北师大版高中数学必修4学案,教案

任

意角

必修4教学案

1. 1.1任意角

班级 姓名

一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接：

1.初中是如何定义角的？

2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程:

（一）阅读课本1-3页解决下列问题。

问题1、按 方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的 与 重合。如果是零角，那么= 。 问题2、

问题3、画出下列各角

（1）780o （2） -120o （3） -660o （4） 1200o

问题4、象限角与象限界角

为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标 重合；（2）使角的始边和轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做 ，这个角不属于任何一个象限。

问题5、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o （3） 855o （4） -510o

ααx

问题6、把角放到平面直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，终边相同的角有什么关系？为解决这些问题，请先完成下题： 在直角坐标系中作出下列各角：

（1）-32o （2） 328o （3） -392o （4） 688o （4） -752o

问题7、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角 终边相同的角，连同角 在内可构成集合为 .。即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

例1. 在～之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：

（１）； （２）； （３）.

变式练习 1、 在～之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：

(1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′

2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720o ＜360o 的元素 写出来：

（1）1303o 18，

（2）--225o

αααα0?360??480?-76003932'?0?360?β≤

问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合

变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-3600

＜720o 元素写出来。

问题9、思考：

第一象限角的集合可表示为___________________.

第二象限角的集合可表示为___________________. 第三象限角的集合可表示为___________________. 第四象限角的集合可表示为___________________. 探究：设θ为第一象限角,求2θ, ,–θ所在的象限.

当堂检测：

1、以原点为角的顶点，x 轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（ ） （A ）00、900或2700 （B ）k ?3600（k ∈Z ） （C ）k ?1800（k ∈Z ） （D ）k ?900（k ∈Z ）

2、如果x 是第一象内的角，那么（ ） （A ）x 一定是正角

（B ）x 一定是锐角

（C ）-3600

4、在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系为（ ）

≤ββ2

θ

（A ）β=α+900 （B ）β=α±900 （C ）β=α+900+k·3600 （D ）β=α±900+ k·3600 k ∈Z 5、设α是第二象限角，则

是 象限角。 6、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .

7、如果是第三象限角，则x 在第 象限和 半轴。

8、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限.

9、写出与370°23′终边相同角的集合S ,并把S 中在-720°～360°间的角写出来.

10、钟表经过4小时，时针与分针各转了 度

课堂小结：1、任意角的概念与分类。

2、象限角的概念及第一，二，三，四象限角的表示。

3、终边相同角的集合表示。

课后练习：习题1.1A 组第5题。

作业布置：习题1.1A 组第1，3题。

1. 1.2 弧度制

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。 三教学过程

(一) 复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？

2

α

2

x

||l

r

α=

l αr 1

(二) 为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。

<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为，圆弧长为、、

的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：

，的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示

角的度量。

例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 ． (三) 角度与弧度的换算

rad 1=

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1) （2）

变式练习 把下列各角从度化为弧度：

(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o (4) (5)

例2、把下列各角从弧度化为度：

（1） (2) 3.5

变式练习 、把下列各角从弧度化为度：

（1）

（2）— （3） (4) (5) 2 r 2r 3r 2

r

αl ααrad 4l r π=4||4l r r r

παπ-=-=-=-3602π=rad 180π=rad 1801π=?0.01745≈rad rad ?)180(

π

5718'≈0

2520

/

11150

30'3067?35

π12π34π103π4

π

归纳：把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

(四) 在弧度制下分别表示轴线角、象限角的集合

（1）终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ；

轴的非正半轴的角的集合为 ；

终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ；

轴的非正半轴的角的集合为 ；

所以，终边落在轴上的角的集合为 ；

落在轴上的角的集合为 。

（2）第一象限角的集合为 ；

第二象限角的集合为 ；

第三象限角的集合为 ；

第四象限角的集合为 ．

(五) 弧度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就

建立了一个一一对应关系.

(六) 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

x x y y x y

弧长公式：

因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为． 扇形面积公式：．

说明：以上公式中的必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad ，，求该扇形的面积。

变式练习 若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积

是 ．

(七) 课堂小结： 1． 弧度制的定义；

2． 弧度制与角度制的转换与区别；

3． 牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

(八) 作业布置 习题1.1A 组第7，8，9题。 (九) 课外探究题

已知扇形的周长为8，求半径为多大时，该扇形的面积最大，并求圆心角的弧度数.

（十）课后检测

1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 3、在中，若，求A ，B ，C 弧度数。

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦

，所对的圆心角

||l r α=?||l r

α=l α||l r α=?αcm α4cm cm 1

2

ABC ?::3:5:7A B C ∠∠∠=AB AB α(2) ;R 21(1)S 2α=2

(1) 1(2) 21(3) 2l R

S R

S lR αα===

O

A

B

的弧度数为 ．

5、直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

6、选做题

如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。

1. 2.1 任意角的三角函数<

第一课时>

班级 姓名

学习目标

1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.

2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.

重点难点

教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。.

教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。

教学过程

（一）提出问题

问题1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?

45OAB 2

4cm 8cm AB

问题3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?

（二）新课导学

1、单位圆的概念：

.在直角坐标系中,我们称以为圆心,以为半径的圆为单位圆.

2、三角函数的概念

我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

图2

如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;

(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;

(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).

所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

(2)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的

x

y

x

y

“sin”“tan”等是没有意义的. （3）由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置

的改变而改变.

3、例1：已知角α的终边与单位圆的交点是

求角α的正弦、余弦和正切值。

练习1：已知角α的终边经过点 ，求角α正弦、余弦和正切值。

例2 求 的正弦、余弦和正切值.

