数学高考考点最详细分类题库：考点48 二项式定理
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考点48 二项式定理
一、选择题
1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ7）使(3()n x n N
++∈的展开式中含有常数
项的最小的n 为（ ）
.
4
.
5
.
6
.
7A B C D
【解题指南】 利用二项展开式的通项公式求展开式中具有某种特性的项。 【解析】选
B. (3()n x n N
++
∈的展开式的通项公式为
52
1(3)
3
(0,)k n k n k
k n k
k k n
n
T C x C x
k n k N -
--+==≤≤∈
当50
2n k -=时，即5
2n k =时，521(3)3k
n k n k k n k k k n n T C x C x ---+==为常数项. 由于n N +∈，所以2,4,6,k =时，5,10,15,n =，从而最小的n 为5.
2. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ9）设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值为a ,12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若
b a 713=，则=m （ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【解题指南】分别求出m y x 2)(+、12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值，再利用b a 713=列出等量关系求得m .
【解析】选B.由题意可知m m C a 2=，112++=m m C b ，而b a 713=即7132=m m C m
m C 12+，解得
6=m .
3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ5）()862x x +的展开式中的系数是（ ） A.28 B.56 C.112 D.224
【解析】选C.r r r r x C T 2)8(81-+=，令68=-r ，则2=r ，所以6x 的系数为1122228=?C . 4. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()84
11++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( )
A.56
B.84
C.112
D.168
【解析】选D.22x y 的系数为1682428=?C C . 5. （2013·陕西高考理科·Ｔ8）
设函数
6
1,00.,()x x f x x x ???
-
≥???
?, 则当x >0时,
[()]f f x 表达式的展开式中常数项为 ( )
A. －20
B. 20
C. －15
D. 15
【解题指南】由x 的取值确定函数表达式，再由二项展开式的通项确定展开式中的常数项.
【解析】选A. 当6
6
-11-)]([0）（
）（时，x x
x
x x f f x =+=
>的展开式中，常数项
为20)(-)1(
3336-=x x
C .
6.（2013·江西高考理科·Ｔ5）25
32(x )x
-展开式中的常数项为（ ） A ．80 B.-80 C.40 D.-40
【解题指南】根据二项展开式的通项可求.
【解析】选 C.设展开式的通项为k
k 25k k 1532T C ()(x )x
-+=?-
?k k 105k
5
(2)C x -=-，所以当105k 0-=，即k 2=时，k 1T +为常数.即22
35
T (2)C 40=-=.
7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a = ( )
A.-4
B.-3
C.-2
D.-1
【解析】选D. (1+x)5中含有x 与x 2的项为T 2=25C x=5x,T 3=25C x 2=10x 2,所以x 2的系数为10+5a =5.解得a =-1.故选D. 二、填空题
8. （2013·四川高考理科·Ｔ11）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答）
【解题指南】本题考查的是二项式的展开式问题，解决本题的关键是正确的利用展开式的通项公式进行展开求解.
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得1r n r r r n T C x y -+=，可得含23x y 的项为
3235C x y ，所以其系数为
10.
【答案】10.
9. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6
x
?
- ?
的二项展开式中的常数项
为 .
【解题指南】利用二项展开式的通项求解 【解析】根据二项展开式的通项3r 6r
6r
r r
r 2
r 16
6T C x
(C x (1)--+==-，知当3r 602-=，
即r 4=时，该项为常数，此时4
456
T C (1)15=-=. 【答案】15.
10. （2013·浙江高考理科·Ｔ11）设二项式
5
的展开式中常数项
为A ，则A =___________.
【解题指南】根据二项式定理求解.
【解析】
15555362
1555(1)(1)r
r r r
r
r r r r r r T C C x x C x
----+?==?-??=?-? ?
(0,r =1,,5)???，令15506
r -=，得3r =，所以3
35
(1)10A C =-=- 【答案】10-.
11.（2013·上海高考文科·T7）与（2013·上海高考理科·T5）相同
设常数a ∈R.若5
2
x ??? ?
?+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= .
【解析】2515()(),2(5)71r r r r a
T C x r r r x
-+=--=?=，故1
5
102C a a =-?=-． 【答案】-2.
12.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8
?
+ ?
x 的展开式中4x 的系数为7，则
实数a =_________。
【解题指南】根据二项展开式的通项公式计算。 【解析】因为1488833
18
88...r r r
r
r r r r r
r r T C x
C x x a C x a ----+===，令48-43r =，则r=3，所
以由3381=72
?=C a a 。 【答案】1
2
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