苏教版数学中考总复习(知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

苏教版中考数学总复习

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

中考总复习：实数—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；

2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与

开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；

3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、实数的分类

1.按定义分类：

??????????

?????????????

???????

????????

????????????

正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：

??????

???

??

???

??

?????????????

正整数

正有理数正实数正分数正无理数实数零

负整数负有理数负实数负分数

负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n

m

（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：

常见的无理数有以下几种形式：

（1）字母型：如π是无理数，

24

ππ

、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3

…都是一些开方开不尽的数；

（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考点二、实数的相关概念 1.相反数

（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数?a+b=0. 2.绝对值

（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

可用式子表示为：??

?

??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a

（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．

用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释：

若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数

（1)实数(0)a a ≠的倒数是

a

1

；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ??=. 4.平方根

（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±

．

（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ． 5.立方根

如果x 3

=a ，那么x 叫做a 的立方根．

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．

考点三、实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.

考点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a 、b ， 若a-b>0?a>b ；a-b=0?a=b ；a-b<0?a

4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2

?a>b b a >?；

或利用倒数转化：如比较417-与154-.

要点诠释：

实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.

考点五、实数的运算 1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，

仍得这个数．

满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法

（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．

（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方

（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n

所表示的意义是n 个a 相乘.

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数0

1

1(0)(0).p

p a a a

a a

-==

≠，≠ 要点诠释：

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

考点六、有效数字和科学记数法

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.

把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

要点诠释：

（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n

，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；

（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n

，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

【典型例题】

类型一、实数的有关概念

1．（1）a 的相反数是1

5

-，则a 的倒数是_______．

（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: =______．

0a

b

（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．

【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107

亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个

数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.

（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.

由图知：0 0 |||| 0 ||().a b a b a b a b a b a b ><<∴+<=+=-+=--，，，，

（3）考查科学记数法的概念.

【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三：

【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到

8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）

A ．8.55×106

B ．8.55×107

C ．8.55×108

D ．8.55×109

【答案】C.

类型二、实数的分类与计算

2．下列实数227、sin60°、3

π

、

、3.14159、(2

- ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C.

【解析】无理数有sin60°、

3

π

【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．

举一反三：

【课程名称： 实数 369214 ：经典例题1】 【变式】在,30cos ,2

π,

)23(,4,

8,14.30 --,

45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?

【答案】03.14,

2),-,

45tan ,7

12,51-13

.0%,3 都是有理数； π

,cos30,2

-0.1010010001,都是无理数.

3．（2015?梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1

﹣（2015+

）0

．

【答案与解析】

解：原式=2

+3﹣2

﹣3﹣1=﹣1．

【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，

就能正确的进行运算．

举一反三：

【课程名称：实数 369214 ：经典例题8-9】

【变式1】计算：（2015?甘南州）计算：|﹣1|+20120

﹣（﹣）﹣1

﹣3tan30°．

【答案】解：原式=

﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×

=

+3﹣

=3．

【变式2】计算：12004200320022001+??? 【答案】

设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n

1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2

+3n 看作一个整体）

=1)3(2)3(222++++n n n n =n 2

+3n+1

=n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.

类型三、实数大小的比较

4．比较下列每组数的大小：

（1）417-与154- （2）a 与a

1

（a ≠0） 【答案与解析】

（140

=

>，40=

>，

4+与4+

440>+>，

44-<- （2）当a<-1或O

a

1；

当-11时，a>a

1； 当a=1±时，a=a

1.

【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比

较；

（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知

道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可

以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把

a

1

的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.

举一反三：

【变式】比较下列每组数的大小： （1）8

17-

和511

- （2）52+和23+

【答案】

（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，

1785840= ，1188540

=， 1711

85<，

所以171185

->-.

（2）

2

77+=+=+

)

2

2

77+=+=+

<

2+<+.

类型四、平方根的应用

5．已知：x ，y 2

690y y +-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.

【答案】

14

.

2690y y -+=2

(3)0y +-=

两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，

0=，(y-3)2

=0， ∴ x=4

3

-

， y=3

又∵axy-3x=y，∴ a=

4

3()3

31

3

44

3

3

x y

xy

?-+

+

==

-?

.

【点评】此题考查的是非负数的性质.

类型五、实数运算中的规律探索

6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

2

1

2

2

2

3

12,

2

13,

2

14,

2

S

S

S

+==

+==

+=

=

1

A

2

A

A

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.

