2021届四川省成都市新都一中高三国庆假期作业理科数学(2)含详解

2021届四川省成都市新都一中高三国庆假期作业

理科数学（2）

一、单选题

1．设集合{}0,1,3,5,6,8U =， {}A 1,5,8B {2}==，，则(

A B =（）

A ．{}0,2,3,6

B ．{}0,3,6

C ．{}1,2,5,8

D ．?

2．设复数z 满足z i

i z i

-=+，则z =（） A ．1

B ．-1

C ．1i -

D ．1i +

3．已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），00(,)x y 的线性回归方程为2y x ∧

=+，则00x y -的值为（） A ．-3

B ．-5

C ．-2

D ．-1

4．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A ．

B ．

C ．

316

D ．38

5．已知双曲线()2222:10x y C a b a b

-=>>与抛物线()2

20y px p =>的交点为,A B ，直线AB 经过抛物

线的焦点F ，且线段AB 的长度等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 A ．21+

B ．3

C ．2

D ．2

6．已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →

在BA →

方向上的投影是（） A ．35-

B ．32

C ．35

D ．

7．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（） A ．6

B ．

C ．

127

D ．4

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A ．20

B ．24

C ．18

D ．16

9．设θ为第二象限角，若1tan()47

θπ+=，则sin cos θθ+=

（） A ．15

B ．

C ．75

D ．75

10．已知函数()4f x x x =+

，()2x

g x a =+，若11,12x ???∈????

，2[2,3]x ?∈，()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是

（） A ．1a ≤

B ．0a ≤

C ．1

a ≤-

D ．4a ≤-

11．过点2,0c A a ?? ???

作双曲线()22

2:10.0x y

C a b a b -=>>的一条渐近线的垂线，垂足为P ，点Q 在双曲线C 上，且3AQ QP =，则双曲线C 的离心率是（）

A ．

+ B ．51- C ．3 D ．2

12．已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a << B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

二、填空题

13．已知54262+5130N N

x y x y x y +≤??-≤?

?∈??∈?，则目标函数2010z x y =+的最大值为________.

14．定积分

0124x x dx π??-+- ??

??的值______. 15．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥

A BMN -的体积是__________．

16．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是________．

三、解答题

17．已知数列{}n a 前n 项和为2111

n S n n =

+，数列{}n b 等差数列，且满足311b =，前9项和为153. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设()()3

21121n n n c a b =

--，数列{}n c 的前n

项和为n

T . 18．某足球运动员进行射门训练，若打进球门算成功，否则算失败.已知某天该球员射门成功次数与射门距离的统计数据如下：

（1）请问是否有90%的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关？

参考公式及数据：2

(),()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=

=+++++++. 20()P K k ≥

0.100 0.050 0.010 0.001 0k

2.706

3.841

6.635

10.828

（2）当该球员距离球门30米射门时，设射门角（射门点与球场底线中点的连线和底线所成的锐角或直角）为([0,])2

θθ∈，其射门成功率为2+3

()cos sin 4

f θθθθθ=+?-

，求该球员射门成功率最高时射门角θ

的值.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，

90ABC BAD ∠=∠=?，4AD AP ==，2AB BC ==，M ，N 分

别为线段PC ，AD 上的点（不在端点）. （1）当M 为PC 中点时，1

AN AD =

，求证：//MN 面PBA ；（2）当M 为中点且N 为AD 中点时，求证：平面MBN ⊥平面ABCD ；（3）当N 为AD 中点时，是否存在M ，使得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为

，若存在，求出MC 的长，若不存在，说明理由.

20．已知点()11,A x y ， ()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()2

40y x y =≥上的两点，

A ， D 两点在x 轴

上的射影分别为点B ， C ，且2BC =.

（I ）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；

（II ）记OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：

1214

S S <. 21．已知函数()x

f x e ax -=+.

（I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）若()f x 有两个零点1x 、2x ，且12 x x <.证明：（i ）210x -<<；（ii ）

ln 2

x x a +>-. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12,

12x y θθ

?=+??=??（θ为参数），以坐标原点为极点，

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2cos 14πρθ?

+= ??

. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于P ，Q 两点，求OP OQ ?的值.

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理科数学（2）详解

1．A

解：{}0,1,3,5,6,8U =，{}1,5,8A =， {2}B =，{}0,3,6U

A ∴

(){}0,2,3,6U A B ∴=故选：A ．

2．B 由

()(1)11z i

i z i i z i i z i z z i

-=?-=+?-=-?=-+.故选：B 3．A 由题意知()()0011

10,1544

x x y y =

+=+，样本中心点的坐标为()()001

110,1544x y ??++

???

，线性回归方程为2y x =+，

()()0011

1510244

y x ∴

+=++，解得003x y -=-，故选A. 4．C

3号与5号是全等的等腰直角三角形，设其面积为S ，可得4号板面积为2,6S 号板面积为2,7S 号板面

积为2S ，则正方形面积为16S ，阴影的面积为23S S S +=，由古典概型概率的公式可得，此点取自阴影部分的概率为33

1616

S S =，故选C. 5．B

由题易知，AB x ⊥轴.又由直线AB 经过抛物线的焦点F ，把2p x =代入22y px =可得22

y p =，从而可得22p b =，即.p b =又点,2p p ?? ???，即,2b b ?? ???在双曲线上，可得42

241b

b a b

-=，即228b a =，进而

2222

9c a b a

=+=，离心率3c e a

==. 故选：B . 6．A

由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →

=--，(5,5)CD →

=，则向量CD →

在BA →

方向上的投影是355

BA CD BA →→

→

=-.

故选：A. 7．A

作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，

∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，

∴

''1

''sin ''

2141sin 2

OA B OAB

OA OB A OB S S OA OB AOB ?∠==?∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，

1116

1462121

ABC S x y z t t t t =++=

++=△， ∴

6216121