一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
一元二次方程拓展提高题
1、已知0200052
=--x x
，则
()()2
1
122
3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1
2004
4007222=++
-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a
.
4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式
_____21682=-++-a a a .
5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .
6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）
A 、0 ab
B 、2-≤+b a
C 、3-≤+b a
D 、
4-≤+b a
7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .
10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( )
A 、小于1
B 、等于1
C 、大于1
D 、不能确定
11、已知α是方程041
2
=-+x x 的一个根，则α
αα--331的值为 .
12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）
A 、2011
B 、2010
C 、2009
D 、2008
13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）
A 、14
B 、15
C 、16
D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）
A 、1
B 、1.5
C 、2
D 、2.5 16、方程97
33
322=-+-
+x x x x 的全体实数根之积为（ ）
A 、60
B 、60-
C 、10
D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）
A 、1
B 、2
C 、
21 D 、2
3
18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程
x
ax x x x x a 1
122++
-=-只有一解，求a 的值。 中考真题
1、若11=-
x x ，则331
x
x -的值为（ ） 2、已知实数α、β满足0132=-+αα，0132=--ββ，且1≠αβ，则βα32+-的值为（ ）
A 、1
B 、3
C 、－3
D 、10 3、实数x 、y 满足方程0132222=+-+-+y x xy y x ，则y 最大值为（ ） A 、21 B 、23 C 、4
3
D 、不存在
4、方程()
113
2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 5、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1，则方程02=++a cx bx 的两根为（ ） A 、31-和1 B 、21和1 C 、31和1- D 、2
1-
和1-
6、实数x 、y 满足222=++y xy x ，记22y xy x u +-=，则u 的取值范围是（ ） A 、
632≤≤u B 、23
2
≤≤u C 、61≤≤u D 、21≤≤u
7、已知实数m ，n 满足020092=-+m m ，
()1020091
12-≠=--mn n
n ，则_____1
=-n m
. 9、已知方程()021222=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）
A 、3-或1
B 、3-
C 、1
D 、3 10、设a ，b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根是347-，则______=+b a .
13、已知方程()03324=+--a x a ax 的一根小于2-，另外三根皆大于1-，求a 的取值范围。
14、已知关于x 的方程022=+-k x x 有实数根1x ，2x 且3
231x x y +=，试问：y
值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。 15、求所有有理数q ，使得方程()()0112=-+++q x q qx 的所有根都是整数。
一元二次方程培优题及参考答案
1、已知0200052
=--x x
，则
()()2
1
122
3-+---x x x 的值是（ D ） A 、2001 B 、2002 C 、2003 D 、2004
答案：D
解析：由0200052=--x x 得：200042+=-x x x
()()()()2004
20042
2442
1122
112222223=-+=-+-++-=-+--+-=-+---x x x x x x x x x x x x x
归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2、已知0120042=+-a a ，则_________1
2004
400722
2=++-a a a .
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
答案：2002
解析：由0120042=+-a a 得：a a 200412=+，120042-=a a ，20041
=+a
a 原式()20021
2200420044007120042=+-=+
--=a
a a a a 归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 3、若1≠a
b ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b
a
. 答案：
5
7 解析：由05200572
=++b b 得：0712005152
=+?+??
?
??b b
∵1≠ab ，即b
a 1≠ ∴把a 和
b 1
作为一元二次方程07200552=++x x 的两根
∴5
7
1==?
b a b a 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式
_____21682=-++-a a a .
归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当0 ?时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 答案：
8
97 考点：二次函数的最值。 专题：计算题；换元法．
分析：此题只需先令06≥=-t x ，用x 表示t ，代入求y 关于t 的二次函数的最值即可。
解答：令06≥=-t x ，26t x -=
则8112412122212622
2
2
+??? ?
?
--=++-=+-=-+=t t t t t x x y
又0≥t ，且y 关于t 的二次函数开口向下，则在4
1
=
t 处取得最大值 即y 最大值为8
1
12，即897
归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将x -6用t 来表示进行解题比较简便。
6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）
A 、0 ab
B 、2-≤+b a
C 、3-≤+b a
D 、
4-≤+b a
答案：B
考点：根的判别式。 专题：综合题。
分析：由0=++c b a ，2=abc ，0 c ，得到a ，b 两个负数，再由c b a -=+，
c ab 2=
，这样可以把a ，b 看作方程02
2=++c
cx x 的两根，根据根的判别式得到02
42≥?
