 学科素养培优（二十二） 二项式定理破解三项式问题 1．(2020·柳州摸底)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C 解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x ) 5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系 数为C 25C 13＝30.故选C. 2.? ???? x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案 632 2 解析 解法一：原式＝? ????x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5(x ＋2)10 . 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510· (2)5. 所以所求的常数项为C 510· (2)532＝6322. 解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类： ①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5. ②5个括号中的1个选x 2，1个选1x ，3个选2，这样得到的常数项为C 1512C 14C 3 3 (2)3. ③5个括号中的2个选x 2，2个选1x ，1个选2，这样得到的常数项为C 25? ????122C 2 3 2. 因此展开式的常数项为 (2)5＋C 1512C 14C 33(2)3＋C 25? ????122C 2 32＝6322. 答题启示 二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解． 对点训练 1．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 答案 A 解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以展开式中x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A. 2.? ???? x 2＋1x 2－23的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)． 答案 15 解析 因为? ????x 2＋1x 2－23＝? ????x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ? ?? ??－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2 ＝15. 课时作业 1．(2019·长沙一模)? ????x 2－1x 6 的展开式中( ) A ．不含x 9项 B ．含x 4项 C ．含x 2项 D ．不含x 项 答案 D 解析 T r ＋1＝(－1)r C r 6x 12－2r x －r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，故x 的次数为12,9,6,3,0，－3，－6.选D. 2．(2020·河北保定期末)? ????3x －1x 6的展开式中，有理项共有( ) A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项 答案 D 解析 ? ????3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6 ·(－1)r ·36－r ·x 6－32r ，令6－3 2r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项． 3．(2020·广东普宁一中期末)若? ????x 6 ＋1x x n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 ? ????x 6＋1x x n 的展开式的通项公式为C r n (x 6)n －r ·(x －32)r ＝C r n x 6n －152r ，r ＝ 0,1,2，…，n ，则依题设，由6n －152r ＝0，得n ＝5 4r ，∴n 的最小值等于5.故选C. 4．(2019·广东广州模拟)已知二项式? ? ???2x 2－1x n 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含1 x 项的系数是( ) A ．－84 B ．－14 C ．14 D ．84 答案 A 解析 由二项式? ? ???2x 2－1x n 的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n ＝ 128，即n ＝7，∴? ????2x 2－1x n ＝? ????2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·? ?? ??－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r .令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴展开式中含1 x 项的系数是－4×C 57＝－84.故 选A. 5．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ． C 2 n ＋1 C ．C n －1 n D.12C 3n ＋1 答案 B 解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1) 2＝C 2n ＋1. 6．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 答案 D 解析 因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D. 7．(2019·福州模拟)设n 为正整数，? ? ???x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式 系数最大，则展开式中的常数项为( ) A ．－112 B ．112 C ．－60 D ．60 答案 B 解析 依题意，得n ＝8，所以展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8x 8－r ? ?? ??－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 2 8(－2)2＝112. 故选B. 8．若? ????x ＋a x ? ? ???2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为 ( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 答案 D 解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1. ∴? ????2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·? ????－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3. ∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3· 22·C 3 5＝80－40＝40. 9．(2019·江西九校联考)已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56 答案 B 解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2 ＝4C 24＝24. 10．(2020·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( ) A ．284 B ．356 C ．364 D ．378 答案 C 解析 令x ＝0，则a 0＝1； 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36. ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1. ② ①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364. 11．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝ ( ) A ．63 B ．64 C ．31 D ．32 答案 A 解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝63.故选A. 12.? ?? ??? x ＋13x －4y 7的展开式中不含x 的项的系数之和为( ) A ．－43C 37C 3 4－47 B ．－43 C 27C 24＋47 C ．－47 D ．