模块综合检测卷(二)
模块综合检测卷(二)
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一
、
选
择
题
(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求)
1．对于任意实数a ，b ，c ，d 命题：
；2bc >2ac 则，b ac 则，0≠
c
，b >a 若①
.
b >a 则，2b
c >2ac 若③ 其中真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：当c <0时，①不正确；当c ＝0时，②不正确；只有③正确．
答案：B
2．历届现代奥运会召开时间表如下：
年份 1896年 1900年 1904年 … 2016年 届数
1
2
3
…
n
则n 的值为( )
A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以1 896为首项，4为公差
的等差数列，所以2 016＝1 896＋(n －1)·4，解得n ＝31.
答案：C
3．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值
为( )
A ．－6
B ．－2
C ．0
D ．2
解析：y ＝|x |与y ＝2的图象围成一个三角形区域，如图所示，3个顶点的坐
标分别是(0，0)，(－2，2)，(2，2)．在封闭区域内平移直线y ＝2x ，在点(－2，
2)时，2x －y ＝－6取最小值．
答案：A
4．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的长为50
m ，
∠
ACB ＝45°，
∠
CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )
m 250．A m 350．B m
225．C
m 252
2
D.
，
AC
sin ∠ABC
＝AB sin ∠ACB 由正弦定理得
解析： 又因为∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°， ．
)m (250＝50×22
12＝
ACsin ∠ACB
sin ∠ABC
＝AB 所以 答案：A
T
那么数列，是一个确定的常数18a 6a 3a 若，n T 项的积为n 前}n a {列等比数．5)
(是中也是常数的项25T ，17T ，13T ，10
25
T ．D 17T ．C 13T ．B 10T ．A 为确定的常9a 所以，是一个确定常数39a ＝9q ·9a ·a9
q3
·a9q6＝
18a ·6a ·3a 因为解析：数．
.
C ，所以选17)9a (＝17a ·…·2a ·1a ＝17T 答案：C
??
?x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0
以原点为圆心的圆全部都在平面区域
．6内，则圆面积的最大值为( ) π
．D π2．C 9π5
B. 18π5A. 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离，
，
2＝|0－0＋2|
12＋（－1）2即
.
π2＝2)2(·π为所以圆面积的最大值 答案：C
2
－x 3＋2x 2程它们夹角的余弦值是方，5，4为已知三角形的两边长分别．7＝0的根，则第三边长是( ) 61
D. 22C. 21B. 20A. ，
)舍(2－＝x 或1
2
＝x 得0＝2－x 3＋2
x 2由，θ的两边的夹角为5，4为设长解析：.
21＝42＋52－2×4×5×1
2
为所以第三边长，1
2＝θos c 所以 答案：B
)
(于等k 则，8 ?? ?－8，n ＝1， －10＋2n ，n≥2. ＝???S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2＝n a 解析： ， 10－n 2＝n a 时适合1＝n 因为 ．)*N ∈n 10(－n 2＝n a 所以 10<8.－k 5<2以所，<8k a 5<为因 8. ＝k 所以，*N ∈k 又因为.9 2 所以 答案：C ) (为的定义域)－x2－3x ＋4＋x2－3x ＋2(ln 1 x ＝)x (f 函数．9 A ．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B ．(－4，0)∪(0，1) C ．[－4，0)∪(0，1] D ．[－4，0)∪(0，1) 解析：函数f (x )有定义等价于 ? ??? ?x≠0，x2 －3x ＋2≥0，－ x2－3x ＋4>0???? ?x≠0，x2－3x ＋2>0，－x2－3x ＋4≥0，或 解得－4≤x <0或0 答案：D 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△AB C 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 解析：因为b cos C ＋c cos B c2＋a2－b2 2ac · c ＋b2＋a2－c22ab ·b ＝ b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a ＝ 2a22a ＝ ＝a ＝a sin A ， 所以sin A ＝1. 