【答案与解析】

（1）由题意可知，图形满足勾股定理，

()

2

,1

1

2n

S

n

n n=

+

=

+

（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，

所以OA10=10

（3）S12+ S22+ S32+…+ S102

=2

2

2

2)

2

10

(

)

2

3

(

)

2

2

(

)

2

1

(+

+

+

+

=)

10

3

2

1(

4

1

+

+

+

+

=

4

55

.

【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.

举一反三：

【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，?第四行有8个，……

你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．

【答案】29（512）.

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

中考总复习：实数—巩固练习 （基础）

【巩固练习】 一、选择题

1. 在实数－

23，0，－3.1415，2

－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30° 这8个实数中，无理数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A ．66.6×107

B ．6.66×108

C ．0.666×10

8

D ．6.66×107

3．（2015?杭州）若k ＜＜k+1（k 是整数），则k=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

4．在三个数0.5、、中，最大的数是( )

A ．0.5

B ．

C ．

D ．不能确定

5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A ．0.1（精确到0.1）

B ．0.05（精确到百分位）

C ．0.050（精确到0.001）

D ．0.05（精确到千分位）

6．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是( )

二、填空题

7． ()0201112

=-++y x 则x y

= .

8． （2014?辽阳）5﹣的小数部分是 ．

9．若22+-b a 与互为相反数，则a+b 的值为________． 10．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，则

2m cd m

b

a +-+的值为________．

11．已知：222222334455

22 33 44 55338815152424+

=?+=?+=?+=?，，，，，

若21010b b

a a

+=?符合前面式子的规律，则a+b=________．

12．将正偶数按下表排列：

第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2

第2行 4 6

第3行 8 10 12

第4行 14 16 18 20 ……

根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．

三、解答题

13． 计算：（1）201220128

0.125? （2）2

22121????

?

? ??--?????? ??

+e e e e

14．若333

)4

3

(,

)43(,)4

3

(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。

15．在数学活动中，小明为了求23411111

2222

2n

+++++

的值（结果用n 表示），设计如图（1）所示的几何图形．

（1）请你利用这个几何图形求

23411111

22222

n +++++的值为_______． （2）请你利用图（2）再设计一个能求23411111

22222

n +++++的值的几何图形．

16.（2014春?双流县月考）求（2+1）（22+1）（24+1）…（232

+1）+1的个位数字．

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；

【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即

“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，3=是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，?但它是无限不循环小数，是无理数．2

π

是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，

2

π

，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C. 2.【答案】B ；

【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n

的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值是关键

点，由于665 575 306有9位，所以可以确定n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，故选B ．

3.【答案】D. 【解析】∵k＜＜k+1（k 是整数），9＜

＜10，∴k=9．故选：D ．

4.【答案】B ；

5.【答案】D ；

【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可：

A 、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，是0.1，故本选项正确；

B 、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，是0.05，故本选项正确；

C 、0.05049精确到0.001应是0、050，故本选项正确；

D 、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误. 故选D.

6.【答案】C ；

【解析】设左下角小方格内的点数为x （如图），则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6.

二、填空题 7．【答案】－1；

【解析】根据非负数的性质，要使()0201112

=-++y x ，必须1020110x y +=??-=?，即12011x y =-??=?

.

因此()

2011

11y x =-=-.

8．【答案】2﹣ ；

【解析】由1＜＜2，得﹣2＜﹣＜﹣1． 不等式的两边都加5，得5﹣2＜5﹣＜5﹣1， 即3＜5﹣＜4，

5﹣的小数部分是（5﹣）﹣3=2﹣，故答案为：2﹣．

9．【答案】0； 【解析】由绝对值非负特性，可知02,

02≥+≥-b a ，又由题意可知：022=++-b a

所以只能是：a –2=0，b+2=0，即a=2，b= –2 ，所以a+b=0. 10．【答案】0；

【解析】原式=0110=+-. 11．【答案】109；

【解析】规律2

2211

n n n n n n +

=?

--，所以a=99，b=10，a+b=109. 12．【答案】第45行第13列

【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.

每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n 行（包

括n 行）以前的所有数字的个数

(1)

2

n n +. 如果2006在第n 行，那么

10032

)1(≥+n

n

设

10032

)1(=+n

n ,解得n 约为44.5，n 取整数，因此n=45。 到第44行（含44行）共有数字（44+1）×244

=990个；

到第45行（含45行）共有数字（45+1）×2

45

=1035个；

2006是第1003个，在45行13列.

