Stirling 公式

谈Stirling 公式（转）

彭宇煦

12位粉丝

1楼

甲、一个机率问题

什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。

举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。常识是我们作观念探险之旅的出发点。

问1：

丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？

根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为

我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的

问2：

当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得

我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。

n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。我们不排斥还有其它猜想过程因为登一座山可以有各种不同的路径，路径越多越美妙。

PS：本篇内容较多，等我慢慢贴，为保证阅读流畅性，请暂时不要插楼，谢谢！

顶

2009-12-15 16:11

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2楼乙、n! 的驯服

首先观察，欲估计它，最简单的是采高估策略：每个因数都用n 来取代，亦即取

（2）

显然

，故n^n 高估n!，不过也不错，「万事起头难」，有个开头，就可以逐步修改进，从错误中学习，而达真理的殿堂。

[问3：] 如何改进(2)式？

我们改采中庸策略：每个因数都用「中位数」1/2（差不多就是算术平均(n+1)/2 ）来取代，亦即取

(3)

这样应该会比(2)式更好才对吧！

我们必须对(3)式作分析与检验的工作。令

如果，那麼「芝麻就开门」了，an=(n/2)^n就是我们所要的渐近公式。然而我们的内心不禁会响起如下的怀疑：真理不会藏得这麼浅显让我们一猜即中吧？

我们来比较n! 与(n/2)^n 的大小。由算术平均大於等於几何平均定理知

事实上可以用数学归纳法证明：

因此当n 很大时，用「相差」的观点来看，(n/2)^n 高估了n! 但是此地我们应该另采「相

比」的观点更适当，因为我们要找的是n! 的渐近相等式。例如，

n^2+n 与n^2，从「相差」观点来看，当n 趋于无穷时，两者之差

但是从「相比」观点来看，(n^2+n)/n^2→1，即两者渐近地相等。换言之，「相差」观点

的高估，还是有可能是「相比」观点的渐近相等。

考虑n! 与（n/2）^n 之比的数列(bn)，我们的目标是探求极限limbn(n趋于无穷) 。首

先注意到(bn) 是一个递减的正项数列，由实数系的完备性知

（4）

但是α 等於多少，并不容易看出。我们采用旁敲侧击的战术，我们观察到下面简单的问

题

未完待续，晚上来帖，贴图很辛苦，希望不要插楼，谢谢！

2009-12-15 16:28

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3楼

补题1：

设(Sn) 为一个正项数列。如果limSn=S属于R且S不等于0，则l imS(n+1)/Sn=1

这没有告诉我们一个数列何时会收敛，不过有「消极中的积极」作用。

如果limS(n+1)/Sn=1 不成立，则可能有三种情形：

limSn=0 或limSn=无穷或limSn不存在。此时根本不必梦想会有li mSn=1 。

另一方面，如果limS(n+1)/Sn=1 ，则(Sn) 可能收敛，也可能发散；

此时也不能保证limSn=1

现在就来计算极限

limb(n+1)/bn(n→∞)=

=(5)

因此limb(n+1)/bn=1不成立，故下列三者之一成立

limbn=0 或limbn=无穷或limbn不存在。配合(4)式，立知limbn=0 所以(n/2)^n 还是高估了n!。只好继续追寻。

问4：如何改进(3)式？

我们的目标是寻找比(n/2)^n 还小一点的估计式。我们从两个角度来观察：

(i) 由微积分知道，对差分而言，2 是自然指数的底数(△2^n=2^n) ，但是对需取极限的微分而言，比2 大的e=2.71828... 才是自然指数的底数(De^x = e^x)。e 似乎是比2 更佳的选择；

(ii) 在(5)式中，若将2 改为e，则极限值变成1，这似乎是不错的念头。

这两点观察给我们启示何不将(3)式中的2改为神奇的数e呢？换言之，将(n/2)^2改成小一点的(n/e)^2 似乎是个好主意。让我们投石问路，试试看，亦即重新取

(6)

接著是检验工作。令n! 与(n/e)^2 的相比为

Cn=n! /(n/e)^2

容易求得极限limC(n+1)/Cn=1 ，但是还是无法得到我们梦想的结果limCn=1 。继续做苦工(dirty works) 吧！

首先我们来比较(n/e)^n 与n! 的大小。由2<(1+1/n)^n

再由数学归纳法可证得下面结果

补题2

(n/2)^n不是我们所要的答案，改为(n/e)^n ，会不会矫枉过正？让我

们来求算极限值。由补题2知Cn=n! /(n/e)^2>1,任意n属于N

并且容易验知(cn) 为一个递增数列，故

为了探求β 的真确值，我们想到了也许可以请著名的Wallis 公式

来帮忙，因为公式中涉及了n!。这是Wallis 在1656年研究圆的求

积问题而得到的，公式的发现过程也非常富有方法论上的启发与意

涵。

未完待续，修改得太累了！！！

2009-12-15 18:31

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4楼补题3：（Wallis公式，1656年）

或

或

由

得n!=(Cn)*n^n/e^n

从而2n!=(C2n)*2n^（2n）/e^2n

代入Wallis公式得

亦即

（7）

未完待续！

2009-12-15 18:37

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5楼如果limCn=β是有限数，则由(7)式得0=√π ，矛盾。结论是

