八年级上册数学期末考试难题精选

八年级上册数学期末考试难题精选

分式：

一：如果,求证11++a ab 11++b bc 1

1

++c ac

解：原式11

++a ab a ab abc a ++ab

abc bc a ab ++2

11++a ab a ab a ++1ab a ab

++1

1

1

++++a ab a ab

二：已知

a 1

b 1)(29b a +，则a b b a

等于多少？

解：

a 1

b 1)

(29

b a +

ab b

a +)

(29b a +

(b a +)2ab

2a ab 2b ab

（22b a +）ab

ab b a 22+2

5

a b b a 2

5

三：一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为，则大水管进水速度为。

由题意得：t x v x v =+82 解之得：t v

x 85=

经检验得：t

v

x 85=是原方程解。

∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为t

v

25。

四：联系实际编拟一道关于分式方程228

8+=x

x 的应用题。要求表述完整，条件

充分并写出解答过程。 解略

五：已知＝2

22y x xy -、＝2

2

2

2y x y x -+，用“”或“－”连结、,有三种不同的形式，、、，

请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中：：。

解：选择一：22222222()()()xy x y x y x y

M N x y x y x y x y x y

++++=+==--+--，

当x ∶y ∶时，52x y =，原式5

72532

y y

y y +=-．

选择二：22222222()()()xy x y x y y x

M N x y x y x y x y x y

+----=-==--+-+，

当x ∶y ∶时，52x y =，原式532572

y y

y y -

=-+．

选择三：22222222()()()x y xy x y x y

N M x y x y x y x y x y

+---=-==--+-+，

当x ∶y ∶时，52x y =，原式5

32572y y

y y -=+．

反比例函数：

一：一张边长为正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一

个“”图案如图所示．小矩形的长（）与宽（）之间的函数关系如图所示：

（）求与之间的函数关系式； （）“”图案的面积是多少？

（）如果小矩形的长是≤≤，求小矩形宽的范围.

解：（）设函数关系式为x

k

y =

∵函数图象经过（，） ∴102k = ∴， ∴x

y 20= （）∵x

y 20=

∴， ∴2162022162

=?-=-=xy S S E 正 （）当时，310

620==y

当时，3

5

1220==y

∴小矩形的长是≤≤，小矩形宽的范围为cm y 3

10

35≤≤

二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)

A ，，(101)

B ，是它的两个端点． （）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 解：（）设k y x =

，(110)

A ，在图象上，101k

∴=，即11010k =?=， 10

y x

∴=，其中110x ≤≤；

（）答案不唯一．例如：小明家离学校10km ，每天以km/h v 的速度

去上学，那么小明从家去学校所需的时间10

t v

=．

三：如图，⊙和⊙都与轴和轴相切，圆心和圆心都在反比例函数1

y x

=

的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .

答案：

π2π

四：如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点（－，1-），且（1-，－）为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、．

（）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（）当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点，使得△与△面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（）如图，当点在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值．

解：（）设正比例函数解析式为y kx =，将点（2-，1-）坐标代入得1

2

k =

，所以正比例函数解析式为12

y x =

A B

O x

y

图

x

y

B

A O

M

Q

P

图 x

y

B

C

A O

M

P

Q

同样可得，反比例函数解析式为2y x

= （）当点在直线上运动时，

设点的坐标为1

()2Q m m ，，

于是21111

2224OBQ S OB BQ m m m △=?创=，

而1

(1)(2)12OAP S △=-?=，

所以有，21

14

m =，解得2m =±

所以点的坐标为1(21)Q ，

和2(21)Q ，-- （）因为四边形是平行四边形，所以＝，＝，

而点（1-，2-）是定点，所以的长也是定长，所以要求平行四边形周长的最小值就只需求的最小值．

因为点在第一象限中双曲线上，所以可设点的坐标为2

()Q n n

，，

由勾股定理可得222242

()4OQ n n n n

=+=-+，

所以当22()0n n -=即2

0n n -=时，2OQ 有最小值，

又因为为正值，所以与2OQ 同时取得最小值， 所以有最小值．

由勾股定理得＝5，所以平行四边形周长的最小值是

2()2(52)254OP OQ +=+=+．

五：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点、点，与反比例函数一罟在第一象限的图象交于点(，)、点(，)．过点作上轴于，过点作上轴于． ()求，的值；

()求直线的函数解析式；

勾股定理：

一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，?西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为、、的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为、、的整数倍，?设其面积为，则第一步：

6

S

＝；第二步：m ；第三步：分别用、、乘以，得三边长”． （）当面积等于时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边

长；

（）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程． 解：（）当时，m

150

2566

S ==， 所以三边长分别为：×，×，×； （）证明：三边为、、的整数倍， 设为倍，则三边为，，，?