三、解答题

13.【答案与解析】 （1）原式=2012

2012(80.125)

11?==

（2）原式=?????

? ??--+???????

??

-++2121212

1e e e e e e e e =11=?e e

14.【答案与解析】

34()3a =-＜-1；3

34b ??

=- ???

＞-1且＜0；c ＞0；所以容易得出：a ＜b ＜c.

15.【答案与解析】 （1）112

n -

(2)

16.【答案与解析】

解：原式=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232

+1）+1

=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232

+1）+1 =264

﹣1+1 =264

； ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25

=32，…

∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环， ∵64=16×4， ∴264的个位数字与24

的个位数字相同，为6， ∴原式的个位数字为6．

苏教版中考数学总复习

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简

中进行考查.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整式

1.单项式

数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式

几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

要点诠释：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式

单项式和多项式统称整式．

4.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．

5.整式的加减

整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6.整式的乘除

①幂的运算性质：

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相

加．用式子表达：

④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

平方差公式：

完全平方公式：

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）公式()=m n

mn

a a

的推广：(())=m n p mnp

a a

(0≠a ，,,m n p 均为正整数)

（4）公式()=?n n n

ab a b 的推广：()=??n

n

n

n

abc a b c (n 为正整数).

考点二、因式分解 1.因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：

平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：2

22)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2

b x a x ab x b a x ++=+++

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算

1．若3x m+5y 2

与x 3y n

的和是单项式，则n m

= ．

【答案】

14

【解析】由3x m+5y 2

与x 3y n

的和是单项式得3x m+5y 2

与x 3y n

是同类项，

∴532m n +=??

=? 解得22

m n =-??=? ， n m =2-2=14

【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算. 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式. 举一反三： 【变式】若单项式

是同类项，则

的值是( )

A 、-3

B 、-1

C 、

D 、3 【答案】由题意单项式

是同类项，

所以，解得 ，，应选C.

2．下列各式中正确的是( ) A.

B.a 2

·a 3

=a 6

C.(-3a 2)3

=-9a 6

D.a 5

+a 3

=a 8

【答案】A ；

【解析】选项B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2·a 3=a 5，所以B 错；

选项C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a 6

，所以C 错；选项D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D 错；

选项A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选A.

【点评】考查整数指数幂运算. 举一反三：

【变式1】下列运算正确的是 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A.2-3

=

18

；2= ；C.235

a a a = 正确 ；D.325a a a +=. 故选C. 【课程名称： 整式与因式分解 399488 ：例1-例2】

【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．

(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10

；

(4)(a 3)2

＝a 9

； (5)(－ab 2)2

＝ab 4

； (6)?=

-22

212x

x

A．无 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A.

3．利用乘法公式计算：

(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)

【答案与解析】

(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则

(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，

原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]

=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.

【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.

举一反三：

【变式】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.

【答案】利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.

类型二、因式分解

4．（2015春?兴化市校级期末）因式分解

（1）9x2﹣81

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2

（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）

（4）6mn2﹣9m2n﹣n3．

【思路点拨】

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；

（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

【答案与解析】

解：（1）原式=9（x2﹣9）=9（x+3）（x﹣3）；

（2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2；

（3）原式=3（a﹣b）（x+2y）；

（4）原式=﹣n（9m2+n2﹣6mn）=﹣n（3m﹣n）2．

【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.

举一反三：

【课程名称： 整式与因式分解 399488 ：例3（1）-（2）】 【变式】（2015春?陕西校级期末）分解因式：

（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2

（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2

． 【答案】

解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；

（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2

．

5．若x y mx y 22

56-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）

A. 1

B. -1

C. ±1

D. 2

【思路点拨】

对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法. 【答案】C. 【解析】

解：()()x y mx y x y x y mx y 22

5656-++-=+-++-

-6可分解成()-?23或()-?32，因此，存在两种情况：

（1）x+y -2 （2）x+y -3

x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，

由（2）可得：m =-1. 故选择C.

【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，

则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

举一反三：

【变式】因式分解：6752

x x --=_______________.

【答案】()()67521352

x x x x --=+-

类型三、因式分解与其他知识的综合运用

6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2

+2b 2

+c 2

-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.

【思路点拨】

式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2

写成