47 答案 A 解析 ? ?????x ＋13x －4y 7＝?????? ?? ? ?????x ＋13x －4y 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·? ?????x ＋13x 7－r ·(－4y )r ，? ?????x ＋13x 7－r 的展开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r ·x 7－r －4k 3 ，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k 3 ，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r ＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34·(－4)3＝－43C 37C 34－47 .故选A. 13．(2019·绍兴模拟)若? ????ax 2＋1x 5 的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________. 答案 －2 解析 由已知可得? ????ax 2＋1x 5展开式的通项公式为C r 5(ax 2)5－r ? ?? ??1x r ＝C r 5a 5－r x 20－5r 2，则由展开式中x 5的系数是－80，令20－5r 2＝5，得r ＝2，即C 25a 3 ＝－80， 解得a ＝－2. 14．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为________． 答案 70 解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n ＝7，因此(1 －2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70. 15．(2020·上海浦东新区摸底)已知二项式? ? ????x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 答案 8 35 8x 解析 二项式? ? ?? ??x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1 n ＋C 2n ＝1＋n ＋ n (n －1)2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124x ＝358 x . 16．(2019·唐山模拟)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27 27除以9的余数为________． 答案 7 解析 依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19 ×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7. 17．(2019·福州段考)已知(x －3 x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 的展开式中x 2的系数． 解 (1)∵(x －3 x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512， ∴2n －1＝512＝29， ∴n －1＝9，解得n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－3x )r ＝(－1)r C r 10x 10－r 2＋r 3＝(－1)r C r 10x 5－r 6(r ＝0,1，…，10)． 由5－r 6∈Z ，得r ＝0,6. ∴展开式中的所有有理项为T 1＝C 010x 5＝x 5，T 7＝C 610x 4＝210x 4 . (2)展开式中x 2的系数为C 23＋C 24＋…＋C 210＝(C 34－C 33)＋(C 35－C 34)＋…＋(C 311－C 310)＝C 311－C 33＝164. 18．已知? ? ???x ＋ 12x n 的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求n 的值； (2)求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题设，得C 0n ＋14·C 2 n ＝2×12·C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)． (2)设第r ＋1项的系数最大，则 ??? 12r C r 8≥12r ＋ 1C r ＋18，12r C r 8 ≥1 2 r －1 C r －1 8.即? ?? 18－r ≥1 2(r ＋1) ，12r ≥1 9－r ， 解得2≤r ≤3. 又第1项系数为120C 08＝1，第9项系数为128C 88＝1 256， 所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72. 二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大） 二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+ 1． 3．1二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4 a ，3 a b ，22 a b ，3 ab ，4 b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4 a 的系数是0 4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3 a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2 4C 种，22 a b 的系 数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4 b 的系数是4 4C ， ∴4 4 13 2 22 33 44 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课： 二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++ +++∈ ⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ， ⑵展开式各项的系数： 每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0 n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 二项式定理知识点总结 一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式 二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1、等于（） A、 B。C 。D 、例 2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数 三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 （2）求的展开式的常数项。 【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定 第三节 二项式定理 预习设计 基础备考 知识梳理 1．二项式定理 =+n b a )( 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；= +1r T 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为.1+n (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． (4)二项式的系数从 ,,1 n C 一直到,1-n n C 3．二项式系数的性质 (1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -= (2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式 系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和： n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n = 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 =+++=+++ 42531 n n n n n C C C C c α 典题热身 1．在62)1(x x -的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D 答案：C 2．已知n ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D 答案：B 课时作业 A 组——基础对点练 1.