-=?c
c ，解得2≥c ，然后由c b a -=+得到2-≤+b a . 解答：∵0=++c b a ，2=abc ，0 c ∴0 a ，0 b ，0 c ∴c b a -=+，c
ab 2=
∴可以把a ，b 看作方程02
2=++c
cx x ∴02
42≥?
-=?c
c ，解得2≥c ∴()2≥+-=b a c ，即2-≤+b a 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则0≥?．也
考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 答案：0
考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。
分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由8=-b a 可得8+=b a ；将其代入0162=++c ab 得：016822=+++c b b ；此时可发现1682++b b 正好符合完全平方
公式，因此可用非负数的性质求出b 、c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可。
解答：∵8=-b a ∴8+=b a
又∵0162=++c ab ∴016822=+++c b b ，即()0422
=++c b
∴4-=b ，0=c ∴4=a ∴0=++c b a
归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 答案：2005-
考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到12=+m m ，然后整体代入代数式求值计算即可。 解答：∵012=-+m m ∴12=+m m
∴原式()2005200612006200622-=-=-+=-++=m m m m m m
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 答案：0
考点：拆项、添项、配方、待定系数法。 专题：计算题．
分析：先将字母b 表示字母a ，代入042=++c ab ，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值，从而得到b a +的值。
解答：∵4=-b a ∴4+=b a
代入042=++c ab ，可得（()0442=+++c b b ，即()0222
=++c b
∴2-=b ，0=c ∴24=+=b a ∴0=+b a
归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( )
A 、小于1
B 、等于1
C 、大于1
D 、不能确定
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
答案：A
考点：根与系数的关系． 专题：计算题．
分析：方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答：∵方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ∴p x x -=+21，q x x -=21 ∵11 x ，3-+ q p ∴32121 x x x x ++ ∴231212 x x x x -+ ∴()2112 +x x ∵211 +x ∴12 x
归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握1x ，2x 是方程02=-+q px x 的两根时，p x x -=+21，q x x -=21．
11、已知α是方程041
2
=-+x x 的一个根，则α
αα--331的值为 .
答案：5
考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到0412=-+αα，即4
1
2=+αα然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵α是方程0412=-
+x x 的一个根 ∴0412=-+αα，即4
1
2=+αα ∴原式()(
)
()()54
11
4
1
1111122
2
=+=+++=-+++-=
α
ααααααααα
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）
A 、2011
B 、2010
C 、2009
D 、2008 答案：B
考点：因式分解的应用． 专题：计算题；整体思想．
分析：将132=-x x 化简为0132=--x x ，整体代入200872129234+--+x x x x 变形的式子()()()20101321351332222+--+--+--x x x x x x x x ，计算即可求解．
解答：∵132=-x x ，即0132=--x x ∴200872129234+--+x x x x ()()()
20101321351332222+--+--+--=x x x x x x x x 2010=
归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。 13、方程22323=--+x x 的解为 . 答案：
3
2
考点：利用方程的同解原理解答。 专题：计算题。
解答：22323=--+x x
两边同时平方得：449223232=---++x x x
整理得：23492-=-x x 再平方得：812-=-x 解得：3
2=x 归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）
A 、14
B 、15
C 、16
D 、18 答案：B
考点：完全平方公式。
点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。
15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）
A 、1
B 、1.5
C 、2
D 、2.5 答案：C
考点：解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。 专题：解题方法。
分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当0≥x 时，原方程为m x x =+-222；当0 x 时，原方程为m x x =++222．
解答：当0≥x 时，原方程为：m x x =+-222，化为一般形式为：0222=-+-m x x 用求根公式得：1124
42-±=-±=
m m x
当0 x 时，原方程为：m x x =++222，化为一般形式为：0222=-++m x x 用求根公式得：112
4
42-±-=-±-=
m m x
∵方程的根恰为3个，而当2=m 时，方程的3个根分别是21=x ，02=x ，23-=x ． 归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m 的值。 16、方程97
33
32
2=-+-
+x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 答案：A
考点：换元法解分式方程。 专题：换元法。
分析：设y x x =-+732，原方程化成23
=-y
y ，再整理成整式方程求解即可。 解答：设y x x =-+732，则23
=-
y
y ∴0322=--y y ，
解得11-=y ，32=y 当11-=y 时，1732-=-+x x ，解得2
