2016深圳市第七届启智杯初中组八年级真题含答案解析
2016年（第七届）启智杯数学思维及应用能力竞赛（B2卷）
试卷
特别注意：
（1）请把解答石在答■题纸上，不矣在本卷上答题.
（2）本试卷在考试结東时请考生带走.
（3）本卷共12题，每题10分，满分120分?答题叶间120分钟。
5.（10 分）
2016年（第七届）启智杯数学思维及应用能力竟赛试卷（初二初三年级组）篤1页共4页
（1）如遛，分别以选长为1的正方彩的四个顶点为圆心，边长为半翟渔圆.四个厦在正方形的内器交
C2）如型分別以边长为1的正五边形的五个顶戊为国心，边长为半径国臥五个區在正方形的内都
（3）为了得到更一安的结论，我们可以送渎硏究正六边形、正七边彩按照上述方式乡成的闭台图形 的周
长’（注：当正六边彩时，各个圆都交于同一个煤 斫求周长记为0）.你能发現对于正n 边形（心7,所
邑成的闭合图形的同长公式马?清写出公式，并证明你的结论.
6. （10分）在线段.45上 在/点标注数字0,在B 点标注数字20,称为第一曲作；再在线段加 的中点C 处标
注数字2旦 "0,称为第二次换作；又分别在线段CB 的中点G 处标 2
注上所在线僉两端斫标注数字之和的一半，即°+ " = 也旦 “5,称为第三K 操作：如此 2 2 玄续下去，求经过第2016次操作后，线致肿 上所有标注数字之和.
7. （10分）如图：4x4的方格中，有/L B 两个络点，现将方 格图形沿虚线对折，使得/重台，则折叠后，堇
叠部 分的面积为多少？
8. （10分）将2016枚硬币摆放成一个三角形，第一行1枚谟币，第二行放2枚硬币，第三行放3枚
2016年（第七至）启智杯数学思维及应用能力竞赛试巻（初二初三年级组） 第2页犬4页
A5
交于A,B,C 、D,E 四个点，请写5段弧
"所因成的闭舍国形的周长
:
H
(O
理币，…第片行放乃枚硬币.求力““ + 2016"的末位数字.
9. （10分）如酸 空丰有一个4x4x4的正方体网格模左.樓、纵、竖各16条线股交成64个结点, 连接任意两
个结点都可以得宴一条线僉，那么：
（1） _____________________________________________ 从正面16个结点中任意逹接两个结虑，可以得
到 条长更等于的线孜.
（2） _______________________________________________ 从空中的64个结点中任意连接两个结点，可
以得到 __________________________________________________ 条长殳等于的线段?
C3）从空中某一点出发，最多可以逹接
_条长度等于.45的线段,这样的点有 _______ 个.
10?（10分）逼1所示?将具奁公共边的两个小方格称为植邻的两个小方洛 将逼1中相邻的两个小
方恪中的数同时加上或减去同一个数.称为一次擬作：问能否经过若干次操作后，将图1变为图
2.若能，请写出提年过程；若不能请写出理三.
11. （10分）为了制作一个表面积为6cm‘的正方优纸盒.选择圆形纸片进行如下设计，如图1、图2、
图3、图4祈示，却在圆形纸片中裁剪出正方体的平百展开蛋（注：手宜展开逼都内接于圆）.
（1） 谓根拒田1、阳2、阳3、田4所示的设计方案，分别计算出圆形纸片的面积.
（2） 如图5所示??当北正方体的平面曼开图内接于直角±4EF f 即直角三角形的两条直角边与展开 图左下角两达重合，斜边经过两个正方形的顶点，求此时直角44EF 的空弓处的面积.
@@@@^
科
S ： 5： 4 F
1 2 3 4 8 7 6
5
9
10
11 12
16 15 14 13
11 12 16 1 13 15 2 7 14
3 6 8 4
5
9
10
图
2
（10分）吧王整飪按以下方法排列，相傅你能发辺这些欽字的排列方注.
比如第4行第5列的数是20?可以记作为如卜20?
C1）第mtf.第"列的数记为4（也"），请你陨索并归纳岀弔宇母力“袞示a（"“）的公式；
（2）喪据你归纳的公武，分别求M10.15）昕表示旳数字是多少?
加15,9）所段示的数字是多少？
2016可以记作a C _______ ,_____ ）.
2016年(第七届)启智杯数学思维及应用能力竟赛(初中组尽)參考答案
1[参考菩案]
Cl) M10个等式：102 + 112 + 1102 = 1112
(2) 一沁律.第n个等式为/+ (n +1) ： + [n(n + I)]2 = [n(n +1) +1]2?
证明：
| m = 2?(n+l)+l
=[(("+1)+("-1))(”+1)]+1
-(M + 1)2 +M2 -1 + 1
-(” + 1)2 + n2
【评分标准】写出算10个算式给3分：写出第n个算式銓4分：写出证明给3分.
