对数的基本性质
对数的基本概念
目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并由此求一些特
殊的对数式的值。 进程：
一、引入：从指数导入。
假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，
那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍
则有 ()a a x 2%81=+ 208.1=x
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 N a b =中，已知a 和
N 求b 的问题。（这里 10≠>a a 且）
二、课题：对数
定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =，那么数 b 叫
做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
N a b
=
b N a =log
1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．Θ对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a
同样易知： 1log =a a
3．如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N
a
=log
（对数恒等式）
三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。
例如： 1642= 216log 4= 100102= 2100log 10=
242
1=
2
12log 4= 01.0102=- 201.0log 10-=
例一、 例一、例二
例二、1．计算： 27log 9，81log
3
4
，()()3
2log 32-+，625log
4
3
5
解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴2
3
=x
设 =x 81log
3
4
则8134=??
? ??x
,
44
33=x
,
∴16=x
令 =x ()
()32log 32-+=()()13232log -+-, ∴()()1
3232-+=+x , ∴1-=x 令 =x 625log
4
3
5
, ∴625543=?
??
?
??x , 434
55=x , ∴5=x 2．求 x 的值：①43log 3-=x ②3
5log 2-=x
③()()
1123log 2122
=-+-x x x ④()[]0log log log 432=x
解：①271
3
4
4
3=
=-
x
②32
1
2
2
3
5=
=-
x
③2,00212123222-==?=+?-=-+x x x x x x x
但必须：???
????>-+≠->-012311201222
2x x x x ∴0=x 舍去 2-=x
④()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x 3．求底数：533log -=x , 8
72log =x
解：5
3355
3
33-
--??
??? ??==x
, ∴3
53
-
=x
8
77
88
722???
?
? ?
?==x , ∴2=x
四、介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 N 10log 写成 N lg 2．自然对数：以 e 作底 e 为无理数，e = 2.71828……
N e log 写成 N ln
五、小结：1°定义 2°互换 3°求值
六、作业：
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
对数运算性质
2.2.1对数与对数运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能：理解对数的运算性质． 2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． 3．情感、态态与价值观 通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、 相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的 科学精神 （二）教学重点、难点 1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. 2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明. （三）教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?=（a＞0，且a ≠1，N＞0）， 学生口答，教师板书．对数的概念 和对数恒等 式是学习本
指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷=(); m n m n mn n m a a a a == 节课的基础， 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 提出 问题 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=， 那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如： ,,m n m n m n a a a M a N a +?===设. 于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,m a M a m M =?=log n a N a n N =?=log m n a MN a m n MN +=?+=log log log () a a a M N MN ∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．
对数函数性质及练习(有答案)
\ 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． , 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解
2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数 的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
对数的运算性质(公开课教案)
§2.7.2 对数的运算性质 教学目标 （一） 教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点 对数运算性质的应用. 教学难点 化简,求值技巧. 教学方法 启发引导法 教学过程. 一、 复习回顾 上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： l o g b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >） 本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质 由对数的定义可得：log 10a = l o g 1a a = （0a >且1a ≠） 把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数 形式。 把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠） 通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。 例如： log 2 2 2log a a a a == （0a >且1a ≠）
