16基本初等函数
基本初等函数
一、指数
1、根式:式子n a 叫做a 的n 次方根,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.
根式的性质:()n
n
a a =;当n 为奇数时,n n a a =;当n 为偶数时, (0)
|| (0) n n
a a a a a a ≥?==?-
.
2、分数指数幂:n m n m
n n n
m n m n n a
a a a a a a a 1,1,,1====--(a >0,m 、n 都是正整数,n >1).
3、指数幂的运算公式(a 、b >0,m 、n Q ∈):
①n
m n m a a a +=?
②mn
n m a
a =)(
③n
n
n
b a ab =)(
④n m n m a a a -=÷
一、选择题
1、若x 2=7,y 2=6,则y
x -4等于( )
A .
49
36
B .
67
C .
1214 D .36
49 2.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成八个……每天分裂一次.现在将一个该细
胞放入一个容器,发现经过10天就可充满整个容器,则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是( )
A .5
B .6
C .8
D .9
3.3a ·6a -等于( )
A.-a -
B.-a
C.a -
D. a
4.化简-x 3
x 的结果是( ) A .--x
B.x C .-x D.-x
5.化简(x +3)2-3
(x -3)3得( ) A .6
B .2x
C .6或-2x
D .-2x 或6或2
6.(5116)0.5+(-1)-1÷0.75-2
+(21027)-32=( ) A.94 B.49
C .-9
4
D .-49
7.已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如右图所示,则f 2(1)的值为( )
A .2b
B .0
C .-2b
D .a+ b +c
二.填空题
1、已知3a
=2,3b
=5,则32a -b
=________.
2、设α,β是方程2x 2+3x +1=0的两个根,则(14
)α+
β=__________.
3、用分数指数幂表示:a a =_____________;a a a =______________.
4.若10< =+-a a ,则=--1a a _________. 5.若1,0a b ><,且22b b a a -+=,则b b a a --的值等于__________. 6.已知函数y =ax 2 +bx +c 的图象如右上图所示,则abc _____0,a+ b +c _____0,a -b +c _____0. 三.解答题 1、化简:(1) 3 xy 2 6 x 5·4y 3 ; (2) 3 4 214132 23)(a b b a ab b a ?(a >0,b >0). 2、化简求值:(1)63125.132??; (2)348347625-+ -+ +. 二、指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低. 例1.下列函数是指数函数的是( ) A .y =x )3(- B .y =x 3- C .y =x 33? D .y =x -3 例2、当a >0且a ≠1时,函数)(x f =a 2 -x 1+必过定点___________。 例3、函数y =2x 与函数y =x 2 的图像有_______个交点。 例4.下列各函数分别对应右图哪个函数图象: y =2x ;y =5x ;y =(51)x ;y =(2 1 )x . 例5.比较下列各数的大小: ①5 2 )2(-;②21)23(-;③52 )23(- -;④3)3 1(-;⑤54 )32(-. x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1y = 1、函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为( ) A .1或2 B .1 C .2 D .a >0且a ≠1的所有实数 2、若0<a <1,b <-1,则函数y =x a + b 的图象一定不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、若函数f (x )=a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( ) A .0 B .a >1且b <1 C .0 D .a >1且b <0 4、设232555 322555 a b c ===(),(),(),则a ,b ,c 的大小关系是( ) (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 5、设0,1,,0x x x a b a b ><<>且,则a 、b 的大小关系是 ( ) A.b <a <1 B. a <b <1 C. 1<b <a D. 1<a <b 6、在下列等式中,函数f (x )=x 2不满足的是( ) A .f (x +1)=2f (x ) B .f (xy )=f (x )+f (y ) C .f (x +y )=f (x )·f (y ) D .f (-x )= ) (1 x f 7、下列函数值域与y = x 2 1 相同的是( ) A .y =x 2 B .y =x 12 C .x y 2 = D .y =2 2x 8、函数错误!未找到引用源。x x x f 21 4)(-=的图象( ) A .关于原点对称 B .关于直线y =x 对称 C .关于x 轴对称 D .关于y 轴对称 9、函数2 )(x e e x f x x --=的图像大致为 ( ) 10、若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A .e x -e -x B.e x +e -x 2 C.e -x -e x 2 D.e x -e - x 2 1、函数x a y 2=在R 上是减函数,则a 的取值范围是___________。 2、不等式28 2144x x --??> ??? 的解集为________________. 3、函数4)2 1 (-= x y 的定义域为________________. 4、已知实数a 、b 满足等式23a b =,下列五个关系式: ①0b a <<②0a b <<③0a b <<④0b a <<⑤0a b ==,其中有可能成立的关系式有_____________. 5、关于x 的不等式32x -4·3x +a 2-a +2>0,当0≤x ≤1时恒成立,则实数a 的取值范围是_____________. 三、解答题 1、求函数的单调区间和值域:(1)x y -=312;(2)=y ( 3 1)3 22++x x ;(3)124++-=x x y 。 2、判断函数()f x =1 21 2+-x x 的奇偶性和单调性,并求函数的值域。 3、已知定义域为R 的函数)(x f a b x x ++-=+122是奇函数. (1)求a 、b 的值,并指出函数)(x f 的单调性; (2)若对任意的R t ∈,不等式0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围. 三、对数 1、对数的定义: ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数,真数大于零. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. 2、对数的恒等式: log 10a =,log 1a a =,log a N a N =. 3、常用对数与自然对数: 常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). 4、对数的运算公式:如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑤换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 换底公式的运用:log a b =1 log b a ,log a b · log b c ·log c d =log a d . 