数学分析课本-习题及答案02
第二章 数列极限
习题
§1数列极限概念
1、设n a =n
n
)1(1-+，n=1，2，…，a=0。
（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=，2ε=，3ε=；
（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N 2、按ε—N 定义证明：
（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2
312322=-+n n n ；（3）∞→n lim
n n n !
； （4）∞
→n lim sin
n π
=0；（5）∞→n lim n a
n =0（a>0）。
3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞
→n lim
n 1；（2）∞
→n lim
n
3；（3）∞
→n lim
31n ；（4）∞→n lim n 31
； （5）∞
→n lim
n
2
1；（6）∞
→n lim
n
10；（7）∞→n lim
n
2
1。
4、证明：若∞
→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞
→n lim k n a += a 。
5、试用定义1'证明： （1）数列{
n
1}不以1为极限；（2）数列{n
n )1(-}发散。 6、证明定理，并应用它证明数列{n
n
)1(1-+}的极限是1。
7、证明：若∞
→n lim n a = a ，则∞
→n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立
8、按ε—N 定义证明： （1）∞
→n lim )1(n n -
+=0；
（2）∞→n lim
3
321n n
++++Λ=0；
（3）∞
→n lim n a =1，其中
,1
n
n -n 为偶数， n a =
n
n
n +2，n 为奇数。
§2收敛数列的性质
1、求下列极限：
（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 221n n +；（3）∞→n lim 113
)2(3)2(+++-+-n n n
n ； （4）∞
→n lim )(2n n n -+；（5）∞
→n lim )1021(n n n +++Λ；
（6）∞→n lim n n
3
1
313121
2
12122++++++ΛΛ。 2、设∞
→n lim n a = a ，∞
→n lim n b = b ，且aN 时有n a 3、设{n a }为无穷小数列，{n b }为有界数列，证明：{n a n b }为无穷小数列。 4、求下列极限： （1）∞ →n lim )) 1(1 321211( +++?+?n n Λ； （2）∞ →n lim )2222(284n Λ ； （3）∞ →n lim )2 122321(2n n -+++ Λ； （4）∞ →n lim n n 11- ； （5）∞ →n lim ))2(1)1(11( 2 22n n n ++++Λ； （6）∞ →n lim )12 11 1( 2 2 2 n n n n ++ +++ +Λ。 5、设{n a }与{n b }中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{n a ±n b }是发散数列，又问{n a n b }和{ n b a }（n b ≠0）是否必为发散数列 6、证明以下数列发散： （1）{1)1(+-n n n }；（2）{n n )1(-}；（3）{4 cos πn }。 7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{12-k a }和{k a 2}都收敛，则{n a }收敛； （2）若{23-k a }，{13-k a }和{k a 3}都收敛，且有相同极限，则{n a }收敛 8、求下列极限： （1）∞ →n lim n n 21 24321-Λ ； （2）∞ →n lim ! ! 1 n p n p ∑=； （3）∞ →n lim 10],)1[(<<-+αα α n n ； （4）∞ →n lim 1||),1()1)(1(22<+++ααααn Λ。 9、设m a a a ,,,21Λ为m 个正数，证明： ∞ →n lim n n m n n a a a Λ++21=max{m a a a ,,,21Λ}。 10、设∞ →n lim n a = a 。证明： （1）∞ →n lim n na n ] [= a ； （2）若a>0，n a >0，则∞ →n lim n n a =1。 §3数列极限存在的条件 1、利用∞ →n lim n n )11(+ = e 求下列极限： （1）∞→n lim n n )1 1(-； （2）∞→n lim 1 )11(++n n ； （3）∞→n lim n n )111(++ ； （4）∞→n lim n n )21 1(+； （5）∞→n lim n n )11(2+。 2、试问下面的解题方法是否正确： 求∞ →n lim n 2。 解：设n a =n 2及lim n a = a 。由于n a = 21-n a ，两边取极限（n →∞）得a = 2 a ，所 以a = 0。 3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设1a =2，1+n a =n a 2，n=1，2，…； （2）设1a =c （c>0），1+n a =n a c +，n=1，2，…； （3）n a =! n c n （c>0），n=1，2，…。 4、利用{n n )11(+ }为递增数列的结论，证明{n n )1 11(++}为递增数列。 5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{n a }收敛： （1）n a = n n 2sin 22sin 21sin 2+++Λ； （2）n a =2221 31211n ++++Λ。 6、证明：若单调数列{n a }含有一个收敛子列，则{n a }收敛： 7、证明：若n a >0，且∞ →n lim 1 +n n a a =l>1，则∞→n lim n a =0。 8、证明：若{n a }为递增（递减）有界数列，则 ∞ →n lim n a =sup{n a }（inf{n a }）。 又问逆命题成立否 9、利用不等式1 +n b -1 +n a >（n+1）n a （b-a ），b>a>0 证明：{1)11(++ n n }为递减数列，并由此推出{n n )1 1(+}为有界数列。 10、证明：|e-n n )11(+| 3 。 提示：利用上题可知e<1)11(++n n ；又易证1)11(++n n n )11(+。 11、给定两正数1a 与1b （1a >1b ），作出其等差中项2a = 2 1 1b a +与等比中项112b a b =，一般地令 2 1n n n b a a += +，n n n b a b =+1，n=1，2，…。 