2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。 指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： l o g a p M = l o g a q N = l o g a p q M N += ∴ l o g l o g l o g a a a M N M N += （0M > 0N > 0a >且1a ≠） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。 请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？ log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ l o g l o g l o g l o g a a a a M M N N N N = +- l o g ()l o g a a M N N N =?- l o g l o g a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘， 即 1212 l o g l o g l o g l o g a a a N a n N N N N N N +++= 若 12N N N N M ==== 则上式可化为 l o g l o g n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？ 下证 l o g l o g n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 证明：设 l o g a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 l o g l o g n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。 例如：3222log 8log 23log 23===
对数的运算性质教案
2.2.1对数与对数运算性质（二） 教学目标 （1）知识与技能： 理解对数的运算性质． （2）过程与方法： 通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． （3）情感、态态与价值观： 1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神。 2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算，加快了运算速度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性，体现了所学知识实践中的应用。 教学重点、难点 教学重点：对数运算性质及其推导过程. 教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明. 教学过程 （一）复习巩固，引入新课： （1）对数的定义 b N a =log ，掌握其中 a 与 N 的取值范围； （2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式； （3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。 设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 2、请同学判断以下几组数是否相等？ （1） 10 1lg 100lg +，)101100lg(?； （2）8 1log 4log 22+，21 log 2； 提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？ 设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。 新课讲解： 请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积 的对数。
对数式及运算性质
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 对数式及运算性质 【课前预习】阅读教材P 62-68完成下面填空 1．?=N a x ；（a>0,a 1≠） 2．=N a a log ；（a>0,a 1≠） 3．=1log a ，=a a log .（a>0,a 1≠） 4．当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()=MN a log ；⑵=?? ? ??N M a log ；⑶=n a M log . 5．换底公式：=b a log .()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6．a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 练习： 1．计算（1）3log -6log 22＝ 。 （2）02lg 5lg +＝ 。 （3）3 1 log 3log 55+＝ 。 （4）15log 5log 33-＝ 。 2．利用对数的换底公式化简下列各式： 边听边练边落实 1.化简 3 log 9 log 28＝____________. 2．对于a >0且a ≠1，下列结论正确的是 ( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②④ 3． 11 log log a a b b -之值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2log a b D ．2log a b - 4．已知35a b m ==，且112a b +=，则m 之值为 ( ) A ．15 B 15 C ．±15 D ．225 5.若2a ＝5b ＝10，则 b a 1 1+＝________. 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2 －4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2 的值是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．计算： (1)lg14－2lg 3 7 +lg7－lg18 (2) ２5log 25＋３2log 64 (3)3log 8log 4log 843??
指数与对数的性质和运算及答案详解
指数与对数的运算 （1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n m k ∈>= ，m n n m n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n m 的是次方根，即：n m n m a a = （2）同样规定：)1*,,0(1 >∈>= - n N n m a a a n m n m 且；0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义。 （3）指数幂的性质： ) ,0,0()() ,,0()() ,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ （2）基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； ③1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 （3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。 （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ；②b m n b a n a m log log =。 1、已知3234+?-=x x y 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是 （ ） A.［２，４］ B.)0,(-∞ C.]4,2[)1,0( D.]2,1[)0,( -∞ 2、若,310 ,210 ==y x 则=-2 310 y x 3、【08重庆卷13】已知1 249 a = (a>0) ，则23 log a = .
完整对数的运算性质练习题提高