练习: 1.计算 (1)4 1 log 2 ; (2)33log 18log 2-; (3)1lg lg 254 -; (4)552log 10log 0.25+; (5)522log 253log 64+; (6)3 log 9 log 28. 2.方程 9 1331 x x +=-的实数解为_____________。 3.已知x y x y 224250+--+=,则log ()x x y 的值是______________。 4、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===_________. 5、已知2log 3=a ,那么6log 28log 33-用a 表示为__________. 6、设25a b m ==,且 11 2a b +=,则m =_________. 7、=+==b a b a 12,3643则已知_________. 8、已知4.1log ,35log 75则m =用m 表示为__________. 9.里氏震级M 的计算公式为:错误!未找到引用源。,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,错误!未找到引用源。是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为____________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。 10.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则( ) A .2x <3y <5z B .5z <2x <3y C .3y <5z <2x D .3y <2x <5z 11.若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55 1533 1322 1z y x ===0,则x 、y 、z 的大小关系是( ) A .z <x <y B .x <y <z C .y <z <x D .z <y <x 12.计算: ①22 )2(lg 20lg 5lg 8lg 3 2 5lg +?++ ; ②12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 22 2 +-+?+. 四、对数函数 函数名称 对数函数 定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠低. 例题: x y O (1,0)1x = log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 1、当a >0且a ≠1时,函数)(x f =1)1(log -+x a 必过定点____________。 2、不等式)2(log log 2 12 1x x -<的解集为__________;不等式3log 2 1>x 的解集为__________;不等式3)2 1( 的解集 为__________。 3、若23 1 log ,则a 的取值范围是_____________。 4、求函数的定义域: (1)) 2(log 31 2+-= x y (2)1)2log 1 2 1 -+= x y ( 练习: 一、选择题 1.函数12 log (32)y x =-的定义域是( ) A .[1,)+∞ B .2(,)3+∞ C .2[,1]3 D .2(,1]3 2.函数()() 2log 31x f x =+的值域为( ) A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 3.若f x x (ln )=+34,则f x ()的表达式为( ) A .3ln x B .3ln 4x + C .3x e D .34x e + 4.三个数6 0.7 0.70.76log 6, ,的大小关系为( ) A. 60.70.70.7log 66<< B. 60.70.70.76log 6<< C .0.760.7log 660.7<< D. 60.7 0.7log 60.76<< 5.设错误!未找到引用源。的大小关系是( ) A .错误!未找到引用源。 B .错误!未找到引用源。 C .错误!未找到引用源。 D .错 误!未找到引用源。 6.已知10< A m n <<1 B n m <<1 C 1< D 1< 1 )、f (2) 大小关系为 ( ) A. f (2)> f (3 1)>f ( 41) B. f (41)>f (31)>f (2) C. f (2)> f (41)>f (31) D. f (3 1 )>f (41)>f (2) 8.若y=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910,则有 ( ) A. y ∈(0 , 1) B . y ∈(1 , 2 ) C. y ∈(2 , 3 ) D. y =1 9、不等式2 2 lg lg x x <的解集是 ( ) A .1( ,1)100 B .(100,)+∞ C .1 (,1)100 (100,)+∞ D .(0,1) (100,)+∞ 10.若f (x )是偶函数,它在[)0,+∞上是减函数,且f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A. ( 110,1) B. (0,110) (1,+∞) C. (110 ,10) D. (0,1) (10,+∞) 11、若() a ax x x f ++-=22lg )(2在区间]1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A .[1,2) B .[)3,1 C .[)1,+∞ D .[)3,2 12.当错误!未找到引用源。时,不等式错误!未找到引用源。恒成立,则实数错误!未找到引用源。的取值范围是 ( ) A. ??? ? ?21,0错误!未找到引用源。 B.?? ????1,2 1 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 二、填空题 1、已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则22 ()()f a f b +=_________. 2、比较大小:8.08 .07.0______6 .0--;)3(log ____)3(log 32--ππ。 3、 若函数)(x f y =的定义域是[]2,1,则函数=y )(log 2x f 的定义域是_____________; 若函数)(log 2x f y =的定义域是[]2,1,则函数=y )2(x f 的定义域是____________。 4、 函数)34(log )(2 2-+-=x x x f 的单调递减区间为_____________;函数)34(log )(22 1+-=x x x f 的单调递减区间 为______________。 5、函数)32(log )(22 1+-=x x x f 的值域为______________。 6、定义域为R 的偶函数f (x )在[0,+∞)上是增函数,且f (2 1 )=0,则不等式)(log 4x f >0的解集是______________. 7、已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是_________。 8、函数)2(log log )(22 x x x f ?=的最小值为_________。 9、已知函数?? ????∈+=991,log 2)(3,x x x f ,)()()(22x f x f x g -=,则)(x g 的最大值为__________。 10、对于任意实数a ,b ,定义, ,min{,}, . a a b a b b a b ≤?=?>? 设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=,则函数 ()min{(),()}h x f x g x =的最大值是______________. 11、已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+≤?=?>? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是_________。 