二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.7 B ．6 C ．5 D ．4 解析：因为(x ＋1)n 的展开式中x 2的系数为C n －2n ，所以C n －2n ＝15，即C 2n ＝15，亦 即n 2－n ＝30，解得n ＝6(n ＝－5舍)． 答案：B 2.二项式(x 2－2 x )10的展开式中，x 项的系数是( ) A.152 B ．－15 2 C ．15 D ．－15 解析：(x 2－2x )10 的二项展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r (－2x )r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 5－3r 2， 令5－3r 2＝1 2，得r ＝3， 所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310 ＝－15 2.故选B. 答案：B 3.(2018·惠州市调研)(1 2x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A.－20 B ．－5 C ．5 D ．20 解析：(12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12 )5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ，令 r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35(12 )2·(－2)3 ＝－20. 答案：A 4.若(a 2＋1 a 2＋2)n 展开式中的常数项是252，则n ＝( ) A.4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：(a 2＋1a 2＋2)n ＝(a ＋1a )2n ，(a ＋1a )2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 2n a 2n －r (1a )r ＝C r 2n 第十章 第三节 二项式定理及应用 1.(2009·重庆高考)(x 2＋2 x )8的展开式中x 4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得 T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x )r ＝2r C r 8x 16－3r . 由16－3r ＝4，r ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D 2．(x )12的展开式中的常数项为 ( ) A ．－132 0 B ．1 320 C ．－220 D ．220 解析：展开式的通项是T r ＋1＝C r 12x 12－ r ( )r ＝C r 12 (－1)r x 12－4r 3，令12－4r 3＝0， 得r ＝9，故展开式的常数项是T 10＝C 912(－1)9 ＝－220. 答案：C 3．(2009·湖南高考)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为 ________(用数字作答)． 解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7. 答案：7 4．若????x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为5 2，则a ＝__________(用数字作答)． 解析：通项T r ＋1＝C r 6· a － r x 12－3r ， 当12－3r ＝3时，r ＝3， 所以系数为C 36·a － 3＝52，得a ＝2. 答案：2 5.在? ? 1x ＋51x 3?? ? n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系 数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n － 1＝1 024，∴n ＝11，∴展 开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 6 11＝462. 答案：B 6．(2009·江西高考)(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为 ( ) A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值 为(1＋|a |)n ＝32＝25， ∴n ＝5，????? 1＋|b |＝3，1＋|a |＝2. 答案：D 7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. (用数字作答) 解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32， 令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1， 故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 8.在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 解析： 依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为2x ?- ?8 ，易得常数项为C 68????x 22 高二数学清明假期试卷（排列、组合和二项式定理） 一、选择题（每小题5分，共50分）． 1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为（ ） A 80 B 84 C 85 D 86 2．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 （ ） A ．18 B ．72 C ．36 D ．144 3．展开式的第7项是 （ ） A 628a B —628a C 656a D —656a 4．用二项式定理计算5 9.98，精确到1的近似值为（ ） A ．99000 B ．99002 C ．99004 D ．99005 5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种 6 ．若2)n x 的项是第8项，则展开式中含 1 x 的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 7．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) A 140种 B 34种 C 35种 D 120种 9．已知8()a x x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 10．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A ．3 11C 种 B ．3 8A 种 C ．3 9C 种 D ．3 8C 种 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．设345 50500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++ ++=+++，则3a 的值是 12．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不 同的排法种数共有__________． 13．10 2 (2)(1)x x +-的展开式中10 x 的系数为__________．（用数字作答） 若1 531-++++n n n n n C C C C =32，则n = 。 14．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是 第_________个数。 15．关于二项式(x -1)2005有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1： ②该二项展开式中第 六项为C 6 2005x 1999； ③该二项展开式中系数最大的项是第1002项：④当x =2006时，(x -1)2005除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________ ．(注：把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题 16 已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数． 17．有5名男生，4名女生排成一排： （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？ 18．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问： （1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 19、．