而三角形为直角三角形且、为直角边． 其面积

1

2

（）·（），

所以

6S ，6

S （取正值）， 即将面积除以，然后开方，即可得到倍数．

二：一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高长．．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

．第张 ．第张 ．第张 ．第张 答案：

三：如图，甲、乙两楼相距米，甲楼高米，小明站在距甲楼米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，且与相距3

50

米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．

答案：米

四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和

1S PA PB =+，图（）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接

BA '交直线X 于点P ）

，P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （）求1S 、2S ，并比较它们的大小；

米

乙

甲

米

？

米

（）请你说明2S PA PB =+的值为最小；

（）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、

Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

解:⑴图（）中过作⊥,垂足为,则＝,又＝,

∴＝

在△ 中，＝ ＝ ∴＝ ∴ ＝24022=+BC CP ＝10240+

⑵图（）中，过作⊥′垂足为，则′＝， 又＝

∴'＝4110504022=+ 由轴对称知：＝' ∴＝'＝4110 ∴1S ﹥2S

()如 图（），在公路上任找一点,连接'，由轴对称知＝' ∴＝'﹥' ∴＝'为最小

（）过作关于轴的对称点', 过作关于轴的对称点'，

图（）

图（）

A '

图（） B

Y

B'

连接'',交轴于点, 交轴于点,则即为所求 过'、 '分别作轴、轴的平行线交于点, ''＝5505010022=+

∴所求四边形的周长为55050+

五：已知：如图，在直角梯形中，∥，∠＝°，⊥于点，交于点，交的延长线于点，且AE AC =．

（）求证：BG FG =； （）若2AD DC ==，求的长．

解：（）证明：90ABC DE AC ∠=°，⊥于点F ，

ABC AFE ∴∠=∠．

AC AE EAF CAB =∠=∠，， ABC AFE ∴△≌△

AB AF ∴=． 连接AG ， ＝＝，

Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=． （）解：∵＝⊥，

11

22

AF AC AE ∴=

=． 30E ∴∠=°． 30FAD E ∴∠=∠=°，

3AF ∴=． 3AB AF ∴==．

四边形：

一：如图，△、△、△均为直线同侧的等边三角形.

() 当≠时，证明四边形为平行四边形；

() 当时，顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

解：() ∵△、△为等边三角形，

∴，，∠∠°.

∴∠∠.

∴△≌△.

∴ .

又∵△为等边三角形，

∴ .

∴.

同理可得 .

∴四边形是平行四边形.

() 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.

当图形为菱形时，∠≠°（或与不重合、△不为正三角形）

当图形为线段时，∠°（或与重合、△为正三角形）.

二：如图，已知△是等边三角形，、分别在边、上，且，连结并延长至点，使，连结、和。

（）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。 （）判断四边形是怎样的四边形，并说明理由。 （）若，，求四边形的面积。 解：（）（选证一）BDE FEC ?

,,,60ABC CD CE BD AE EDC DE EC CDE DEC ∴∠=∴=∴=∠=∠=0是等边三角形，BC=AC,ACB=60是等边三角形 0

120,,BDE FEC EF AE BD FE BDE FEC ∴∠=∠==∴=∴?

（选证二）BCE FDC ? 证明：

0,,60ABC BC AC ACB ∴=∠=是等边三角形

0,60,,,CD CE EDC BCE FDC DE CE

EF AE EF DE AE CE FD AC BC BCE FDC

=∴∴∠=∠===∴+=+∴==∴?是等边三角形

（选证三）ABE ACF ? 证明：

0,,60ABC AB AC ACB BAC ∴=∠=∠=是等边三角形

0,,,60CD CE EDC AEF CED EF AE AEF AE AF EAF ABE ACF

=∴∴∠=∠=∴∴=∠=∴?0

是等边三角形=60是等边三角形 （）四边形是平行四边形。

由（）知，ABC 、EDC 、AEF 都是等边三角形。

60,,CDE ABC EFA AB DF BD AF ∴∠=∠=∠=∴∴四边形ABDF 是平行四边形

（）由（）知，）四边形是平行四边形。

图

()()0,,23sin 60233211

236410322

ABEF

EF AB EF AB ABEF E EG AB G EG AE BC S EG AB EF ∴≠∴⊥===∴=+=??+=四边形四边形是梯形过作于，则

三：如图，在△中，∠、∠的平分线交于点，∥交于点，∥交于点． （）点是△的心；

（）求证：四边形为菱形． 解：() 内.

() 证法一：连接， ∵ ∥，∥，

∴ 四边形为平行四边形， 又∵ 点是△的内心， ∴ 平分∠，即∠＝∠，

又∠＝∠，∴ ∠＝∠ ∴ ＝， ∴ □为菱形． 证法二：

过分别作⊥于，⊥于，⊥于． ∵、分别平分∠、∠， ∴， ． ∴． ∵∥，∥，

∴四边形为平行四边形， ∴□· ·， ∴．

∴□为菱形．

四：在矩形中，点是边上一点，连接，且∠＝°，＝，连接．点从点出发沿射线运动，过点作∥交直线于点．

() 当点在线段上时（如图），求证：＝＋

3

3

； （）若 ＝，设长为，以、、三点为顶点所构成的三角形面积为，求与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（）在②的条件下，当点运动到线段的中点时，连接，过点作⊥，垂足为，交对角线于点（如图），求线段的长。