12、已知函数错误!未找到引用源。,正实数错误!未找到引用源。满足c b a <<,且错误!未找到引用源。.若实数错误!未找到引用源。是方程错误!未找到引用源。的一个解,那么下列判断:①错误!未找到引用源。;② 三、解答题 1、已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1,7]上的最大值比最小值大1 2 ,求a 的值。 2、已知函数x x x f +-=11log )(2 1,(1)判断函数的奇偶性和单调性;(2)求使()f x >0 成立的x 的取值范围。 3、(1)判断函数)1ln()(2++=x x x f 的奇偶性并证明; (2)已知函数)ln()(2a x x x x f ++-=为偶函数,求a 的值。 4、已知函数)34lg()(2 ++-=a ax ax x f ,(1)若函数的定义域为R ,求a 的取值范围;(2)若函数的值域为R ,求a 的取值范围。 5、定义在R 上的单调函数()x f 满足对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+且)3(log 2 1f 0>, (1)求证:()x f 为奇函数;(2)若对任意的R t ∈,不等式0)2()2(2 2<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围. 1、幂函数的定义:形如 y x α=的函数称为幂函数,其中α为常数,即R ∈α. 2、常见的幂函数:y x =;2 y x =;3 y x =;1 y x -=;12 y x =。 3、幂函数的性质: (1)过定点:所有的幂函数的图象都过点(1,1). (2)奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数. (3)单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数。 4、几个常见的幂函数的图象和性质: 函数 y =x n n < 0 n = 0 定义域 {x|x ≠0} (0,+∞) {x|x ≠0} {x|x ≠0} 值域 {y|y ≠0} (0,+∞) (0,+∞) {y|y =1} 奇偶性 奇函数 非奇非偶 偶函数 偶函数 单调性 (-∞,0)↓,(0,+∞) ↓ (0,+∞)↓ (-∞,0)↑,(0,+∞) ↓ 不增不减 图 象 0 < n < 1 n = 1 n > 1 R [0,+∞) R R R R [0,+∞) R [0,+∞) R 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 奇函数 (-∞,+∞)↑ [0,+∞)↑ (-∞,+∞)↑ (-∞,0]↓,[0,+∞) ↑ (-∞,+∞)↑ 一、选择题: 1.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 2.函数2-=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.函数3 4x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 4.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数α x y =中0α<,则必有0≠x D .幂函数的图象有可能出现在第四象限 5.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称 6. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 7. 如图所示,幂函数αx y =在第一象限的图象, 比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .104321<<<<<αααα B .143210αααα<<<<< C .412310αααα<<<<< D .142310αααα<<<<< 8. 对于幂函数4 3)(x x f =,若210x x <<,则)2( 21x x f +,2) ()(21x f x f +的大小关系是( ) A .)2( 21x x f +>2) ()(21x f x f + B . )2( 21x x f +<2 ) ()(21x f x f + C . )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + D . 无法确定 二、填空题: 9、函数2 3-=x y 的定义域为____________. 10、若函数b ax y +=α 为幂函数,则=+b a __________. 11、已知幂函数过点(2,32),则幂函数的表达式为____________. 12、函数2 223 ()(1)m m f x m m x --=--是幂函数,且在(0,)x ∈+∞上是减函数,则实数m =____________. 三、解答题: 13.求证:幂函数3x y =在R 上为增函数. 14.已知函数1 m m 22x )m 2m ()x (f -++=,m 为何值时,)x (f 是: (1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数)y =C(其中C 为常数); α 1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 3.(选,补充)指数函数值的大小比较* N ∈a ; a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 第十二讲 基本初等函数 一:教学目标 1、掌握基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)的基本性质; 2、理解基本初等函数的性质; 3、掌握基本初等函数的应用,特别是指数函数与对数函数 二:教学重难点 教学重点:基本初等函数基本性质的理解及应用; 教学难点:基本初等函数基本性质的应用 三:知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)() s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4 )m n a = (5 )m n a - = (6 ,||,a n a n ?=? ?奇偶 2). 指数函数:形如(01)x y a a a =>≠且 2. 1)对数的运算: 1、互化:N b N a a b log =?= 2、恒等:N a N a =log 3、换底: a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2)对数函数: 3.幂函数 一般地,形如 a y x =(a R ∈)的函数叫做幂函数,其中a 是常数 1)性质: (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1, 1); (2) 如果α>0,则幂函数图象通过(0,0),并且在区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴,当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限逼近x 轴。 四:典型例题 考点一:指数函数 例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x > .∴x 的取值范围是14?? + ??? ,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判 断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-,上有最大值14,则a 的值是_______. 分析:令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围. 解:令x t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-. ∴当1a >时,∵[]11x ∈-,, ∴1x a a a ≤≤,即1 t a a ≤≤. ∴当t a =时,2max (1)214y a =+-=. 