2【參考答赛】8067
【评分标准】写出正魂答案给给5分.确定顾最大可能为80得1分匚确定教有最大可
能为97-12-16 = 69得1分.确定殊-匕富=67+16=83得】分，确定文明为95,赃富为
2深圳教育最大道为8067.得2分■思路正鬲结果错误，酌悟给2?5分二
3【参考苔巽】
解誉：ABEF的更釈分削是x cm z. y cm19 (2 分)
根磅等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比，得：
6 BF y “
■■ n xy ? 12(1)(4分〉
x FD 2 "
y+ 2 BE v + 6 “
(2)(6分)
8 EC x + 2 + 8 " "
将(1)代入(2)得：x + y?8(8分)
于基SABC的:&积=6 + 2 + 8 + x + y = 24(10 分) 4【参冬苔褰】
(1)平面上一点引出100条射线，每两条射线之间构成一个角.总共有4950个角, 擂算过程是：(方法不唯一)
以第一条直线为起始谊，与隽二第三.…，第100条直践分别构成一个角，共99个角；以算二条直线为起始边??与第三、第四、…房100条直我分别构成一个角，共98个角；
以算98条直线为起始边，与第99、算100条亶线分别构成一个角，共2个角；
以第99条直线为起始边，与第100条直线构成一个角，共1个角. 合计有]+2+3+…+99 =4950个
角
3
(2)空间上一点引出100条射线?每两条射线之间构成一个角.总共有4950个角’ 【考察方向】分类、归纳.类比，抓本质，看共性?
【评分标准】
1
< 1）绐出答案得3分：说明握算过程加3分.
（2）给出答案得4分.
5【参考答案】：（1）芋；（2分）⑵,（5分）（3）畤开（7分）
3 3 3
证明如下：图形白n段长度相同的弧组成，该弧所谓圆心角为6（F仮一6）
5_ 2 ） * L署8x 仝（8 分）所以周长为”x—2—x2^- —
n n36CP 引（10 分）
6【參考咨案】
第1次換作后,数字之和=0+20=10（1 + 2°）. （2分）
第2次換作后，数字之和=1X2010（1+ 2、（4分〉
第3次揍作后，线段曲上所有标注数字之利=10-2X5+15= 10（1+ 2：）。（6分）
第4战操作后，所有标注数字之和=1X20升15+'+匕+兰+ "“0（1 + 23）?（8分）
2 2 2 2 侨以经过第2016次換作后.线^AB±.所有标注数字之和为10（1 + 20% （10分）
7【参考答案】如翅：延长HG、QC交于&对折?后重叠部分的图形为五边形
AQHGP,育團可知，HI:IG = HD:DR=1:2
1 4
侨以CG=2, AF:CR = 1:2.故FP = -FC =
3 3
i 4 7
则才叫63?警63叫的末位数字用“的末位数字，而3吧8计的末位数字.1
?祈以MFP的面积为S^pp = -X1X--才容易证得勺2阳与AP刃全等侨以的面积为S,曲=|所以，五城AQHGP的面积u 1 c c c c 4 20
^xiQHGP = 丫5衫CDEF _ b'QEH= & § _ 丁
1 4
【评分标進】進礎作岀对称图形得4分：求出FP-^FC-^得2分，说明
3 3
AQEH与MFA全笔得1分.计算出面积的3分.
8【參考笞案】
农题意有：1 + 2 + 3 + ???+w = 2016 （3 分）
^^=2016=>?2+W-4032=0九=63或力= -64<0舍去. （7分）
（3分）
（4.5
20灯■ 2016心的末位数字畏6,所以斥°” + 2016"的末位数宇是1^-7. （10 分）
9【参考菩赛】
弩：（1）可以连成12+12=2土条长度为曲的线段二 （2）故总共有逊条?
<3）这样户点歎可以连出11条长度为曲的线段.这样的点共有生点，
【评分标准】（1）求出准确答案得3分，不需要说明方法.
<2）求出進确答案得3分，不諾妻说明方法.⑶ 每空項对各得2分，不孫晏说明方泳
10【参考答案】
答案：不做（1分〉理白如下：为了说明其中的道理，不妨用代数式：
M = S] + E + C] + d ： + y + 瓦 + ° + /） — @2 + 代 + C]斗力：+ 4 + “3 + ?4 + 心） 定义为
图3中4x4方格的特征数匚
（3分）
现在对图3中任意送行这样的操作：比如??
<1）将相邻2个方格中的数字.如％①同甘加上数宇泡?计算其特
征数，发现特征数结果不变.（2）将相邻2个方恪中的数字.如瓦?同 时减去数字/计算其荐在数 特征数览臬不变.垮征数不因摂作而发
9
生变化.
（7分）
分别计算图1、图2中的特征数：
M 】=（1 + 3 + 7 + 5 + 11 + 9 + 15 + 13）-（2 + 4 + 12 + 14 + 16 十 6 + 10 + 8） =-8 （8 分）
M 2 =（11 + 16 + 15 + 7 + 14 + 6 + 5 + 10） — （12 + 1 + 13 + 2 + 3 + 8 + 4 + 9） = 32 （9 分）
h
，所以不能操作成功.
（10分）
11【参考答案】
（1）图1半径V? cm -面积5穴沏，
（1.5分）
4
<6
G
4
b. G