33
3±-=
x 当32=y 时，3732=-+x x ，解得2=x 或5- ∴
()60522
33
32333=-??--?+- 归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把732-+x x 看成一个整体来计算，即换元法思想。
17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）
A 、1
B 、2
C 、21
D 、2
3 答案：C
考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。
解答：设0522=--a x x 的两根分别为k 2，k 3，由根与系数的关系得：
2532=
+k k ，2
32a
k k -=? ∴2
1
=
k ，3-=a ∴()2
142442542
121212=-=
-+=-x x x x x x 归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 答案：5
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。 专题：计算题。
分析：由方程的根的定义，可知012=-+αα，移项，得αα-=12，两边平方，整理得αα324-=①；由一元二次方程根与系数的关系，可知1-=+βα②；将①②两式分别代入βα34-，即可求出其值。
解答：∵α是方程012=-+x x 的根 ∴012=-+αα ∴αα-=12 ∴()αααααα321212124-=-+-=+-= 又∵α、β方程012=-+x x 的两个实根
∴1-=+βα ∴()()51323233234=-?-=+-=--=-βαβαβα
归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。
19、若关于x 的方程x
ax x x x x a 1
122++
-=-只有一解，求a 的值。 答案：0=a 或2
1=
a
考点：解分式方程。
分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a 的值。
解答：原方程化为()01322=--+x a ax ① （1）当0=a 时，原方程有一个解，2
1=
x （2）当0≠a 时，方程①()01452
2 -+=?a a ，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故1=x ，得2
1=
a ． 综上可知当0=a 时，原方程有一个解，21=
x ，2
1
=a 时，2-=x ． 归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方
20、已知二次函数()()02
≠++=a c bx ax x f 满足()01=-f 且()2
1
2+≤≤x x f x 对一
切实数恒成立，求()()02≠++=a c bx ax x f 的解析式。
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。 专题：综合题。
分析：取1=x ，由()2
1
111+≤
≤f ，能够求出()11=f 的值；由()01=-f ，知??
?=+-=++0
1c b a c b a ，所以21
==+b c a ，由()x f x ≤，对一切实数恒成立，知x c bx ax ≥++2，即()012≥+-+c x b ax 对一切实数恒成立，由此能求出()x f 的表达式。
解答：解：（1）∵二次函数()()02≠++=a c bx ax x f 满足()01=-f 且
()2
1
2+≤≤x x f x ∴取1=x ，得()2
1
111+≤
≤f 所以()11=f ∴???=+-=++0
1c b a c b a ∴21==+b c a
∵()x f x ≤，对一切实数恒成立 ∴()012≥+-+c x b ax 对一切实数恒成立
∴()???≤--=?04102
ac b a ∴??
?
??≥16
10ac a ∵0 a ，016
1
≥
ac ∴0 c ∵
1612
221≥≥+=ac c a 当且仅当4
1
==c a 时，等式成立 ∴()4
121412++=
x x x f 点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。
21、已知()()02≠++=a c bx ax x f .
（1）对任意1x ，2x ，当21x x 有()()21x f x f ≠，求证：()()()2
21x f x f x f +=两
个不相等的实根且有一根在（1x ，2x ）内。
（2）若()()()2
21x f x f x f +=
在（1x ，2x ）内有一根为m 且1221-=+m x x .若
()0=x f 的对称轴为0x x =.求证：20m x .
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质．
专题：计算题；转化思想．
分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为()x g ，由()()021 x g x g ，可得方程有一个根属于（1x ，2x ）．
（2）由题意可得()()()2
21x f x f m f +=，即()()022212
2
212=--+--x x m b x x m a ，由
于
1
221-=+m x x ，
故
()
2
2
2122x x m a b ---=，由
()
2
2222
2212
222120x x m x x m a b x +-
=+-=-=证得结论。 解答：证明：（1）∵
()()()
2
21x f x f x f +=
∴
()()
c bx ax c bx ax c bx ax x f +++++=
++=22
212122
1 整理得：()()022212
2
212=+-+-+x x b x x a bx ax ∴()()[
]()()[]
2
22
1212
2
21222284b ax b ax x x b x x a a b +++=++++=? ∵21x x ∴b ax b ax +≠+2122
∵0 ? 故方程有两个不相等的实数根 令()()()()221x f x f x f x g +-
= 则()()()()[]221214
1
x f x f x g x g -=
又()()21x f x f ≠ 则()()021 x g x g
故方程()()()2
21x f x f x f +=
有一根在（1x ，2x ）内。 （2）∵方程()()()2
21x f x f x f +=在（1x ，2x ）内有一根为m ∴
()()()2
21x f x f m f +=
∴()
()022212
2
2
12=--+--x x m b x x m a ∵1221-=+m x x ∴()2
2
2122x x m a b ---= 故()
22
2212
2221202
222m x x m x x m a b x +-=+-=-=
点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想。
一元二次方程成都四中考试真题
1、若11=-
x x ，则331
x
x -的值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 答案：4
考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。 解答：∵11
=-
x
x ∴
431111112
2233
=???