解得3a =或5a =-(舍去); 当01a <<时,∵[]11x ∈-,, ∴1x a a a ≤≤,即1 a t a ≤≤, ∴ 1t a =时,2 max 11214y a ?? =+-= ??? , 解得13a =或15a =-(舍去),∴a 的值是3或1 3 . 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入 等. 例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式: sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c (其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; 1. 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =, 2π π+ ≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ; 一、三角公式总表 ⒈L 弧长=αR=n πR 180 S 扇=21L R=21R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理: A a sin =B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) ⒊余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin = R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴商的关系:①θtg =x y = θ θ cos sin =θθsec sin ? ②θθθθθcsc cos sin cos ?== =y x ctg ③θθθtg r y ?==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系:1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系:1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a (其中辅助角?与点(a,b )在同一象限,且 a b tg = ?) ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质:(0,0>>A ω) 振幅A ,周期T= ω π 2, 频率f=T 1, 相位?ω+?x ,初相? ⒎五点作图法:令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3,,2 0 求出x 与y , 依点()y x ,作图 ⒏诱导公试 高一必修一基本初等函 数知识点总结归纳1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ (4)指数函数 〖1.2〗对数函数 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (3)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 (5)对数函数 1.2.2 基本初等函数的导数公式 1.下列结论不正确的是( ) A .若y =e 3 ,则y ′=0 B .若y = 1 x ,则y ′=-1 2x C .若y =-x ,则y ′=-1 2x D .若y =3x ,则y ′=3 2.下列结论:①(cos x )′=sin x ;②? ????sin π3′=cos π3;③若y =1x 2,则y ′|x =3=-227.其中正确的有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3.若y =ln x ,则其图象在x =2处的切线斜率是( ) A .1 B .0 C .2 D .1 2 4.正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A .??????0,π4∪??????3π4,π B .[0,π) C .??????π4,3π4 D .??????0,π4∪??????π2,3π4 5.曲线y =e x 在点(2,e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C .2e 2 D .e 2 6.设曲线y =x n +1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A .1n B .1n +1 C .n n +1 D .1 课后探究 1.已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线,则实数k 的值为 2.已知直线y =kx 是y =ln x 的切线,则k 的值为 一、选择题 2.已知函数f (x )=x 3 的切线的斜率等于3,则切线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .不确定 4.y =x α 在x =1处切线方程为y =-4x ,则α的值为( ) A .4 B .-4 C .1 D .-1 5.f (x )= 1x 3 x 2 ,则f ′(-1)=( ) A .52 B .-52 C .53 D .-53 6.函数y =e x 在点(2,e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A .94e 2 B .2e 2 C .e 2 D .e 2 2 二、填空题 7.曲线y =x n 在x =2处的导数为12,则n 等于________. 8.质点沿直线运动的路程与时间的关系是s =5 t ,则质点在t =32时的速度等于________. 9.在曲线y =4 x 2上求一点P ,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P 点坐标为________. 三、解答题 10.求证双曲线y =1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值. 一、选择题 11.(2014·北京东城区联考)曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( ) A .1 B .-π4 C .π4 D .5π4 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如,, ,都是幂函数。没有统一的定义域,定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的,且都经过(1,1)点。当 时,函数在上是单调增加的,当时,函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数: 的图形,如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数,定义域 ,值域;当时函数为单调增加 的;当时为单调减少的,曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时,即。以与 为例绘出图形,如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数,其定义域 ,值域。当时单调增加,当 时单调减少,曲线过(1,0)点,都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数,当时,称为常用对数。以为例绘出图形,如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ,它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述: (1)正弦函数与余弦函数:与定义域都是,值域都是。它们都是有界函数,周期都是,为奇函数,为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 (2)正切函数,定义域,值 域为。