知识讲解_参数方程_基础
参数方程
编稿：张林娟审稿：孙永钊
【学习目标】
1．掌握参数方程的概念，并通过具体案例体会一些特殊曲线其参数方程中参数的几何意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
3．掌握参数方程与普通方程的互化方法，并通过实例进行比较，进一步体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．
4．通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线，变幅渐开线，外摆线，内摆线，换摆线）的生成过程；了解摆线在实际中的应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨迹中的作用。 【要点梳理】 要点一：参数方程 参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数，即()
...........()x f t y g t =??
=?
① 并且对于t 的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x ,间的关系的变数t 叫做参变数（简称参数）．
相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y =，叫做曲线的普通方程。 要点诠释：
（1）参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．
（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系。 求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M （x ，y ）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：
（1）曲线上每一点的坐标（x ，y ）都能由参数取某一值唯一地确定出来；
例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．
（2）曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释：
普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程
等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．
要点二：直线和曲线的参数方程 1．直线的参数方程：
标准式：经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程是：
00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
（t 为参数） 一般式：经过点()000M x y ，，斜率=tan
=
b
k a
α的直线的参数方程是： 00=+=+.x x at y y bt ??
?
，
（t 为参数）② 要点注释：
（1）标准式中参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M (x ,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。 （2）在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若22=1a b +，②即为标准式. 2．圆的参数方程定义：
已知圆心为(,)a b ，半径为r 的圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为：
cos sin x a r y b r θ
θ=+??
=+?
（θ是参数，R θ∈）； 要点注释：参数θ表示x 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。如图：
（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径． 3．椭圆的参数方程
椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的参数方程为：
cos sin x a y b θ
θ
=??
=?（θ为参数）。 要点注释：参数θ表示椭圆上某一点的离心角．如图所示，点P 对应的离心角为QOx θ=∠（过P 作PQ x ⊥轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q ），切不可认为是POx θ=∠。
4．双曲线的参数方程
双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）的参数方程为：
sec tan x a y b θθ
=??
=?（θ为参数，[0,2)θπ∈且3,22ππθθ≠≠）。（注：1
sec cos θθ=） 要点注释：参数θ表示双曲线上某一点的离心角。 3．抛物线的参数方程
抛物线2
2y px =(0p >)的参数方程为：
2
22x pt y pt
?=?
=?（t 是参数） 要点注释：参数t 表示抛物线上一点（除顶点）与其顶点O 连线的斜率的倒数，即1
OP
t k =。 要点三：参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程
（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．
例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ
???=+ ?????
????=- ?????
如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；
如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．
③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等． 要点诠释：
注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
2、普通方程化为参数方程
（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。
（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。 要点诠释：
互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x ,y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。 要点四：直线与圆锥曲线相交的几种题型 （1）有关弦长最值题型
过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。则A 、B 两点分别用参变量t 1、t 2表示。 一般情况A 、B 都在定点两侧，t 1、t 2符号相反，故|AB |=| t 1-t 2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。 （2）有关相交弦中点、中点轨迹的题型
直线标准参数方程和曲线两交点A (t 1)、B (t 2)的中点坐标相应的参数12
=
2
t t t +中；若定点恰为AB 为中点，则t 1+t 2=0 ． 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。 （3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型
若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t 1、t 2． 则|F P |·|FQ|=| t 1·t 2|，
由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好．
【典型例题】
类型一、求曲线的参数方程
例1．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【思路点拨】从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。 【解析】
设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k≠０）
)2(1
4221--=-⊥x k
y l ，l l 的方程为则直线由
，，A x l )0k 4
2
(1-∴的坐标为轴交点与
，k
，B y l )2
40(2+的坐标为轴交点与
∵M 为AB 的中点，
)(1222421242为参数k k k y k k x ????
?????
+=+
=-=-=∴
消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。 【总结升华】
（1）本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程。
（2）用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响． 举一反三：
【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为60
π
rad ／s ．试以时间t 为参数，建立质
点运动轨迹的参数方程．
【答案】如图所示，在运动开始时质点位于点A 处，此时t =0． 设动点M （x ，y ）对应时刻t ， 由图可知2cos 2sin x y θ
θ
=??=?，
又60
t π
θ=
（t 以s 为单位）
， 得参数方程2cos 60
(0)2sin 60x t t y t
ππ?
=??≥?
?=??
．
【变式2】过原点作直线l 和抛物线642
+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【答案】由题意分析知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程y=k x 。把它代入抛物线方程，
得。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得)
,624()624,(+∞+-?---∞∈x 。
设A （），B （），M （x ，y ），
由韦达定理得
。
由424+2
k x k k y +?=????=??2
消去k 得2
24y x x =-。 又
，所以),6()6,(+∞?--∞∈x 。
∴点M 的轨迹方程为),6()6,(,422
+∞?--∞∈-=x x x y 。
【变式3】设飞机以匀速v=150m ／s 做水平飞行，若在飞行高度h=588 m 处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度）， （1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标．
【答案】（1）如图所示，A 为投弹点，坐标为（0，588），B 为目标，坐标为（x 0，0）．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t =0．设M （x ，y ）为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t ．炸弹初速度v 0=150 m ／s ，用物理学知识，分别计
算水平、竖直方向上的路程，得022
1588(9.8m / s )2
x v t
y gt g =??