练习2：用三角函数的定义求 的三个三角函数值

4、定义推广：

设角是一个任意角，P （x,y ）是其终边上的任意一点， 点P 与原点的距离

α022>+=

y x r r y

r

y =αsin r

x r

x

=αcos x

y

()0tan ≠=x x y α③ 叫做α的正切，即 那么① 叫做的正弦，即 α ② 叫做的余弦，即 α3

5π

)22

,22(-P 6

7π

)23,21(-P

5、例题讲解 例3

已知角的终边经过点P (-3,-4)，求角的正弦、余弦和正切值 .

练习3. 已知角的终边过点P(-12,5) ,求的正弦、余弦和正切三个三角函数值.

5、探究三角函数值在各象限的符号

α0αθθ（ ）

）

+

（ ） ） （ ）

） x y

o αsin （ ） （ ）

（ ） （ ）

x y o α

cos

6、例题讲解

例4、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.反之也对。

变式训练 （1、） (2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 （2、）教材第15页第6题

（三）课堂小结 知识 能力

（四）作业布置 习题1.2A 组第2,9题

1.2.1 任意角的三角函数< 第二课时>

班级 姓名

学习目标

1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.

2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,

即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

重点难点

教学重点 终边相同的角的同一三角函数值相等

教学难点 利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几

何形式表示.

???><.

0tan ,

0sin θθ（ ） ） （ ） ）

（

）

）

（

）

）

x

y

o α

tan

教学过程

（一） 复习提问

1、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。（两个定义）

2、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。

3、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。

4、<小结>常见常用角的三角函数值

角 30o

45o

60°

120°

135°

150°

角的弧度数 sin cos tan

角α 0° 90° 180° 270° 360° 角α的弧度

数

sinα cosα tanα

（二）新知探究

1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

2、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2) sin60°

3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一):

sin(α+k·2π)=sinα, cos(α+k·2π)=cosα, tan(α+k·2π)=tanα, 其中k ∈Z .

ααααα

（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)

角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.

4.例题讲解

例1、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392°) (2)tan(-)

练习(1)、确定下列三角函数值的符号： （1）tan(-672°) (2)sin1480°101 (3)cos

例2、求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos ; (3)tan(-690°).

练习(2)、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2)cos ; (3)tan(-330°).

5、由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.

三角函数线（定义）：

6

11π

4

9π

6

13π

6

25π

（1） （2） （3） （4）

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点。

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点. 由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

， ， ．

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在

轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向

垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向

的为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

6、典型例题

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）；

练习1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）； （2）．

7、课下探究 （1） 利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1? 与 2? tan 与tan

αO x P (,)x y P x M (1,0)A αT α,OM x MP y ==sin 1y y y MP r α=

===cos 1x x

x OM r α====tan y MP AT

AT x OM OA

α====,,MP OM AT αx x x ααx y x y 3

π

56π23π-136

π-32sin π54sin π32π5

4π

（2）利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥

2? tan α

（三）课堂小结、

本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？

（四）课后作业

习题1.2A 组第3,4题

1. 2.2同角三角函数的基本关系

班级 姓名

【教学目标】

1、

掌

握同角三角函数的基本关系式.

2

1

>33

2、 能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式

【教学重点】

三角函数式的化简或证明

【教学难点】

同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用

【教学过程】

（一）知识回顾

1．若角在第三象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．

2．在角的终边上取一点P （3，4），请分别写出角的正弦、余弦和正切值．并计算sin +cos 和

的值。 3．请分别计算下列各式：

（1） （2）

（3） （4）

（二）新知学习

由上可知：同角三角函数的基本关系式及公式成立的条件：

① 平方关系：（语言表述）

（式子表述）

② 商数关系：（语言表述）

（式子表述） <思考> 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本

关系式求出其他的三角函数的值？ （三） 应用示例 例1 已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.

变式练习 已知cos α=,且α为第三象限角，求sin α,tan α的值。 ααα2

α2αα

α

cos sin 2

2

(cos30)(sin 30)_______.?+?=22

(sin 30)(cos60)______.?+?=tan 60_______.?=sin 60______.cos60?

=?

5

4

5

4

-

例2 已知cosα=,求sinα,tanα的值.

变式练习 已知sin α=,求cosα,tanα的值.

例3、求证:

变式练习 求证：

17

8

-5

3

-.cos sin 1sin 1cos x

x

x x +=-αααα2244cos sin cos sin )1(-=-1

cos cos sin sin )2(2

224=++αααα

例4、化简（1） （2） （3）(1+tan 2α)cos 2

α;

变式练习

化简（1．（2 （3）

100sin 12- 10cos 10sin 21-α

α222-11-2sin cos 1cos sin 3cos 23cos 5cos sin 3sin 4)2(cos 7sin 5cos 3sin 21,2tan 522

2+-+---=αααααααααααα）（

）（

求下面式子的值。、已知例

、

要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa 三个量之间有联系：

(sina+cosa) = 1+2sinacosa; (sina —cosa)= 1—2sinacosa 知“一”求“二”

（四）课外探究

（五）归纳小结

（六）作业布置

习题1.2 A 组第10，11，12，13题

22θθθθθθθθπθθθsin cos 4cos sin 3cos sin 2cos sin 1021cos sin .64433-++?∈=+）（）（）（）（），求值：，（，已知例.012k 6x 3cos sin 2的值求实数的两根，是方程、已知k k x =+++αα(1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角函数值; (2)公式的变形、化简、恒等式的证明.

α