均匀带电圆盘转动下的磁场分

均匀带电圆盘转动下的磁场分布

西南交通大学机械工程学院20090994 朱鹏飞

[摘要]文章通过麦克斯韦方程导出电磁辐射公式在圆盘上任取一个带电小圆环小圆环转动形成电流电流产生电磁场利用场强叠加原理得整个带电环产生的电磁场再计算整个圆盘绕对称轴匀速转动产生的电磁场并进行适当的讨论，在此基础上增加了数字模拟下的均匀带电圆盘转动下的磁场立体分布，并加以讨论。

[关键词]均匀带电圆盘麦克斯韦方程推迟势磁感应强度引言

人们在生活和生产中利用圆盘转动数不胜数，这些圆盘一旦带上电后就成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电流，电流激电磁场.这种情况可看作若干环形线电荷所激发的电徽场的叠加，这是电磁学中的一个较重要的问题。本文采用矢势对其进行求解.先通过麦克斯韦方程，达朗贝尔方程和洛伦兹变换条件推导出了载流圆盘周围空间的磁场分布完整的解析表达式。进而求解转动带电圆盘的磁场，并对结果讲行讨论.

1原理和公式的推导

1.1波动方程绕对称轴转动在均匀带电圆盘的电磁辐射场应满足麦

克斯韦方程组

在真空中,取(1)式第一式的旋度并利用第二式及得:

同样在(1)中消除电场，可得磁场的偏微分方程:

1. 2电磁场的矢势和标势

在恒定场中，由的无源性引入矢势使:

在变化情况下电场与磁场发生直接关系。因而电场的表达式必然包含矢势在内，把(4)代入(1)第一式得:

该式表示是无旋场，因此它可以用标势描述

因此，一般情况下电场的表达式为:

1. 3达朗贝尔方程及求解

现在由麦克斯韦方程组推导矢势和所满足的基本方程，把(4)和(5)代入(1)中第二式和第三式并应用得:

采用洛伦兹规范

由(6)和(7)式得:

用洛伦兹规范时，和的方程具有相同形式，其意义也特别明显。方程（8）称为达朗贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自

由项为电流密度和电荷密度。由(8)式，电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场和也以波动形式在空间中传播.

对(8)式进行求解得

2匀速转动时的空间磁场

2.1推导矢势表达式

设圆盘在xoy平面，对称轴为z轴，转动的角速度恒定不变，圆盘(厚度不计)均匀带电，电量为Q，圆盘半径为a，则电荷密度

图1薄圆盘匀速转动时的空间电磁场

在圆盘上任取一细圆环，设圆环的半径r'宽度为dr'，则由于圆环转动时产生的电流为：

由定义可知，沿闭合回路流动的电流I在r点产生的矢势为：

对圆环电流I来说，由于对称性，在以Z轴为中心的周围(圆周Z=常

数的平面内)上.任何一点，的大小A都应相同.因此，A应与方位角无关，为方便，我们求=0处点的，如图所示，电流元的线元为：

电流元到P点的距离为：

式中为和之间的夹角。球坐标系中任意两矢量与之间夹的公式为：

令故

将(12 ), (13), (15)代入(11)得：

(16)式中

于是（16)得：

由图可知，在球坐标电P点的，故可写作：

利用幕级数：

(20)式的分母利用幕级数展开，同时设P点在中、远区，r>>r'级数只取二级近似值：

把(21)式代入(20)式中得

于是得：

2.3求解磁感强度

由(4)式计算磁感强度如下：

其中

由(23)

式有

由球坐标与直角坐标转换公式：

sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e φθθ?θ?θ?φ

θ?θ?θ

=++=-+=+- （25）

可将结果表示成直角坐标下的磁场表达式：

203

3cos sin23sin sin222

(,,)3cos21162x y z e e Q a B x y z r e ?θ?θμ?θπ→??

+ ?= ?+ ?+ ?

sinθ=

cosθ=

222

222 sin22sin cos

cos2cos sin

sin

cos

x y z

z x y

x y z

θθθ

=-=

++ =

22222

5 22222222 0

(,,)632() 632()

(422)32()

z B x y z Q a xz x y z e

Q a yz x y z e

Q a z x y x y z e

μ?π

→

=++

+++

+--++

（26）

利用DTP平台制作旋转带点盘磁场三维模型如下：

图二只画两个磁场面时

图三多磁场面时磁场分布