第三章综合测试卷

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】C

【解析】法一 y ＝|sin x |·cos x

|cos x |，分类讨论．

法二 y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同，很容易得到C. 8．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π

2)的图象关于直线x ＝2π

3对称，其周期是π，则( )

A ．f (x )的图象过点(0，1

B ．f (x )在区间[5π12，2π

3]上是减函数

C ．f (x )图象关于点(5π

12，0)对称 D ．f (x )的最大值为A 【答案】C

【解析】∵T ＝2π

ω＝π，∴ω＝2. 又f (x )图象关于x ＝2π

3对称， ∴2×2π3＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z)，

10．已知α，β都是锐角且sinα>cosβ，则()

___________________________________________________________

14．对于实数a、b，若a2＋b2＝1，则2a2－3b的最大值是________，最小值是________．

【答案】3－3

【解析】令a＝cosθ，b＝sinθ(0≤θ＜π)，则y＝2a2－3b＝2cos2θ－3sinθ

∴当sinθ＝1时，y取得最小值为－3；

当sinθ＝－1时，y取得最大值为3.

三、解答题(共6小题，共80分) 15．(12分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)·cos x.

17．

已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π

2，y ＝f (x )的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．

(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；

(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π

3，求A 的值．

【解析】(1)由题意得，T ＝2π

π3＝6.

因为P (1，A )在y ＝A sin(π

3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π

6. (2)解：设点Q 的坐标为(x 0，－A )．

由题意可知π3x 0＋π6＝3π

2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π

3，由余弦定理得

cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 2

2RP ·PQ

＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)

2A ·9＋A 2

＝－12.

解得A 2＝3，又A >0，所以A ＝ 3.

18．(14分)已知函数f (x )＝－3a sin2x －a cos2x ＋2a ＋b (a ≠0)定义域为[0，π

2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．

(1)求它的定义域和值域；

(2)f(x)是否为周期函数，若是，求出它的一个正周期；若不是，说明理由．

∴2k π＋π4

4，

∴定义域为{x |2k π＋π4

4，k ∈Z}．令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin(x －π

4)， ∴0

∴y ＝log 2t ≤log 22＝1

2， ∴值域为(－∞，1

2]．

(2)∵f (x ＋2π)＝log 2[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 2(sin x －cos x )＝f (x )，

∴f (x )是周期函数，2π为它的一个正周期．

20．(14分)如图，在R t △ABC 内有一内接正方形DEFG ，它的一条边DE 在斜边BC 上．

(1)设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，求△ABC 的面积P 和正方形的面积Q ；

(2)当θ变化时，求P

Q 的最小值．【解析】(1)设正方形的边长为x ，则x ＝BG sin θ，AG ＝x cos θ， ∴AB ＝BG ＋AG ＝x

sin θ＋x cos θ，即a ＝x

sin θ＋x cos θ， ∴x ＝a sin θ

1＋sin θcos θ

，

∴Q ＝a 2sin 2θ

(1＋sin θcos θ)2＝2a 2(1－cos2θ)(2＋sin2θ)

，