小船渡河数学模型
小船过河数学模型
1.问题及背景
一只小船度过宽度为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸的B 点。建立小船渡河航线模型，并分析研究小船的渡河航行时间。
2.问题假设和分析
假设河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为K。
在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动。
3.模型建立
以B为坐标原点，BA所在的线段为x轴的正半轴建立如图一所示的坐标系。
设小船航迹为y=y(x)，由运动力学知，小船实际速度v=v1+v2，设小船与B点连线与x轴正方向夹角为θ，则
V=﹣iv2cosθ﹢j(v1﹣v2sinθ) 即
dx dt =﹣v2cosθ，dy
dt
=v1﹣v2sinθ
设小船t时刻位于点（x，y）处，显然有
cosθ=x
(x2+y2)1/2，sinθ=y
(x2+y2)1/2
即
dx dt =﹣v2x
(x2+y2)1/2
，dy
dt
=v1﹣v2y
(x2+y2)1/2
所以
dy dx =
dy
dt
dx
=(v1﹣v2y
(x2+y2)1/2
)/(﹣v2x
(x2+y2)1/2
)
于是初值问题(x2+y2)1/2
dy dx =﹣k(x
2+y2)1/2
x
﹢y
x
， 0 y(d)=0 即为小船航迹应满足的数学模型，它是一阶齐次微分方程。 4.模型求解 假设d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s 令y x =u，则y=ux，dy dx =x du dx ﹢u，把它们带入初值问题，整理，得 x du dx =﹣k(1﹢u2)1/2 对上式分离变量并积分，得 arshu=ln(u﹢(1﹢u2)1/2)=﹣k(lnx﹢lnC) 带入初始条件x=d，u=0，得C=1 d ，所以 ln(u﹢(1﹢u2)1/2)=﹣kln x d =ln(x d )﹣k 从而 u=sh(ln(x d )﹣k)=1 2 [(x d )﹣k﹣(x d )k] 带入u=y x ，得 y=x 2 [(x d )﹣k ﹣(x d )k ]=d 2 [(x d ) 1﹣k ﹣(x d )1+k ]，0≦x ≦d 5. 结果分析 小船航线的参数方程为 dx dt =﹣ 2x (x 2+y 2)1/2 ， x(0)=d dy dt =1﹣ 2y (x 2+y 2)1/2 ， y(0)=0 由Matlab 求解数值和画图,Matlab 程序如下： 通过数值解求出小船渡河的时间为66.65s 6.参考文献 司守奎.数学建模算法与应用.北京.国防工业出版社,2013.1