解：（）证明：∵∠° ∠° ∠° ∵ ∴∠∠° ∵∥ ∴∠∠ ∠∠ ∴∠∠° ∴

过点作⊥垂足为 ∴ ∵∠°∴

23 ∴33

∵ ∴

3

3 （）解：由题意知2

1

∴ ∵ ∴

当点在线段上时（如图） 过点做⊥于点

212

1

由（）得

333

3

∴2

1

·x x +-2123 当点在线段的延长线上时（如图）过点作⊥交延长线于点’ ∴’2

1

过点作’⊥于点’ 同理可得

33 ∴3

3

∴

33 2

1

·’

x x -2123 （）解：连接交于点（如图）∵点是线段中点 ∴ ∴32 ∵·°32 ∴22DC PD + ∴∠PC PD 2

1

∴∠° ∴∠°∠∠° ∵∥ ∴∠∠° ∴2

1

22PC PQ +72 ∵∠°∠ ∠°∠

∴∠∠……………分 ∵∠∠° ∴△～△ ∴PQ PN QC PG = ∴723

21

?3

21

五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为,下底长为,腰长为,这样的纸片共

有张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图．．．

,并写出它们的周长. 4

2

2

2

解：如图所示

六：已知:如图,在矩形中、分别是边、上的点,且⊥.求证平分∠.

证明：∵四边形是矩形

∴∠∠∠° ∴∠∠° ∵⊥∴∠∠° ∴∠∠∴∠∠ 又∵∴△≌△ ∴ ∴∴∠∠° ∴∠° ∴∠∠ ∴平分∠

七：如图,矩形纸片中,将纸片折叠,使顶点落在边的点上. ()当折痕的另一端在边上时,如图().求△的面积.

()当折痕的另一端在边上时,如图().证明四边形为菱形,并求出折痕的长.

（第23题）

E

C

D

B

A

F

H

A B

C

D E

F G

解:()过点作⊥,则四边形为矩形,∴,由图形的折叠可知△≌△,∴,∠∠°；∴,∠∠°,∵∠∠°,∴∠∠,又∵∠∠°,∴△∽△,∴

EF AE EG

GH

=,∴,∴△12·1

2

××.

()由图形的折叠可知四边形≌四边形,∴, ∠∠,∵∥，∴∠∠,∴∠ ∠,∴,

∴,∴四边形为平行四边形,又∵,∴平行四边形为菱形； 连结，、互相垂直平分，在△中,由勾股定理可得，∴，∴22AE AB +5，∴5，∴2

2

BG

BO

-5

。

八：（）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个

不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹） （）写出你的作法．

解：（）所作菱形如图①、②所示．

说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同

图（）

A

B

C

D

E F

G H (A)

(B)A

B

C

D

E F G

图（）

A

B C

D

E F

G H (A)

(B)O

一种．

（）图①的作法：

作矩形四条边的中点、、、；

连接、、、．

四边形即为菱形．

图②的作法：

在上取一点，使＞且不与重合；

以为圆心，为半径画弧，交于；

以为圆心，为半径画弧，交于；

连接，则四边形为菱形．

九：如图，是边长为的正方形对角线上一动点（与、不重合），点在射线上，且. （）求证：①；②⊥；

（）设, △的面积为.

①求出关于的函数关系式，并写出的取值范围；

②当取何值时，取得最大值，并求出这个最大值.

解：（）证法一：

①∵四边形是正方形，为对角线，

∴, ∠∠°.

∵，

∴△≌△（）.

∴，∠∠.

又∵，

∴ .

②（）当点在线段上(与、不重合)时，∵，

∴∠∠，

∴∠∠，

∴∠∠∠∠°，

∴∠°(∠∠∠)°，

∴⊥. ）

（）当点与点重合时，点恰好在中点处，此时，⊥. （）当点在的延长线上时，如图.

∵∠∠，∠∠，

∴∠∠°，

∴⊥.

综合（）（）（）,⊥.

（）①过点作⊥，垂足为，则.

∴ 2 ，x x 2

21)2(2

2-=-.

(x 2

21-)x 2

2.

∴ △·x 2

2(x 2

21-)x x 2

2212+-=.

即 x x y 2

22

12+-= (＜＜2).

② 4

1)22(212

22122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1-=a ＜，

∴ 当2

2=x 时，最大值4

1=.

（）证法二：① 过点作∥，分别交、于、. 如图所示. ∵ 四边形是正方形， ∴ 四边形和四边形都是矩形， △和△都是等腰直角三角形. ∴ ，，∠∠°. 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ △≌△ （）.

∴ . ② ∴ ∠∠. ∴ ∠∠∠∠°. ∴ ∠°.

∴ ⊥.

∴

x 22，x 2

2. ∴ △·x 2

2(x 2

21-)x x 2

22

12+-=.

即 x x y 2

22

12+-= (＜＜2).

② 4

1)22(212

22122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1-=a ＜，

∴ 当2

2=x 时，最大值4

1=.

十：如图，四边形是正方形，是边上的一个动点(点与、不重合)，以为一边在正

方形外作正方形，连结，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

（）①猜想如图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图中的正方形绕着点按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图、如图情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图证明你的判断．

（）将原题中正方形改为矩形（如图—），且，，， (≠，>)，第()题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图为例简要说明理由．