是直角三角形． ABC △即，π 2 ＝A 所以，)π，(0∈A 因为 答案：B ， 2 3 ＝2x 且，2)≥n (1xn ＋1＋1xn －1＝2xn ，中}n x {列在数．11 ) (于等10x 则，2 5＝4x 211A. 16B. 112 C. 15 D. ， 1＝3 2－52＝d 2以所，52＝1x4，32＝1x2而，成等差数列???? ??1xn 由已知可得解析：. 2 11＝10x 所以.112＝12×9＋? ?? ??32－12＝d 1)－0(1＋1x1＝1x10故.12＝d 即 答案：A 1y ＋ 2 x 且 ，0>y ，>0x 已知．21) (是的取值范围m 则实数，恒成立m 2＋2m >y 2＋x 若，1＝ A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2，4) D ．(－4，2) ≥ x y ＋4y x ＋4＝? ?? ??2x ＋1y )y 2＋x (＝y 2＋x 所以，1＝1y ＋2x 且>0y ，>0x 因为解析：，时取等号2＝y ，4＝x 即，x y ＝4y x 当且仅当，8＝4y x ·x y 2 ＋4 ， 恒成立m 2＋2m >y 2＋x 要使.8＝min )y 2＋x (以所 ， 恒成立m 2＋2m >min )y 2＋x (需只 <2. m 4<－解得，m 2＋2m 8>即 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) ?? ?x2＋1，x>0， －x ，x≤0. ＝)x (f 若函数．31 则不等式f (x )<4的解集是________． ?? ?x≤0， －x<4， 或???x>0，x2＋1<4等价于4) )3，4－(是的解集4) 3，4－(答案： _ _______前则这个数列的，2004－n 2＝n a 的通项公式为}n a {列已知数．41项和最小． 2 004. －x 2＝y 的对应函数为42 00－n 2＝n a 设解析： 易知函数y ＝2x －2 004在R 上是增函数，且当y ＝0时，x ＝1 002. 且 ，是单调递增数列}n a {列数，因此 .>0n a ，时2>1 00n ；当0≤n a ，时21 00≤n ≤1当 项的和最小． 21 00前项或11 00前的}n a {列所以数 答案：1 001或1 002. 3 ＝ 2b －2a 若，c ，b ，a 的对边分别是C ，B ，A 内角，中ABC △在．51． ________于等A 则，B sin 32＝C sin ，bc 故由余 ，bc 3＝2b －2a 又.b 32＝c ?B sin 32＝C sin 且，由正弦定理解析： ＝ c2－3bc 2bc ＝b2＋c2－（b2＋3bc ）2bc ＝b2＋c2－a22bc ＝A cos 弦定理得.°30＝A 所以，3 2 ＝ （23b ）2－3b·23b 2b·23b 答案：30° ≠ xy ，R ∈y ，x (x2－y2 xy ＝y ?x ：”?“定义运算)山东卷·2015(．610)．当x >0，y >0时，x ?y ＋(2y )?x 的最小值为________． ) y (2＋y ?x 故，>0y ，>0x 又.4y2－x2 2xy ＝x ?)y (2以所，x2－y2xy ＝y ?x 因为解析：等号成立． ，时y 2＝x 当且仅当，2＝22xy 2xy ≥x2＋2y22xy ＝4y2－x22xy ＋x2－y2xy ＝x ? 2 答案： 三 、 解 答 题 (本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17．(本小题满分10分)(2015· 江 苏 卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值． 12 × 3×2×2－9＋4＝A cos ·AC ·AB 2－2AC ＋2AB ＝2BC ，由余弦定理知)(1解：. 7＝BC 所以，7＝ ， BC sin A ＝AB sinC ，由正弦定理知)(2 . 21 7＝2sin 60°7 ＝A sin ·AB BC ＝C sin 所以 因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， . 277 ＝1－37 ＝1－sin2C ＝C os c 则 . 43 7 ＝277·2172·＝C cos ·C sin 2＝C sin 2因此 4. ＋2a ＝3a ，2＝1a ，是公比为正数的等比数列}n a {设)分21分本小题满(．81 的通项公式； }n a {求)(1 .n S 项和n 的前}n b ＋n a {求数列，的等差数列2为公差，1为是首项}n b {设)(2 ，4＋q 2＝2q 2得4＋2a ＝3a ，2＝1a 则由，的公比}n a {列等比数为q 设)(1解：＝ n a 的通项为}n a {以所，2＝q 因此，)去舍(1－＝q 或2＝q 解得，0＝2－q －2q 即． )＋N ∈n (n 2＝1－n 2·2 2. －2n ＋1＋n 2＝2·n （n －1） 2＋1·n ＋2（1－2n ）1－2 ＝n S (2) 19．