2018年高考全国3卷理科数学试题及答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合{}

22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

【答案】B

【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，

故A B I 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B I 元素的个数为2，故选B.

2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．1

2

B ．

2

C ．2

D ．2

【答案】C

【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2

z -+=

===+++-，则22112z =+=，故选C.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.

4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）

A ．-80

B ．-40

C ．40

D ．80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为

()()()()2

3

3

2

233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=，则33x y 的系数为40，故选C.

5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5

y x =，且与椭圆

22

1123

x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22

143

x y -=

【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =

，则5

b a =

① 又∵椭圆22

1123

x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②

由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22

145

x y -=，故选B.

6．设函数π

()cos()3

f x x =+，则下列结论错误的是（）

A ．()f x 的一个周期为2π-

B ．()y f x =的图像关于直线8π

3

x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π

6

x =

D ．()f x 在π

(,π)2

单调递减

【答案】D

【解析】函数()πcos 3f x x ?

?=+ ??

?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，

如图可知，()f x 在π,π2??

???上先递减后递增，D 选项错误，故选D.

π23π53

-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N

的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3

D ．2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

S M

t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-

2 第2次循环结束 90 1 3

此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A ．π

B ．3π4

C ．π２

D ．π

4

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r = 则圆柱体体积23π

π4V r h ==，故选B.

9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8 【答案】A

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =?，即()()()2

11125a d a d a d +=++

又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ??=+=?+?-=-，故选A.

10．已知椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直

径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）

A

B

C

D ．13

【答案】A

【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，

∴d a =

=

又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =

∵222

b a

c =-，可得()

2223a a c =-，即2223

c a =

∴c e a == A

11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）

A ．1-２

B ．13

C ．1

2

D ．1

【答案】C

【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：

221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )

4442(e e )

2(e e )

x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++

∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=，

解得1

2

a =．

12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以

点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则λμ+的最大值为（） A ．3 B

． C

D ．2 【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．

∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．

∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．

1

2||||

22||||||BCD BC CD S EC BD BD ???====△即C e

． ∵P 在C e 上．

()

A O D

x

y B

P g

C

E

∴P 点的轨迹方程为

224(2)(1)5x y -+-=

．

设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：

0021x y θθ?

=???

?=?? 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r

． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r

∴0112x μθ=

=+

，01y λθ==+． 两式相加得：

112)2sin()3λμθθθ?θ?+=+

++=++=++≤

(其中sin ?，cos ?=) 当且仅当π

2π2

k θ?=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-??

+-???

x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．

【答案】1-

【解析】由题，画出可行域如图：

目标函数为34z x y =-，则直线344

z

y x =

-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 3

1411z =?-?=-．

14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-

【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为q ．

121313a a a a +=-??-=-?，即112

1113a a q a a q +=-???-=-??①②， 显然1q ≠，10a ≠，

②

①

得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3

341128a a q ∴==?-=-．

15．设函数1,0,()2,0,

+?=?>?x

x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4??

-+∞ ???

【解析】()1,02 ,0

+?=?>?Q x x x f x x ≤，()112f x f x ??+-> ???，即()112f x f x ?

?->- ???

由图象变换可画出12y f x ?

?=- ??

?与()1y f x =-的图象如下：

g 12

-g

12

11(,)44-g

1

()

2

y f x =-1()

y f x =-y

x

由图可知，满足()112f x f x ??->- ???的解为1,4??

-+∞ ???

.

16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC

的直角边AC 所在直线与

a ，

b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成30?角； ②当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成60?角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45?； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60?．

其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③

【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，

斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．

以C 为坐标原点，以CD u u u r 为x 轴正方向，CB u u u r

为y 轴正方向， CA u u u r

为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，

直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r

．

B 点起始坐标为(0,1,0)，

直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =r

，||1b =r ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．

那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r

，||AB '=u u u r

设AB 'u u u r 与a r 所成夹角为π

[0,]2

α∈，

则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--?=

∈'

r u u u r ． 故ππ

[,]42α∈，所以③正确，④错误．

设AB 'u u u r 与b r 所成夹角为π

[0,]2

β∈，

cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b

b AB b AB βθθθ'?='

-?='

u u u r r r u u u r

r u u u r .

当AB 'u u u r 与a r 夹角为60?时，即π3

α=，

sin 32

πθα==

． ∵22cos sin 1θθ+=，

∴|cos |

θ=

∴1

cos cos |2βθ==．

∵π

[0,]2

β∈．

∴π

=3

β，此时AB 'u u u r 与b r 夹角为60?．

∴②正确，①错误．

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选

考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）

ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为

a ，

b ，

c ，已知sin

0A A +=，a =，2b =．

（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥

，求ABD △的面积．

【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ?