?=-=??， 即2
150588 4.9x t
y t =??=-?
． 这是炸弹飞行曲线的参数方程．
（2）炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y=0，
即2
0588 4.90t -=，解得0230t =．
由此得01501643(m)x =?=≈．
即飞机在离目标1643m （水平距离）处投弹才能击中目标． 类型二、参数方程与普通方程互化 例2．把下列参数方程化为普通方程： （1）3cos 0,3sin 2x y θπθθθ=???
≤≤?
?=?
??为参数； （2）?
??+==θθ
2cos 2sin y x (R θ∈，θ为参数)；
（3）???
????+=+-=t t y t t x 1211 (1t ≠-,t 为参数) ．
【思路点拨】
（1）利用三角恒等式进行消参；
（2）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把t 用x 表示，反解出()t f x =后再代入另一表达式即可消参． 【解析】
（1）∵02π
θ≤≤，∴0303x y ≤≤??≤≤?
．
22229cos 9sin 9x y θθ+=+=，
即x 2+y 2=9（0≤x ≤3，0≤y≤3）。
（2）∵2
2
2cos2212sin 32sin y y θθθ=+?=+-=-，
把sin x θ=代入得2
32y x =-
又∵|sin |1θ≤,|cos 2|1θ≤,∴||1x ≤,13y ≤≤, ∴所求方程为2
23y x =-+(11x -≤≤,13y ≤≤) (3)法一：1211111t t t
x y t t t -++=
+==+++, 又2(1)21111t x t t -+==-≠-++，2(1)222211t y t t
+-==-≠++,
∴所求方程为10x y +-=(1x ≠-,2y ≠)．
法二：由11t x t -=
+得11
x
t x -=+, 代入21t
y t =+得1222(1)11111111x
t x x y x x t x x x
-?
-+====--+++-++,
∴10x y +-=(1x ≠-,2y ≠)．
【总结升华】
（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 （2）消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x 、y 的范围．
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法．
举一反三：
【高清课堂：曲线的参数方程406450例题1】
【变式1】将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型． （1）2cos (2)2sin x t
t y t
ππ=?≤≤?
=?；
（2）315cos (02)215sin x y θ
θπθ
=+?≤≤?
=+?；
（3）3cos ()2sin x y θθθ=??=?
为参数．
【答案】
（1）∵π≤t ≤2π，∴－2≤x ≤2，－2≤y≤0．
∴x 2+y 2=4（－2≤x ≤2，－2≤y≤0），即下半圆． （2）∵(x ―3)2+(y―2)2=152cos 2θ+152sin 2θ=152，
∴(x ―3)2+(y―2)2=225，
它是以（3，2）为圆心，以15为半径的圆．
（3）22
22
cos sin 132x y θθ????+=+= ? ?????
，∴22194x y +=， 它是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．
【变式2】将参数方程?
??αα cos ＝－1
－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋2y ＋1＝0
C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)
D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)
【答案】D ．
将cos α＝－y 代入x =2cos α－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0，
又因为－1≤cos α≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 【变式3】化下列参数方程为普通方程。
（1
）1)
x y ?=-??=??(t 为参数) ；（2）???
????+=+=22
t 1t 2y t 12x （t 为参数）．
【答案】 （1
）由1)y =
1=
+，
代入x =化简得2
22y x =-+．
∵0t ≥,
∴2
1)11x t =-+=-+≤
,1)y =
≥
故所求方程为2
22y x =-+（1x ≤
，y ≥
（2）两个式子相除得y
t x
=，代入221x t =+得222
22
221x x y x y x
=
=++，即22
2x y x +=． ∵2
2
01x t =
>+， 故所求方程为2
2
2x y x +=(0x >)． 【变式4】曲线25()12x t
t y t
=-+??
=-?为参数与坐标轴的交点是（）
A ．2
1(0,)(,0)52
、B ．11(0,)(,0)5
2
、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9
、 【答案】B
当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)2
类型三、直线和曲线的参数方程
【高清课堂：直线的参数方程406451例题1】
例3．设直线的参数方程为53104x t
y t =+??=-?
（1）求直线的直角坐标方程； （2）化参数方程为标准形式．
【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t 的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y 值中t 的系数一定为正．
【解析】（1）把
5
3
x
t
-
=代入y的表达式，
得
4(5)
10
3
x
y
-
=-，
化简得4x+3y－50=0．
所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．（2）把方程变形为
3
55(5)
5
4
1010(5)
5
x t
y t
?
==+?
?
?
?
?==-?
??
令u=－5t，则方程变为
3
5
5
4
10
5
x u
y u
?