对数的运算性质(二) 1. ( 2014秋？龙泉驿区校级期中)若ab>0,则下列四个等式： ①lg (ab) =lga+lgb ②lg (f) =lga - Igb ③弓g V)2="g V) ④lg (ab)= ?中正确等式的符号是( ) |1 叫10 A .①②③④B.①② C .③④ D .③ 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】对于①②当a, b v 0时，lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ③弓g (f) 2=lg (f)，正确； ④ab=1时不正确. 【解答】解：①②?/ ab> 0, ??? a, b v 0时，下列等式：lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ???①②不正确； ③吉ig (半)2=lg ({),正确； ④lg (ab) =--------------- ,ab=1时不正确. 综上可得：只有③正确. 故选：D. 【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题. 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 2. ( 2015?吉林校级四模)已知函数f (x) ( ) A . 2 B. - 2 C. 0 D. 1 _z =-x+log 2 . I+x +1，则f (2)+f (-亍)的值为
+ +1) =2. 故选：A . 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用. log 3（K- 1） J 贅>1 3. （ 2015?四川模拟）已知函数 f （ X ）= 则f （ f （ log 32））的值是 3H +2, I <1 （ ） A . 1 B . 2 C . 5 D . 1+log 32 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式代入进行求解即可. 【解答】解：T log 32 v 1, 1辱2 ??? f （log 32） = - +2=2+2=4 , /? f （4） =log 3 （4 - 1） =log 33=1 , 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据表达式直接代入是解决本题的关键. 4. （ 2015秋？台州校级月考）设 a >0, b >0,则（ ） A .若 2a +log 2a=2b +log 3b ，贝U av b a b B .若 2 +log 2a=2 +log 3b ,贝U a > b a b C. 若 2 +log 2a=3 +log 2b ,贝U av b D. 若 2a +log 2a=3b +log 2b ,则 a >b 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 f ( 2)+f (- 丄） =(-丄 3 2 2 +胆^4+1），由此 能求出结果. 【解答】 解：T 函数f (X ) = - X+lOg 2— ■' H-K +1, +f (- =(4+ 由已知得 L 4 I - .: -------- +1)
段艳芳-对数的概念与运算性质
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 太原市实验中学段艳芳 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不
(完整版)对数运算法则教案
§2.2.1 对数与对数运算（第2课时） ——对数的运算法则 一、教学内容分析： 本节课课程标准要求理解对数的运算法则，能灵活运用对数运算法则进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，它是上节内容的延续与深入，同时也是研究学习后续知识对数函数的必备基础知识.高考大纲中要求要理解对数的概念及其运算法则。 二、教学目标： 知识与技能目标： 理解并掌握对数法则及运算法则，能初步运用对数的法则和运算法则解题． 过程与方法目标： 通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 情感态度与价值观目标： 通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 三、教学重难点： 教学重点：对数的运算法则及推导和应用； 教学难点：对数运算法则的探究与证明． 四、教具准备： 幻灯片、课件、多媒体 五、教学方法 本课采用“探究——发现”教学模式 六、 教学过程： （一）复习引入 1、对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0） 2、指数的运算法则
;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ()mn n m a a = 我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则，得出相应的对数运算法则吗？ （二）运算法则 （1）我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 解： ,,m n m n m n a a a M a N a +?===设 于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,m a M a m M =?=log n a N a n N =?= log m n a MN a m n MN +=?+= N M MN a a a log log log += 即：两数积的对数，等于各数的对数的和。 提问：你能根据指数的法则按照以上的方法推出对数的其它法则吗？ （2）我们知道 ，那m n -如何表示，能用对数式运算吗？ 即：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 （3）我们知道 ，那mn 如何表示，能用对数式运算吗？ （4）对数运算的作用：利用对数法则1和法则2可以使两对数的积、商的对数转化为两对数的各自的对数的和、差运算，法则3是降级运算，这三个法则大大简便了对数式的化简和求值。 n m n m a a a -=÷,log log log ,log ,log ,log ,,N M N M N M n m a N M N n a N M m a M a N a M a a a a n m a n a m n m -==-?==?==?===-即则由对数的定义，解：令() mn n m a a =()M n M M n mn M mn M m M a a M a M a a a n a n a a mn n m n m log log log log log ,log .========即所以由对数的定义则解：设
对数的运算性质教案
2.2.1对数与对数运算性质（二）教学目标（1）知识与技能：理解对数的运算性质． （2）过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．（3）情感、态态与价值观：1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神。 2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算，加快了运算速度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性，体现了所学知识实践中的应用。 教学重点、难点教学重点：对数运算性质及其推导过程.教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明.教学过程（一）复习巩固，引入新课：（1）对数的定义 b N a =log ，掌握其中 a 与 N 的取值范围； （2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式； （3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。 设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 2、请同学判断以下几组数是否相等？ （1） 10 1lg 100lg +，)101100lg(?； （2）8 1log 4log 22+，21log 2； 提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？ 设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。 新课讲解： 请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。 那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体的来证明我们的这一结论： 设计意图：让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略． 如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0，证明：log ()log log a a a MN M N =+