?+= ??

?，

即()π

π3A k k +

=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3

A =.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理

得()2

125c +=，故4c =.

（2）∵2,4AC BC AB ===，

由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==

. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，

则cos AC CD C =?，得CD =

由勾股定理AD 又2π3A =

，则2πππ326DAB ∠=-=， 1π

sin 26

ABD

S AD AB =??=△

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每

瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500

瓶；如果最高气温位于区间[)2025，

，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500

()2161

2003035P X +===?

()362

3003035P X ===? ()25742

5003035

P X ++===?.

⑵①当200n ≤时：642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到.

②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =

?+?+-?-???? 880026800555

n n n -+=+=

此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，

()()()()122

20022002300230022555Y n n n =?+-?-+?+-?-+???????

??? 320025

n

-=

此时520Y <.

④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.

综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.

19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角

形．ABD CBD ??，AB BD =．

（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；

（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．

【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ?Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥

∴AB BC =

AB BC BD BD

ABD DBC =??=??∠=∠?

ABD CBD ∴???. ∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥

令AB a =，则AB AC BC BD a ====

易得：OD =

，OB = ∴222

OD OB BD +=

由勾股定理的逆定理可得2

DOB π

∠=

即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC

⊥??⊥??

=???????I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ?平面

由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点

D

B C E

D A B

C E

O

以O 为原点，OA u u u r 为x 轴正方向，OB u u u r 为y 轴正方向，OD u u u r

为z 轴正方向，

设AC a =，建立空间直角坐标系，

则()0,0,0O ，,0,02a A ?? ???，0,0,2a D ?

? ???

，,0B ?? ? ???

，,4a E ?? ? ???

易得：,24a a AE ??=- ? ???

u u u r ，,0,22a a AD ??=- ???u u u r ，,0,02a OA ??

= ???u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r

，

则1100AE n AD n ??=???=??u u u r u u r u u u r u u r

，解得1n =u u r 220

AE n OA n ??=???=??u u u r u u r u u u r u u r

，解得(20,1,n =u u r

若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，

则1212

cos n n n n θ?=?u u r u u r u u r u u r

20．（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以

线段AB 为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．

【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，

联立：222

y x

x my ?=?=+?得2240y my --=，

2416m ?=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ?=+uu r uu u r

12(2)(2)my my =++

21212(1)2()4m y y m y y =++++

24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥uu r uu u r

，即O 在圆M 上．

⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ?=uu u r uu r

1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=

21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=

化简得2210m m --=解得1

2

m =-或1

①当1

2m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，

12012

y y y +==-，001924x y =-+=，

半径||r OQ ==

则圆229185

:()()4216

M x y -++=

②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，

12

012

y y y +==，0023x y =+=，

半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=

21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．

（1）若()0f x ≥，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111

(1)(1)(1)22

2

n m +

+鬃?<，求m 的最小值．

【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >

则()1a x a

f x x x

-'=-=，且(1)0f =

当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，

所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，

当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．

①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾

③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意

综上所述1a =．

⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤

则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立

∴11

ln(1)22

k k +<，*k ∈N

一方面：221111111

ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)

n n n ++++++<+++=-<，

即2111

(1)(1)...(1)e 222

n +++<．

另一方面：223111111135

(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>

当3n ≥时，2111

(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈

∵*m ∈N ，2111

(1)(1)...(1)222

n m +++<，

∴m 的最小值为3．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,

,

x t y kt =2+??=?（t 为参数），直线l 2的参数方程

为,,x m m

y k =-2+???=??

（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

设:(cos sin )l ρθθ3+=0，

M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

【解析】⑴将参数方程转化为一般方程

()1:2l y k x =- ……①

()21

:2l y x k

=

+ ……② ①?②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程

3:0l x y += ……③

联立曲线C 和3

l 22

4x y x y ?+=??-=??

解得2x y ?=????=??

由cos sin x y ρθρθ=??=?

解得ρ=

即M

．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；

（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．

【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??

=--<

x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：

①当1-x ≤时显然不满足题意；

②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；

③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. ⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，

令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ????g x m ≥.

而()2223,1

31,123,2?-+--?

=-+--<

x x x g x x x x x x x ≤≥.

①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-????；

②当12x -<<时，()2

max

3335312224g x g ????==-+?-=?? ? ???????

； ③当2x ≥时，()()2

max 22231g x g ==-++=????.

综上，()max 54g x =

????，故5

4

m ≤.