周期,在其定义域内单调增加的奇函数,图形为图1-1-8 图1-1-8 (3)余切函数,定义域,值域为 ,周期。在定义域内是单调减少的奇函数,图形如图1-1-9。 图1-1-9 (4)正割函数,定义域,值域为,为无界函数,周期的偶函数,图形如图1-1-10。 图1-1-10 (5)余割函数,定义域,值域为 ,为无界函数,周期在定义域为奇函 数,图形如图1-1-11。 一、一次函数与二次函数 (一)一次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递 增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b x a =- 时,2max 4()4ac b f x a -=. 二、幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). 三、指数函数 (1)根式的概念:如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数 指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)运算性质 数学1(必修)第二章 基本初等函数(1) [基础训练A 组] 一、选择题 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( ) A 2 x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2 下列函数中是奇函数的有几个( ) ①11x x a y a +=- ②2lg(1) 33 x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A 1 B 2 C 3 D 4 3 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A x 轴 B y 轴 C 直线y x = D 原点中心对称 4 已知1 3x x -+=,则332 2 x x - +值为( ) A B C D - 5 函数y = ) A [1,)+∞ B 2(,)3+∞ C 2[,1]3 D 2(,1]3 6 三个数6 0.70.70.76log 6, ,的大小关系为( ) A 60.70.70.7log 66<< B 60.7 0.70.76log 6<< C 0.7 60.7log 66 0.7<< D 60.70.7log 60.76<< 7 若f x x (ln )=+34,则f x ()的表达式为( ) A 3ln x B 3ln 4x + C 3x e D 34x e + 二、填空题 1 985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 2 化简11 410 104 848++的值等于__________ 3 计算:(log )log log 22 22 54541 5 -++= 4 已知x y x y 224250+--+=,则log ()x x y 的值是_____________ 5 方程 33131=++-x x 的解是_____________ 6 函数121 8 x y -=的定义域是______;值域是______ 7 判断函数2lg(y x x =的奇偶性 三、解答题 1 已知),0(56>-=a a x 求x x x x a a a a ----33的值 2 计算100011 3 43460022 ++ -++-lg .lg lg lg lg .的值 3 已知函数2 11()log 1x f x x x += --,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性 4 (1)求函数 2()log x f x -=的定义域 (2)求函数)5,0[,)3 1(42∈=-x y x x 的值域 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数(μ是常数)叫做幂函数。 2幂函数的定义域,要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值,幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示:[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α>0时,图像都过(0,0)、(1,1 注意α>1与0<α<1的图像与性质的区别. ②α<0时,图像都过(1,1)点,在区间(0 上无限接近y轴,向右无限接近x轴. ③当x>1时,指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1.指数函数 1函数 (a 是常数且a>0,a ≠ 1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ,总有,又,所以指数函数的图形,总在x 轴的上方, 且通过点(0,1)。 若a>1,指数函数是单调增加的。若0 2.对数函数 由此可知,今后常用关系式,如: 指数函数的反函数,记作(a是常数且a>0,≠ a1),叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称(图1-22)。 的图形总在y轴上方,且通过点(1,0)。 若a>1,对数函数是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若01 0 人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,=0。 注意:(1)n a = (2)当 a = ,当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?- 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义,规定:0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 正数的正分数指数幂的意义:_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如122 [(1]11-≠ (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数x y a = 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠1 2a>1 注意: 指数增长模型:y=N(1+p )指数型函数: y=k a3 考点:(1)ab =N, 当b>0时,a,N 在1的同侧;当b<0时,a,N 在1的 异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用(1)的知识。 (3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=ka x 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:log a x N = ( a— 底数, N — 真数,log a N — 对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0且a≠1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数: (1)常用对数:以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为. 