换言之，（n/e）^n 低估了(n!)。

我们继续追问低估了多少？

最容易猜想到的增估是取

an=(n/e)^n*n

令dn=n!/(n/e)^n*n易验知(dn) 为一个递减的正项数列，故limdn=r 存在，

且0《r<无穷。今若0

因此limdn=0 。换言之，（n/e)^n*n 又高估了n!。

只好再减估一点比n 更低阶趋近於无穷的式子是什麼呢？我们自然想到n^α，

0<α<1，配合著对(7)式的观察，我们自然想到了√n ，於是我们猜想

an=(n/e)^n*√n

这也许是个不错的折衷办法。

我们也可以从另一个角度来观察：由微积分知

令k=1,2, …, n-1 得到一组不等式，将它们乘起来得

此式只是n! 的粗估，不过也启示我们用折衷的(n/e)^n*√n 来估计

n!

让我们来检验看看这个猜想好不好。令

Un= n!/[(n/e)^n*√n ]

问5：极限limUn 存在吗？是多少？

由于一贴只能贴10幅图，很多地方是我自己打出来的，难免有错，

敬请谅解！

2009-12-15 18:50

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6楼

补题5：(un) 什麼是一个递减的正项数列。

证明：考虑相比

我们观察到下面两个式子是等价的：

e<(10)

2/(2n+1)=

=(11)

由於y=1/x 为一个凸函数，且下图梯形面积恰好为1/[n+(1/2)]

图一

因此(11)式成立，从而(10)式成立。於是Un/U(n+1)>1 ，亦即(un)

为一个递减正项数列，证毕。

因此极限limUn=L 存在，且0《L<无穷。如果L=0，我们就必须

继续再追寻下去。幸运的是，我们已经可以用Wallis 公式证明L=

√2π ，这真是一个美妙的结果。n! 终於被驯服！

未完待续！

2009-12-15 19:16

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7楼

丙、Stirling 公式的证明

定理1：（Stirling 公式，1730年）

记成，当n→无穷。

证明：

得

代入Wallis 公式并且化简得

再由得，从而，证毕。

2009-12-15 19:21

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?12位粉丝

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8楼

Stirling 公式涉及两个神奇的常数π 与e 这是其美妙的所在。物理学家R. Feynman 每当

遇到一个含有π 的公式时，总是要问：「圆在哪里？」(Where is the circle?) 此地我们很

容易回答π 来自Wallis 对圆的求积公式。

利用同样的方法我们可以证明下面深刻的结果：

定理2：设α>0,且，则

1.当α>1/2时，(xn) 为递减数列且limXn=0

1.当α<1/2时，(xn) 为递增数列且limXn=无穷

换言之，当α>1/2 时，高估了n!；当α<1/2 时，

低估了n!。α=1/2 恰是分水岭的Stirling 公式。

2009-12-15 19:26

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?彭宇煦

?12位粉丝

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9楼

证明：考虑相比

我们来比较

与 e 之大小，我们改比较它们的对数

由级数展开公式

令x=1/(2n+1) ，则(1+x)/(1-x)=(n+1)/n 当α>1/2 时，於是

(1

2)

2009-12-15 19:30

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?彭宇煦?12位粉丝?

10楼(i)当α>1/2 时,2(n+α)>2n+1，故由(12)式易知

亦即

因此(xn) 递减，於是limXn=α 存在且0《α<无穷如果0<α<无穷，由Wallis 公式会得到一个矛盾。只好a=0，亦即limXn=0 。

(ii)当α<1/2 时，2(n+α)<2n+1 。将(12)式中的5, 7, 9, ……皆改为3，得到估计式

2009-12-15 19:37 回复

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?彭宇煦?12位粉丝?

11楼分母=24n^3+36n^2+12n，分子

，分母－分子。

今因α<1/2 ，故12-24α>0 。从而只要n 够大，则分母大於分子。换言之，只要n 够大，

亦即

於是(xn) 终究会递增，故limXn= b 存在且0

2009-12-15 19:42 回复

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高数吧管理部

?17位粉丝

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12楼北大淑芬第3册有Stirling 公式的证明，是个习题。

2009-12-15 20:06

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?彭宇煦

12位粉丝?

13楼推论：

经过这麼辛苦的试误、计算过程，终於得到美丽的Stirling 公式，这是令人欣喜的事。唯有经过这样的辛苦，我们对这个公式才真正有感觉(feeling)，甚至有感情。数学公式不再是冰冷的，而是可亲的。

如果将做数学比喻为登一座高山，那麼现代人大多是利用现代化的交通工具直接登到山顶（相当於直接给出公式、定理），然后就指看刚才的登山路径（即给出逻辑证明），接著是欣赏风景（应用公式来解一些问题）。但是我们要指明，如果没有经历一步一步登山的流汗，没有亲自感受花草的芳香与泥土的味道，甚至尝到偶尔的迷路，即使到了山顶也不容易领会美景的。