知识讲解对数函数及其性质基础
对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含 有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1 图 象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增 函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y ＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．
(完整版)对数的运算法则
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
对数的运算性质和运算 对数函数
对数的运算性质和运算 1.对数性质： 若a ＞0且a≠1，则， ， （3）零与负数没有对数， 2.对数运算法则：若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0，m>0且b≠1，则 ， ， （4）换底公式 log log log m a m N N a = 3.指数与对数式的恒等变形： ； 。 例1．计算：（1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9 lg 243lg ； （3）8log 9log 5.12lg 85lg 21lg 278?-+- 例2．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）492log 3log 2log ?+ 例3．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 13)1(32526log 28log 2log )1(22333--+----=a a D a a C a B a A a a 、、、、表示为（） 用，那么已知变式 （高考）2.==+==m ,211,52则且设b a m b a ( ) A ．10B ．10C ．20D ．100 3.方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 4.(15年高考)设函数? ??≥<-+=-1,21),2(log 1)(12x x x x f x ，则=+-)12(log )2(2f f 5.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 6设a ＝log 36， b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
对数运算性质的推导
对数运算性质的推导过程 以下所有公式的推导多次用到了log a N a N =这一性质，以及指数的运算性质。 1、()log log log a a a M N MN +=的推导过程 证明：M N MN ?= log log log ()a a a M N MN a a a ?= log log log ()a a a M N MN a a += ()log log log a a a M N MN += 2、log log log a a a M M N N -=的推导过程 证明：M M N N = log log log a a a M M N N a a a = log log log a a a M M N N a a -= log log log a a a M M N N -= 3、log log m n a a n b b m =的推导过程 这里分成log log n a a b n b =和1log log m a a b b m = 的推导过程。 证明：①、n n b b = ()log log n a a n b b a a = log log n a a b n b a a = log log n a a b n b = ②b b = ()()1 1 log log log log ()[]a m a a a b b b b m m m m m a a a a === ()1 log log ()a m a b b m m m a a = 1og log m a a l b b m = 由①②知log log m n a a n b b m = . 4、log log log a b a b c c ?=的推导过程。
全国优质课-对数的概念与运算性质
课题：2.2.1对数与对数运算 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。 对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。 基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。 二、教学目标设置 1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质； 3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。 三、学生学情分析 知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。 能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的。
对数的运算性质(公开课教案).doc
§ 2.7.2对数的运算性质 教学目标 （一）教学知识点 1.对数的基本性质 . 2.对数的运算性质 . ( 二 )能力训练要求 1.进一步熟悉对数的基本性质 . 2.熟练运用对数的运算性质 . 3.掌握化简 , 求值的技巧 . 教学重点 对数运算性质的应用 . 教学难点 化简 , 求值技巧 . 教学方法 启发引导法 教学过程 . 一、复习回顾 上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： a b N b log a N（a0 且 a 1 ， N0 ） 本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质 . 二、讲授新课 1 .对数的基本性质 由对数的定义可得：log a 1 0log a a 1（a0 且 a 1 ）
把 b log a N 代入 a b N 可得a log a N N （ a 0 且 a 1 ， N 0 ） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数 N 转化为以 a 为底的指数 形式。 把 a b N 代入 b log a N 可得 b log a a b （ a 0 且 a 1） 通过上式可将任意实数 b 转化为以 a 为底的对数形式。 例如： 2 a log a 2 log a a 2 （ a 0 且 a 1 ） 2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想， 结合指数的运算性质来推导有关对数的运 算性质。 指数的运算性质 a p a q a p q 在上式中 设 a p M ， a q N 则有 MN a p q 将指数式转化为对数式可得： p log a M q log a N p q log a MN ∴log a M log a N log a MN （ M 0 N 0 a 0 且 a 1 ） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变， 真数相乘。 请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何 log a M log a N log a M M M N 证明如下：∵ log a log a log a N log a N N N log a ( M N ) log a N N log a M log a N 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘， 即 log a N 1 log a N 2 L log a N N log a N 1N 2 L N n