(本小题满分12分)在 △ 2 的周长为 ABC △ 已知 .c ，b ，a 所对的边分别为C ，B ，A 角，中ABC . C sin 2＝B sin ＋A sin 且，1＋ (1)求边c 的长； 的大小． C 求，C sin 1 6 的面积为ABC △若)(2 及正弦定理可知： C sin 2＝B sin ＋A sin 由)(1解： . c 2＝b ＋a 1. ＝c 从而，1＋2＝c ＋c 2所以，1＋2＝c ＋b ＋a 又因为 ， C sin 1 6 ＝C sin ab 12＝S 三角形面积)(2 . 2＝b ＋a ，1 3 ＝ab 所以 ， 1 2 ＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝a2＋b2－c22ab ＝C cos 因为 . π 3 ＝C 所以，π 点E 在AC 上． (1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式； (2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？ 如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？ ·AE ·x ·1 2 ＝ADE △S 所以，3＝4×34＝ ABC △S 解： ，3 2 ＝ °sin 60 1. ≥x 所以，2≤2 x ＝AE 所以，2＝AE ·x 所以 ， 2－4x2＋2x ＝°cos 60·2x ·x 2·－2 ? ?? ??2x ＋2x ＝2y ，中ADE △在)(1 ． )2≤x ≤(1x2＋4 x2－2＝ y 所以 ．)4≤t ≤(1t ＋4 t －2 ＝y 所以，4≤t ≤1则，2x ＝t 令)(2 1 ＝t ；当2最短为DE ，时2＝AE ，2＝AD 即当，时2＝x 即，2＝t 当 . 3最长为DE ，时2＝AE ，1＝AD 或1＝AE ，2＝AD 即，4或 ，R)∈a (ax －2x ＝)x (f 已知函数)分21分本小题满(．12 (1)若不等式f (x )>a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围； (2)设x >y >0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥ 0恒成立，求实数a 的取值范围． ，R 为的解集03>＋a －ax －2x 即不等式，R 为的解集3－a )>x (f 不等式)(1解： <2.a 6<－所以，恒成立012<－a 4＋2a 即，恒成立03)<－a 4(＋2a ＝Δ所以 恒 0≥ay 2＋ay －2y ＋ax －2x 即不等式，恒成立0≥ay 2＋)y (f ＋)x (f 不等式)(2恒成立．)y －x (a ≥2y ＋2x 所以，成立 所以实数a 的取值范围为(－∞，4]． 且满 ，n S 项和为n 的前}n a {列的等差数0于已知公差大)分21分本小题满(．2222.＝5a ＋2a ，117＝4a 3a 足： ； n a 的通项公式}n a {列求数)(1 ； c 求非零常数，Sn n ＋c ＝n b 且，是等差数列}n b {列若数)(2 . 64bn （n ＋9）bn ＋1> 1－n b 3－n T 2：求证，n T 项和为n 的前}n b {的中)(2若)(3 ， 22＝5a ＋2a ＝4a ＋3a 因为，为等差数列}n a {解：)(1 ， 117＝4a ·3a 又因为 的两个根．0＝711＋x 22－2n 是方程4a ，3a 所以 13. ＝4a ，9＝3a 所以，4a <3a 所以，>0d 又因为公差 3. －n 4＝n a 所以???a1＝1，d ＝4， 即???a1＋2d ＝9，a1＋3d ＝13所以 ， n －2n 2＝4·n （n －1） 2 ＋1·n ＝n S ，知)(1由解：(2) ， 6 2＋c ＝2b ，11＋c ＝1b 所以，2n2－n n ＋c ＝Sn n ＋c ＝n b 所以 .15 3＋c ＝ 3b ， 0＝c ＋2c 2以所，3b ＋1b ＝2b 2以所，是等差数列}n b {为因 ． )去舍(0＝c 或1 2 ＝－c 所以 ， n ＋2n ＝n （n －1）·2 2＋n 2＝n T ，n 2＝2n2－n n －12 ＝n b 得)(2由证明：(3) ， 4≥4＋21)－n 2(＝)2－n 3(2－)n ＋2n 2(＝1－n b 3－n T 2 >4.1－n b 3－n T 2，即”＝“所以取不到，>1n 又，”＝“时取1＝n 当 64bn （n ＋9）bn ＋1， 4≤64n ＋9n ＋10＝64n n2＋10n ＋9＝64×2n （n ＋9）·2（n ＋1）＝ 当n ＝3时取“＝”． 上述两式中“＝”不可能同时取到， . 64bn （n ＋9）bn ＋1 > 1－n b 3－n T 2以所