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率： 二 项式定理. 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展 开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面， 也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1v 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项 数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、 常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数 （2）求91 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系 数 三、二项展开式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：() 2max n n k n C C =； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即()21 21max +-==n n n n k n C C C 课题：二项式定理性质与应用1 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 1．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于216 5x ? ? 的展开式的常数项，而 2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈。 答案：a =2．设()()()()()5 9 14 13 011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++ 求：① 0114a a a ++ + ②1313a a a ++ +． 答案：①9 3 19683=； ② () 9 53 399632 +=。 3．求值：0123456789 999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-． 答案：82256=。 4．设296 ()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和。 答案：（1）6 3729=； （2）所有偶次项的系数和为6313642-=；所有奇次项的系数和为631 3652 +=。 二项式定理（课外小练习） 1． )()4 5 1 1x -展开式中4 x 的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ． 2．多项式12233 ()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式 中，6 x 的系数为 0 ． 提示：()()16n f x x n =->。 3．若二项式2 31(3)2n x x - （n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ B ） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （C ） ()A 低于5％ ()B 在5％～6％之间 ()C 在6％～8％之间 ()D 在8％以上 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第三节二项式定理 [选题明细表] 知识点、方法题号 求二项式特定项或其系数1,2,4,5,6,7,9,10,11,12 二项式系数的性质11,16 赋值法3,9,10 二项式定理综合应用8,13,14,15 一、选择题 1.(x2-)5的展开式中,二项式系数最大的项为( C ) (A)第2项 (B)第3项 (C)第3项或第4项 (D)第5项 解析:因为n=5,二项展开式共6项,所以第3项或第4项的二项式系数最大.故选C. 2.(2018·嘉兴一中期中)二项式(1+2x)5的展开式中,系数最大的项为( D ) (A)32x5(B)80x4 (C)80x3(D)80x3,80x4 解析:二项式(1+2x)5的展开式为1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5,其中系数最大的项为80x3和80x4,故选D. 3.已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a2+a3+…+a10等于( C ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)0 解析:因为(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令x=0,可得a0=1, 令x=1,可得a0+a1+a2+…+a10=-1, 所以a1+a2+…+a10=-2.故选C. 4.二项式(x+a)n(a是常数)展开式中各项二项式的系数和为32,各项系数和为243,则展开式中的第4项为( A ) (A)80x2(B)80x (C)10x4(D)40x3 解析:(x+a)n展开式中各项二项式系数和为2n=32, 解得n=5, 令x=1得各项系数和为(1+a)5=243,故a=2, 所以展开式的第4项为x2a3=x2·23=80x2. 5.(2019·宁波市高三上期末)设(x2-3x+2)4=a0+a1x+…+a8x8,则a7等于( C ) (A)-4 (B)-8 (C)-12 (D)-16 解析:=(x-1)4·(x-2)4,求a7就是求x7的系数,所以a7=·(-2)+(-1)·=-12.故选C. 6.已知函数f(x)=-x3+2f′(2)x,n=f′(2),则二项式(x+)n展开式中常数项是( C ) 选修2-3二项式定理专题自测试题 【梳理自测】 一、二项式定理及特点 1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 3．(教材改编)二项式? ????x 3－1x 25 的展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．14 答案：1.B 2.B 3.A ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1. ②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . ③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . ④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 二、二项式系数的性质 1．若? ? ???x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数 之和为( ) A.132 B.164 C ．－164 D.1128 2．若? ? ???3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数 为( ) A ．－5 B ．5 C ．－405 D ．405 答案：1.B 2.C ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －r n (r ＝ 第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()． 二项式定理 天津四中 李萍 2008年3月31日 课题：二项式定理 第一课时：二项展开式及通项公式 一、教学目标 （1）知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征； 能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公 式求展开式中的特定项． （2）过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法， 培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力． （3）情感与价值观：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树 立由特殊到一般的归纳以及探究意识． 二、教学重、难点： 教学重点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项式的通项公式；能应用它解决简单问题． 教学难点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，并能用计数原理证明． 三、教学方法与手段： 1. 教学方法：诱导启发、自主探究的互助式教学方法． 2. 