2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.6对数与对数函数
§2.6对数与对数函数
1．对数的概念
一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①负数和零没有对数；
②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)； ③a log a N ＝N (a >0，a ≠1，且N >0)； ④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． (3)对数的换底公式
log a b ＝log c b
log c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：(1)说出log a b ，log b a 的关系？
(2)化简log m n
a
b . 提示 (1)log a b ·log b a ＝1；(2)log m n a b ＝n
m
log a b .
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．
提示 0 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编 2．log 29·log 34·log 45·log 52＝ . 答案 2 3．已知a ＝13 2- ，b ＝log 21 3，c ＝12 1log 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为 ． 答案 c >a >b 解析 ∵0 2 1 log 3 ＝log 23>1. ∴c >a >b . 4．函数y 的定义域是 ． 答案 ???? 12，1 解析 由23 log (21)x - ≥0，得0<2x －1≤1. ∴1 2 ???? 12，1. 题组三 易错自纠 5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B 6．若log a 3 4<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ??? ?0，3 4∪(1，＋∞) 解析 当0 4； 当a >1时，log a 3 4 ∴实数a 的取值范围是??? ?0，3 4∪(1，＋∞). 对数式的运算 1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝ . 答案 10 解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10. 2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝ . 答案 6 解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴()339log 2 log 2l 43og 3 92924 log 6.2f =+=+=+= 3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618 log 64＝ . 答案 1 解析 原式 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 66 3 ·log 6(6×3) log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64 ＝ 2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62 log 62 ＝1. 4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1 E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7， 天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1 D ．10－10.1 答案 A 解析 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1 E 2， 令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7， lg E 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1， E 1 E 2 ＝1010.1. 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数函数的图象及应用 例1 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A ．0 1 1<1 C ．0 1 1<1 答案 A 解析 由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1 a < b <1. 综上有0<1 a (2)方程4x ＝log a x 在??? ?0，1 2上有解，则实数a 的取值范围为 ． 答案 ? ???0，2 2 解析 若方程4x ＝log a x 在????0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在??? ?0，1 2上有交点， 由图象知????? 0 ≤2，解得0 2. 若4x ?0，1 2上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ??? ?2 2，1 解析 当0 2 时，1 24＝2， 即函数y ＝4x 的图象过点????12，2.把点????12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需 2 2 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是?? ? ? 22，1. 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)(2020·四川凉山一中模拟)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( ) 答案 B 解析 由函数值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B. (2)若不等式x 2－log a x <0对x ∈????0，1 2恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ????116，1 解析 只需f 1(x )＝x 2在????0，1 2上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a >1时，显然不成立； 当0 要使x 2 ?0，1 2上恒成立， 只需f 1????12≤f 2 ??? ?12， 所以有????122≤log a 12，解得a ≥1 16， 所以1 16 ≤a <1. 即实数a 的取值范围是??? ?1 16，1. 对数函数的性质及应用 命题点1 解对数方程、不等式 例2 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为 ． 答案 x ＝ 5 解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5. (2)设f (x )＝????? log 2 x ，x >0，log 1 2(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为 ． 答案 {－1,1} 解析 当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ?? ???＝f (－a )＝12 log a ，得a ＝1； 当a <0时，由f (a )＝12 log ()a -＝log 2??? ?－1 a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. ∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}． 例2(2)中，f (a )>f (－a )的解集为 ． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 解析 由题意，得????? a >0， log 2a >log 12a 或???? ? a <0， log 1 2 (－a )>log 2(－a )， 解得a >1或－1 命题点2 对数函数性质的综合应用 例3 已知函数f (x )＝212 lo ()3g 2x ax －＋ ． (1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由． 解 (1)由f (－1)＝－3，得12 log (4)2a ＋＝－3. 所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝212 l 4og )3(x x －＋， 由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1. 故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令μ＝x 2－4x ＋3， 则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝12 log μ在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)． (2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0. 因此????? a ≥2，g (2)≥0，即????? a ≥2，7－4a ≥0， a 无解． 所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数． 思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 跟踪训练2 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 A 解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞， 1]上递减，则有????? g (1)>0，a ≥1，即????? 2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1,2)． (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ??? ?1，8 3 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1 3 . 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是??? ?1，83. 比较指数式、对数式的大小 例4 (1)(2020·云南省统一检测)已知a ＝1ln 2 3，b ＝log 2425，c ＝log 2526，则a ，b ，c 的大小关 系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >b >a D ．b >c >a 答案 D 解析 因为ln 1 2 <0，故a ＝1 ln 23<1， b ＝log 2425>1， c ＝log 2526>1， c b ＝log 2526log 2425＝log 2526·log 2524 4{log 25[(25＋1)·(25－1)]}2<1， 所以c c >a . (2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b B ．ab C ．a ＋b <0 D ．ab <0 答案 B 解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3 ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0 <1，∴ab (3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ???? 14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 答案 c 解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ????1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ????14＝f (4)，所以c 思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 跟踪训练3 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b 答案 B 解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝3 2log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝ log 32 (2)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ????ln 32，b ＝f ????log 21 3，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a B ．b C ．c D ．b 答案 A 解析 ln 32 2， ∴log 23>12>ln 3 2 . 又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ????ln 32 (3)若实数a ，b ，c 满足log a 2 答案 C 解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1log 2a <1log 2b <1log 2c <0， 即log 2c 1．log 29·log 34等于( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 答案 D 解析 方法一 原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 方法二 原式＝2log 23·log 24 log 23＝2×2＝4. 2．(2020·广西柳州模拟)已知a ＝1 3 2- ，b ＝log 21 3，c ＝12 1log 3 ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 答案 C 解析 因为a ＝1 3 2- ∈(0,1)，b ＝log 21 3 <0， c ＝1 2 1 log 3 >1， 所以b 3．函数f (x )＝x log a |x | |x | (0 答案 C 解析 当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C. 4．若log a 2 3>1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.??? ?0，23 B ．(1，＋∞) C.????0，2 3∪(1，＋∞) D.????23，1 答案 D 解析 当0log a a ＝1，∴2 3 当a >1时，log a 2 3 >1不成立． ∴实数a 的取值范围是???? 23，1. 5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[2，＋∞) C ．[2,3) D ．(1,3) 答案 C 解析 由题易知，a >1，则可得????? a 2≥1，1－a ＋2>0， 解得2≤a <3. 6．已知函数f (x )＝????? log 2x ，x >0， 2x ，x ≤0， 且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取 值范围为( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(0，＋∞) 答案 A 解析 作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0 7．(2020·广西柳州模拟)已知函数f (x )＝? ??? ? 2x ，x >3，f (x ＋2)，x <2，则f (log 23)＝ . 答案 12 解析 ∵1 ∴f (log 23)＝f (2＋log 23)＝f (log 212)， ∵3<2＋log 23<4，