证明：lim n a 与lim n b 皆存在且相等。 12、设{n a }为有界数列，记 - n a =sup{n a ，1+n a ，…}，- n a =inf{n a ，1+n a ，…}。 证明：（1）对任何正整数n ，- n a ≥- n a ； （2）{- n a }为递减有界数列，{- n a }为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有- n a ≥- m a ； （3）设- n a 和- n a 分别是{- n a }和{- n a }的极限，则- a ≥- a ； （4）{n a }收敛的充要条件是- a =- a 。 总练习题 1、求下列数列的极限： （1）∞ →n lim n n n 33 +； （2）∞→n lim n e n 5 ；（3）∞ →n lim )122(n n n ++-+。 2、证明： （1）∞ →n lim n q n 2 =0（|q|<1）；（2）∞ →n lim a n n lg =0（a ≥1）；（3）∞→n lim n n !1=0。 3、设∞ →n lim n a = a ，证明： （1）∞ →n lim n a a a n +++Λ21= a （又问由此等式能否反过来推出∞→n lim n a = a ）； （2）若n a >0（n=1，2，…），则∞ →n lim n n a a a Λ21= a 。 4、应用上题的结论证明下列各题： （1）∞ →n lim n n 1 31211++++ Λ=0；（2）∞→n lim n a =1（a>0）； （3）∞ →n lim n n =1； （4）∞→n lim n n ! 1=0； （5）∞→n lim n n n ! = e ； （6）∞→n lim n n ++++Λ321=1； （7）若∞ →n lim n n b b 1 += a （n b >0），则∞→n lim n n b = a ； （8）若∞ →n lim （n a -1-n a ）= d ，则∞ →n lim n a n = d 。 5、证明：若{n a }为递增数列，{n b }为递减数列，且∞ →n lim （n a -n b ）=0， 则∞ →n lim n a 与∞ →n lim n b 都存在且相等。 6、设数列{n a }满足：存在正数M ，对一切n 有 ||||||12312--++-+-=n n n a a a a a a A Λ≤M 。 证明：数列{n a }与{n A }都收敛。 7、设a>0，σ>0，1a = )(21a a σ +，)(211n n n a a a σ+=+，n=1，2，…。 证明：数列{n a }收敛，且其极限为σ。 8、设1a >1b >0，记 n a = 2 1 1--+n n b a ，n b =11112----+n n n n b a b a ，n=2，3，…。 证明：数列{n a }与{n b }的极限都存在且等于11b a 。 9、按柯西收敛准则叙述数列{n a }发散的充要条件，并用它证明下列数列{n a }是发散的： （1）n a =n n )1(-；（2）n a =2sin πn ；（3）n a =n 1211+++Λ。 10、设∞ →n lim n a = a ，∞ →n lim n b = b 。记 n S = max{n a ，n b }，n T = min{n a ，n b }，n=1，2，…。 证明：（1）∞ →n lim n S = max{ a ，b }；（2）∞ →n lim n T = min{ a ，b }。 提示：参考第一章总练习题1。 习题答案 §1数列极限概念 3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列； （4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。 §2收敛数列的性质 1、（1） 41；（2）0；（3）31；（4）2 1 ；（5）10；（6）2。 4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明 n n 21 24321-Λ <1 21+n ）； （2）1（提示：!)!1(2!)!1()!2)(2(!!1 n n n n n n p n n p +-<+-+--<< ∑=） ； （3）0（提示：先证明0<1 )1(-≤-+αααn n n ）； （4）α -11（提示：记n n p 22)1()1)(1(ααα+++=Λ，则1 21)1(+-=-n n p αα）。 §3数列极限存在的条件 1、（1）e 1；（2）e ；（3）e ；（4）e ；1。 3、（1）2；（2）2 1 )411(c ++；（3）0。 总练习题 1、（1）3；（2）0；（3）0。 典型习题解答 1、（§1第2（1）题）按ε—N 定义证明：∞ →n lim 1 +n n =1 证明：由于| 1+n n -1|=11+n 1]+1，则当n>N 时，|1+n n |<ε，所以∞→n lim 1 +n n =1。 2、（§1第4题）证明：若∞ →n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞ →n lim k n a += a 。 证明：若∞ →n lim n a = a ，则由定义知：任给0>ε，存在N ，当n>N 时，|n a - a|<ε。 于是当n>N 时，n+k>n>N ，所以|k n a +-a|<ε，故∞ →n lim k n a += a 。 3、（§2第1（4）题）∞ →n lim )(2n n n -+。 解：∞ →n lim )(2n n n -+=∞ →n lim n n n n ++2= 11 11++n = 2 1。 4、（§2第2题）设∞ →n lim n a = a ，∞ →n lim n b = b ，且aN 时有n a 证明：取0ε= 2 1 （b-a ）> 0，根据两个已知极限分别存在的1N 、2N ， 当n>1N 时，|n a - a|<0ε，从而n a < a +0ε=21 （a + b ）； 当n>2N 时，|n b - b|<0ε，从而n b > b -0ε=21 （a + b ）。 取N = max{1N ，2N }，当n>N 时，必有n a <2 1 （a + b ） 因此当n>N 时有n a →n lim n n 1 1- 。 解：当n>2时， 21<1-n 1 <1，且∞→n lim n 21 =∞ →n lim n 1=1。 故由迫敛性定理知，∞ →n lim n n 1 1- =1。 6、（§3第3（1）题）证明下列数列 设1a =2，1+n a =n a 2，n=1，2，…； 极限存在并求其值。 证明：已知1a =2<2，设n a <2，则1+n a =n a 2<2，所以{n a }有上界2； 而 n n a a 1+=n a 2 >1（n a <2），于是{n a }是递增且有上界的数列。 由单调有界定理知{n a }极限存在。设其为a ，对等式1+n a =n a 2两边取极限有 2a =2a ，解之得1a =0（舍去），2a =2，故∞ →n lim n a =2。