?????+???
?
?
-??? ?
?-=??? ??++??? ?
?
-
=-x x x x x x x x x x 归纳：本题关键是将11=-
x x 作为整体，然后将331
x
x -进行因式分解变形解答。
2、已知实数α、β满足0132=-+αα，0132=--ββ，且1≠αβ，则βα32+-的值为（ ）
A 、1
B 、3
C 、－3
D 、10 答案：D
解析：由0132
=--ββ得：011312
=???
? ??-???? ???-ββ，即ββ3112
-=，31
-=ββ
∵1≠αβ，即β
α1
≠ ∴把α和
β
1
作为一元二次方程0132=-+x x 的两根 ∴31-=+
β
α，
1-=β
α
，即βα-= ∴109113133
131
31
32
22=+=????
??--=+-
=+=
+=
+-βββββββαβα 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 3、实数x 、y 满足方程0132222=+-+-+y x xy y x ，则y 最大值为（ ） A 、21 B 、23 C 、4
3
D 、不存在
答案：B
考点：根的判别式。 专题：计算题；转化思想。
分析：先把方程变形为关于x 的一元二次方程()01322122=+-+-+y y x y x ，由于此方程有解，所以0≥?，这样得到y 的不等式03842≤+-y y ，解此不等式，得到y 的取值范围，然后找到最大值。
解答：把
132222=+-+-+y x xy y x 看作为关于x 的
()01322122=+-+-+y y x y x ，并且此方程有解，所以0≥?，即
()()013242122≥+---y y y
∴03842≤+-y y ，()()01232≤--y y
∴
2
3
21≤≤y 故y 的最大值是23
点评：本题考查了一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ，a ，b ，c 为常数）根的判别式。当0 ?，方程有两个不相等的实数根；当0=?，方程有两个相等的实数根；当0 ?，方程没有实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。
4、方程x
x x 2
22=
-的正根的个数为（ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
5、方程()
113
2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 答案：C
考点：零指数幂。 专题：分类讨论。
分析：方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为1-，指数为偶数。
解答：（1）当03=+x ，012≠-+x x 时，解得3-=x ；（2）当112=-+x x 时，解得2-=x 或1；（3）当112-=-+x x ，3+x 为偶数时，解得1-=x
因而原方程所有整数解是3-，2-，1，1-共4个。
点评：本题考查了：10=a （a 是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1。本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选B ，需特别注意。
6、关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1，则方程02=++a cx bx 的两根为（ ）
A 、31-和1
B 、21和1
C 、31和1-
D 、2
1
-
和1-
答案：B
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
分析：因为方程的两个根为3-和1，所以方程可以方程因式为()()013=-+x x a ，用含a 的式子表示b 和c ，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
解答：∵02=++c bx ax 的两根为3-和1 ∴()()013=-+x x a 整理得：0322=-+a ax ax ∴a b 2=，a c 3-= 把b ，c 代入方程02=++a cx bx ，得：0322=+-a ax ax ()()0112=--x x a
∴2
1
1=
x ，12=x 归纳：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a 的式子表示b 和c ，然后把b ，c 代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
7、实数x 、y 满足222=++y xy x ，记22y xy x u +-=，则u 的取值范围是（ ） A 、
632≤≤u B 、23
2
≤≤u C 、61≤≤u D 、21≤≤u
形后整体代入确定出u 关于xy 的式子，从而求出u 的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方．
8、已知实数m ，n 满足020092=-+m m ，
()1020091
12-≠=--mn n
n ，则_____1
=-n m
. 考点：一元二次方程根与系数的关系。
分析：根据题意：由020092
=-+m m 得：011120092
=-+??
?
??m m ；由
02009112
=--n n
得：()()0120092
=--+-n n ，又因为1-≠mn ，即n m -≠1，因此可以把m 1
，n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根，由根与系数的关系得：
2009
1
1-
=-n m . 解答：∵020092=-+m m ，
020091
12
=--n n
∴011120092
=-+??
