人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量的数量积_提高
人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习
平面向量的数量积
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;
【要点梳理】
要点一: 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义:
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积,记作a b ?,即有()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影:cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释:
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成a b ?;今后要学到两个向量的外积a b ?,而a b ?是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若0a ≠,且0a b ?=,则0b =;但是在数量积中,若0a ≠,且0a b ?=,不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0?时投影为b ;当θ=180?时投影为b -.
要点二:平面向量数量积的几何意义
数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积,这是a b ?的几何意义。图所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形,其中1||cos OB b θ=,它的意义是,向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量,即11||
a OB OB a =?。
事实上,当θ为锐角时,由于cos 0θ>,所以10OB >;当θ为钝角时,由于cos 0θ<,所以10OB <;
当090θ=时,由于cos 0θ=,所以10OB =,此时O 与1B 重合;当00θ=时,由于cos 1θ=,所以1||OB b =;当0180θ=时,由于cos 1θ=-,所以1||OB b =-。
要点三:向量数量积的性质
设a 与b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1.cos e a a e a θ?=?=
2.0a b a b ⊥??=
3.当a 与b 同向时,a b a b ?=;当a 与b 反向时,a b a b ?=-. 特别的2a a a ?=或a a a =?
4.cos a b
a b θ?= 5.a b a b ?≤
要点四:向量数量积的运算律
1.交换律:a b b a ?=?
2.数乘结合律:()()()
a b a b a b λλλ?=?=?
3.分配律:()a b c a c b c +?=?+?
要点诠释: 1.已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ?a=c.但是a b b c ?=??a c =;
2.在实数中,有(a ?b)c=a(b ?c),但是()()a b c a b c ?≠?
显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一
般a 与c 不共线. 要点五:向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,1212a b x x y y ?=+
2.设(,)a x y =,则222||a x y =+或2||a x =+
3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么||(a x =-平面内两点间的距离公式).
要点六:向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件
1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→
?=≠?= (2)证明垂直问题,常用垂直的充要条件
121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
(3)求夹角问题,利用2cos a b
a b x θ?==?+ (4)求线段的长度,可以利用2a a =或12(P P x = 【典型例题】
类型一:平面向量数量积的运算 例1. (1)已知|a |=4,|b |=5,向量a 与b 的夹角为
3
π,求①a ·b ;②(a +b )2;③a 2―b 2;④(2a +3b )·(3a ―2b ); (2)若向量a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,求a ·b +b ·c +c ·a 的值。
【思路点拨】(1)(a +b )2=222a a b b +?+,(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2 把模和数量积代入可得。(2)(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a ),把模和数量积代入可得。
【答案】(1)10 61 -9 ―4(2)―13
【解析】 (1)①1||||cos
451032
a b a b π?==??=。 ②(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2=61。
③a 2―b 2=|a |2―|b |2=-9。
④(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2=―4。
(2)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a ), ∴222
2222()()0(314)1322
a b c a b c a b b c c a ++-++-++?+?+?===-。 【总结升华】(1)此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题,特别要灵活应用a 2=|a |2。
(2)在解题中,利用了(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )这一关系式,类似于实数的运算。
举一反三:
【变式1】已知|a |=5,|b |=4,〈a ,b 〉=
3π,求(a +b )·a . 【答案】35
【解析】
原式=22||||||cos ,a a b a a b a b +?=+?
=125542+??
=35 例2.(1)若|a |=4,a ·b =6,求b 在a 方向上的投影;
(2)已知|a |=6,e 为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时,求出a 在e 方向上的正投影,并画图说明。
【答案】(1)32
(2)略 【解析】 (1)∵a ·b =|a | |b |cos θ=6,又|a |=4,
∴4|b |cos θ=6,∴3||cos 2
b θ=。 (2)a 在e 方向上的投影为|a |·cos θ。
如上图所示,当θ=60°时,a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos60°=3;
当θ=90°时,a 在e 方向上的投影的数量为|a |·cos90°=0;
当θ=120°时,a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos120°=-3。
【总结升华】 要注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影不是相同的。
类型二:平面向量模的问题 例3.已知|a |=|b |=4,向量a 与b 的夹角为23π,求|a +b |,|a ―b |。 【思路点拨】已知两个向量的模和夹角,把|a +b |和|a ―b |用向量的模和夹角的来表示,所以先求出
()2a b +和()2a b -,然后再开方即可。
【答案】4,【解析】 因为a 2=|a |2=16,b 2=|b |2=16,
2||||cos 44cos
83a b a b πθ?=?=??=-, 所以222||()216164a b a b a b a b +=+=++?=+=。
同事可求222||()21616a b a b a b a b -=-=+-?=+=。
【总结升华】关系式a 2=|a |2,可使向量的长度与向量的数量积互相转化。因此欲求|a +b |,可求(a +b )·(a +b ),并将此式展开。由已知|a |=|b |=4,得a ·a =b ·b =16,a ·b 也可求得为―8,将上面各式的值代入,即可求得被求式的值。
举一反三:
【平面向量的数量积395485 例4】
【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==?=-,求||,||a b a b -+。
【解析】 222()2425635a b a ab b -=-+=++=,||35a b ∴-=
同理,||23a b +=
【变式2】已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】2222a b a a b b +=+?+, 222cos12013a a b b ∴+?+=,解得4b =,故选B.
【总结升华】涉及向量模的问题一般利用22
a a a a =?=,注意两边平方是常用的方法. 类型三:向量垂直(或夹角)问题 例4.(2015 上海月考)已知||3a =,||4
b =,
(1)若(2)(2)20a b a b +?-=-,求a 与b 的夹角;
(2)若a 与b 的夹角为60°,试确定实数k ,使ka b +与a b -垂直.
【答案】(1)1arccos 6π-;(2)103
k = 【解析】(1)∵||3a =,||4b =,(2)(2)20a b a b +?-=-,
∴22
(2)(2)232a b a b a a b b +?-=+?- 29216334cos ,20a b =?-?+?????=-, ∴1cos ,6
a b ??=-
, ∴11,arccos()arccos 66
a b π??=-=-, ∴a 与b 的夹角为1arccos 6π-. (2)∵||3a =,||4b =,a 与b 的夹角为60°,ka b +与a b -垂直,
∴22()()(1)0ka b a b ka k a b b +-=+-?-=,
∴9k +(1-k )×3×4×cos 60°-16=0, 解得103
k =. 举一反三:
【变式1】已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向a +b 与向量k a -b 垂直,则k=________。
【答案】1
【变式2】已知,a b 是两个非零向量,同时满足a b a b ==+,求a a b -与的夹角. 【解析】法一:将a b a b ==+两边平方得 221122a b a b ?=-=-, 2223a b a a b b a ∴-=-?+= 则222221()32cos 3a a a a b a a b a a b a a b a a θ+?--?====--?, 故a a b -与的夹角为30°. 法二: 数形结合 因为a b a b ==+,如图
作,OA a AB b ==,则OB a b =+,
ABC ∴?是等边三角形,
延长BA 至C ,使AC=AB ,BC b ∴=-,OC a b ∴=-
a ∴与a
b -
的夹角为AOC ∠,易知大小为30°。
【总结升华】注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.
【平面向量的数量积395485 例5】
【变式3】已知,,a b c 为非零向量,且||||b a c a b c --=--,||||a b c a b c ++=+-,
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
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高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、常见集合:正整数集合: 或 ,整数集合: ,有理数集合: ,实数集合: . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有 个子集, 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作: . 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作: . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有惟一确定的数 和它对应,那么就称 为集合A到集合B的一个函数,记作: . 2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 那么 上是增函数; 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设