教学工具：多媒体辅助教学． 四、教学过程设计: 1．创设情境 引入新课: 问题1：今天是星期一，那么8天后的这一天是星期几呢？若23天后的这一天 呢？若82008天后的这一天呢？ 设计意图：通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习 兴趣和学习热情，达到有效教学的目的． 2．探索研究 由 2222)b ab a b a ++=+（ 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 当时是利用多项式乘法法则依次展开，遇到同类项加以合并得到的．那么对于 4)b a +（， 5)b a +（的展开式，以至于 100)b a +（展开式还能用这个方法得到吗？分析 2)b a +（展开过程： 设计意图：引导学生将 2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示 2)b a +（展开式的系数． 第3讲 二项式定理 基础知识整合 1．二项式定理的内容 (1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r n a n －r b r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质 (1)0≤r ≤n 时，C r n 与C n －r n 的关系是□0 4相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n 2＋1项的二项式系数最大，最大为□06C n 2n ，当n 为奇数时第□07n －12＋1或 n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为□08C n －12n 或C n ＋1 2n . (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□ 112n －1. 1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题． 2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念． 1．(2020·东莞调研测试)二项式? ????x －1x 26的展开式的常数项为( ) A ．±15 B ．15 C ．±20 D ．－20 答案 B 解析 二项式? ????x －1x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·? ?? ??－1x 2r ＝C r 6·(－1)r ·x 6－3r .令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 2 6＝15，故选B. 2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 答案 A 解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 1 4＝12.故选 A. 解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A. 3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8. 4．(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10 答案 B 解析 (x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5· x 5－r ·y r ，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35 ＝－5.故选B. 5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( ) A ．500 B ．－500 排列、组合、二项式定理典型题 一、选择题（共24题） 1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有3 3A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋13 33C A ＝24种方法，故选B 2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 （A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有33 74A A -=186种，选B. 3．（湖北卷）在24 (x - 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 解：724243 124 24r r r r r r T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C 4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有12 3436C A ?=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3 424A =种方案，共计有60种方案，选D. 5．（湖南卷）若5 )1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．-2 B . 22 C. 34 D . 2 解析： 5 )1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ?-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A ．6 B . 12 C. 18 D . 24 解析：先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有2 22A =种 第三节二项式定理 复习目标 学法指导 1.能利用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 了解二项式定理,能利用二项展开式的通项公式求出特定项并且能够将求三项式或两个二项式的和、积的展开式中特定项问题转化为二项式求解,正确区分二项式系数与项的系数,能够利用赋值法求展开式的系数和. 一、二项式定理 1.二项式定理 (a+b)n=0C n a n+1C n a n-1b+…+C k n a n-k b k+…+C n n b n(n∈N*),这个公式叫做二项式 定理. 2.二项式系数、二项式的通项 在上式中它的右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系 数C k n (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数,式中的C k n a n-k b k叫做二项展 开式的通项,用T k+1表示,即通项为展开式的第k+1项:T k+1=C k n a n-k b k. 二、二项式系数的性质 理解辨析 (1)二项展开式形式上的特点:①项数为n+1;②各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数和为n;③字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第1项起, 次数由零逐项增1直到n;④二项式的系数从0C n ,1C n 一直到1 C n n ,C n n. (2)通项公式T r+1=C r n a n-r· b r(n∈N*,0≤r≤n),反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,可用来求指定的项、指定项的系数、常数项、有理项、系数最大(绝对值最大)的项. (3)区分二项式系数和该项的系数,二项式系数只与n和r有关,恒为正,而后者是指字母外的部分,还与a,b有关,可正可负.形如(a+bx)n 的展开式第r+1项的二项式系数为C r n ,项的系数为C r n a n-r b r;形如 (x p+x q)n的展开式第r+1项的二项式系数为C r n ,项的系数为C r n . (4)(a+b)n与(b+a)n的值虽然相等,但它们展开式中各项的排列顺序是不同的. (5)通项T k+1=C k n a n-k b k是(a+b)n的展开式的第k+1项,而不是第k项. 1.(2a-3b)7的展开式的第4项的二项式系数为( A )高中数学2二项式定理(带答案)
二项式定理公开课教案
1.3.1二项式定理(教案)
二项式定理知识点总结
第三节 二项式定理-高考状元之路
第九章 第三节 二项式定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)
第十章 第三节 二项式定理及应用
高二数学排列组合二项式定理
二项式定理知识点总结
二项式定理3
二项式定理
第三节 二项式定理
人教版选修2-3二项式定理练习题及答案
二项式定理教案(绝对经典)
二项式定理及通项公式
第11章第3讲 二项式定理
排列组合、二项式定理典型题(含答案)
第三节 二项式定理(知识梳理)