? ??m m ，()()0120092
=--+-n n
∵1-≠mn ∴n m
-≠1
∴把
m
1
，n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根 ∴()2009
1
11-
=-+=-n m n m 归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了1-≠mn 这个条件隐含的题意。
9、已知方程()021222=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）
A 、3-或1
B 、3-
C 、1
D 、3 答案：C
考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。
分析：由题意设方程()021222=-+++k x k x 两根为1x ，2x ，得()1221+-=+k x x ，2221-=k x x ，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k
值。
解答：设方程()021222=-+++k x k x 两根为1x ，2x
得()1221+-=+k x x ，2221-=k x x ，()()094241222
+=--+=?k k k ∴
49-
k ∵112221=+x x ∴()112212
21=-+x x x x ∴()()11221222
=--+k k 解得1=k 或3-
∴4
9-
k 归纳：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。
10、设a ，b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根是347-，则______=+b a .
答案：3-
考点：一元二次方程的解；二次根式的化简求值。 专题：方程思想。
分析：一个根32347-=-代入方程，得到a ，b 等式，再由a ，b 是整数，可以求出a ，b 的值。
解答：32347-=-，把32-代入方程有：()
032347=+-+-b a
()()
03427=--+++a b a
∵a ，b 是整数 ∴?
??=--=++04027a b a ∴???=-=14
b a ∴3-=+b a
归纳：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a ，b 是整数就可以求出a ，b 的值。
11、已知函数()c x b x y +-+=12，（b ，c 为常数），这个函数的图象与 x 轴交于两个不同的两点A （1x ，0）和B （2x ，0）且满足112 x x -.
（1）求证：()c b b 22+≥
（2）若1x t ，试比较c bt t ++2与1x 的大小，并加以证明。 考点：抛物线与x 轴的交点。 专题：证明题；探究型。
分析：（1）首先利用求根公式求出x 的值，再由112 x x -求解；
（2）已知()()()2121x x x x c x b x --=+-+推出()()121+--x t x t ．根据1x t 推出答案。
解答：证明：（1）∵令()c x b x y +-+=12中0=y 得到()012=+-+c x b x
∴()()2
4112c
b b x --±--=
又112 x x - ∴
()1412 c b -- ∴14122 c b b -+- ∴()c b b 22+≥
（2）由已知 ∴()()x x x x x c bx x +--=++212 ∴()()t x t x t c bt t +--=++212
∴()()()()12112112+--=-+--=-++x t x t x t x t x t x c bt t ∵1x t ∴01 x t -
∵112 x x - ∴121-x x t
∴012 +-x t ∴()()0121 +--x t x t 即12x c bt t ++
归纳：综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。 12、已知关于x 的方程()0222=+-+a ax x a 有两个不相等的实数根1x 和2x ，并且抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a 的取值范围；
（2）当2221=+x x 时，求a 的值。
考点：抛物线与x 轴的交点；根与系数的关系。.
分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a 的取值范围。设抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且βα ，∴α、β是()052122=-++-a x a x 的两个不相等的实数根，再利用()052122=-++-a x a x 的根的判别式求a 的取值范围，又∵抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系
数的关系确定；（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a 的值。
解答：解：（1）∵关于x 的方程()0222=+-+a ax x a 有两个不相等的实数根 ∴()()?
??+--=?≠+0242022
a a a a 解得：0 a ，且2-≠a ①
设抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且βα
∴α、β是()052122=-++-a x a x 的两个不相等的实数根 ∵()[]()()021*********
2
+-=-??-+-=?a a a
∴a 为任意实数②
由根与系数关系得：12+=+a βα，52-=a αβ
∵抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁 ∴2 α，2 β ∴()()022 --βα ∴()042 ++-βααβ ∴()0412252 ++--a a 解得：2
3- a ③ 由①、②、③得a 的取值范围是02
3
a -
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
（2）∵1x 和2x 是关于x 的方程()0222=+-+a ax x a 的两个不相等的实数根 ∴2221+=+a a x x ，2
21+=a a
x x ∵023 a -
∴02 +a ∴02
21 +=a a x x 不妨设01 x ，02 x ∴222121=-=+x x x x
∴822
2
2121=+-x x x x ，即()84212
21=-+x x x x ∴824222
=+-
???
??+a a a a 解这个方程，得：41-=a ，12-=a 经检验，41-=a ，12-=a 都是方程824222
=+-
??
?
??+a a a a 的根 ∵2
3
4-
-= a ，舍去 ∴1-=a 为所求。 归纳：本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用。
13、已知方程()03324=+--a x a ax 的一根小于2-，另外三根皆大于1-，求a 的取值范围。