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:(1)负数和零没有对数 导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、 ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1'() 5、ln =x x 1 '() 6、sin cos =x x '() 7、 cos sin =-x x '() 8、=-x x 211'() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±() 2、 =u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '' ) 4、u -v =u v u v v 2'''() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x 15= (2) )-y x x 3=≠0( (3))y x x 54=0 ( (4))y x x 23=0 ( (5))-y x x 23 =0 ( (6)y x 5= (7)sin y x = (8)cos y x = (9)x y =2 (10)ln y x = (11)x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 1 4= ,x =16 (2)sin y x = ,x π =2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = ,x π =4 (5)3y x = ,11 28(,) (6)+x y x 2=1 ,x =1 (7)y x 2 = ,,24() 六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数); α 1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时 在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 .当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; .当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界] 1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数, f x x x x g ? ? ?=1)( 基本初等函数 一.【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n ②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 (2).幂的有关概念 ①规定:1)∈???=n a a a a n (ΛN * ;2))0(10 ≠=a a ; n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ); 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ); 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ; 2)以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ; ②基本性质: 1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)01log =a ; 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一.【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n ②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 (2).幂的有关概念 ①规定:1)∈???=n a a a a n (ΛN * ;2))0(10 ≠=a a ; n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ); 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ); 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的 对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ; 2)以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ; 基本初等函数的导数公 式表 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、=n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1 '() 5、ln =x x 1 '() 6、sin cos =x x '() 7、cos sin =-x x '() 8、=-x x 21 1 '() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±() 2、=u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '') 4、u -v =u v u v v 2'' '() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x 15= (2) )-y x x 3=≠0( (3))y x x 54=0 ( (4))y x x 23=0 ( (5))-y x x 23=0 ( (6)y x 5= (7)sin y x = (8)cos y x = (9)x y =2 (10)ln y x = (11)x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 14= ,x =16 (2)sin y x = , x π=2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = , x π=4 (5)3y x = ,1128(,) 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 (一)根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n 是偶数时,正数a 的正的n 表示,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. 2 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. 3、根式的性质 :n a =;当n 为奇数时 , a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? -. (二)分数指数幂的概念 1、 正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. 2 、正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0;p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:○ 1 指数函数的定义是一个形式定义; ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1. 〖 2.1〗指数函数 根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数 指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ (4)指数函数 〖2.2〗对数函数 负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. 几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. 常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). 对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 换底公式的推论: (5)对数函数 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α 是常数.(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
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