=-
??
?
?=+
??
．
记
3
cos
5
α=-，
4
sin
5
α=，
∴直线参数方程的标准形式是：
5cos
10sin
x u
y u
α
α
=+
?
?
=+
?
【总结升华】已知直线的参数方程为0
x x at
y y bt
=+
?
?
=+
?
（t为参数），由直线的参数方程的标准形式0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
=+
?
?
=+
?
可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1
，故可将原式转化为
x x
y y
?
=
?
?
?
?=+
??
再令cosα=
，sinα=，由直线倾斜角的范围，使α在[0，π）范围内取值，
看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
=+
?
?
=+
?
（t为参数）．由
具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。
举一反三：
【变式1】直线l的参数方程为
sin203
cos20
x t
y t
=?+
?
?
=-?
?
（t为参数），求直线的倾斜角．
【答案】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
把参数方程改写成
3sin20
cos20
x t
y t
-=?
?
?
-=?
?
，
消去t ，有(3)cot 20y x =--?，
即(3)tan110y x =-?，所以直线的倾斜角为110°．
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程3()cos110()sin110x t y t =+-?
??
=-??
，
令－t =t ＇，则3'cos110'sin110x t y t =+?
??
=?
?，所以直线的倾斜角为110°．
【变式2】直线的参数方程??
?+=+= t
331y t
x 能否化为标准形式？
【答案】是可以的，只需作参数t 的代换．(构造勾股数，实现标准化)
???+=+= t 331y
t x ????
?
???
+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(1112222222
2t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式???
????'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量．
【变式3】设直线1l 过点A （2，－4），倾斜角为5
6
π． （1）求1l 的参数方程；
（2）设直线2:10l x y -+=，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离．
【答案】（1）直线的参数方程为52cos 654sin 6x t y t ππ?=+????=-+??，即3
22142
x t y t
?=-????=-+??（t 为参数）．
（2）如图所示，B 点在1l 上，只要求出B 点对应的参数值t ，则|t |就是B 到A 的距离． 把1l 的参数方程代入2l 的方程中， 得3124102t t ?
???-
--++= ? ? ?????， ∴
31
7t +=， ∴7(31)31
t =
=++．
由t
为正值，知||1)AB =．
例4．已知圆的方程是2
2
2690x y x y ++-+=，将它表示为圆的参数方程形式。
【思路点拨】将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式22cos sin 1θθ+=进行三角代换转化为参数方程。
【解析】配方得圆的标准方程2
2
(1)(3)1x y ++-=
令???θ=-θ=+sin 3cos 1y x ，得圆的参数方程为?
??θ+=θ
+-=sin 3cos 1y x （θ为参数）．
【总结升华】圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用22cos sin 1θθ+=进行三角代换。 举一反三：
【变式1】已知圆的方程为x 2+y 2=2x ，写出它的参数方程． 【答案】x 2+y 2=2x 的标准方程为(x －1)2+y 2=1， 设x －1=cos θ，y=sin θ， 则1cos sin x y θ
θ
=+??
=?（0≤θ＜2π），（θ为参数）
即为所求的参数方程．
【变式2】已知椭圆的方程为
22
1925
x y +=，将它表示为椭圆的参数方程形式。 【答案】变形得22()()135x y +=，令
cos 3x θ=，sin 5
y
θ= 得椭圆的参数方程为3cos 5sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数）．
【变式3】已知椭圆的参数方程为???θ=θ
=sin 13cos 5y x （θ为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率．
【答案】把???θ
=θ=sin 13cos 5y x 消去参数θ得
22
125169x y += ∴13a =,5b =,得12c =．
∴1312==a c e ,2169
12a c
=． 即：椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为
13
12
．
【变式4】若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?
=?为参数上，则PF 等于（） A ．2B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C
抛物线为2
4y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4
【变式4】圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+??=-?为参数，则此圆的半径为_______________。
【答案】5．
由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+??
=-?得22
25x y +=，故半径为5．
类型四、参数方程的应用
例5．已知实数x , y 满足032222=-++y x y x ,求: （1）x 2+y 2的最大值； （2）x +y 的最小值．
【思路点拨】充分利用圆的参数方程
【解析】原方程配方得4)3()1(2
2=-++y x ，表示以)3,1(-为圆心，2为半径的圆．
用参数方程表示为:?????θ
+=θ
+-=sin 23cos 21y x （θ为参数，0≤θ＜2π）．
（1）)cos sin 3(48)sin 23()cos 21(2
222θ-θ+=θ++θ+-=+y x )6
sin(88π-
θ+= ∴当26π=π-
θ，即3
2π
=
θ时，(x 2+y 2)ma x =16． （2）)4
sin(2213)cos (sin 213π
+θ+-=θ+θ+-=
+y x
∴当234ππθ=+，即4
5π
=θ
时，min ()1x y +=-
【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。 举一反三：
【变式1】已知点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。 【答案】
（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ
=??
=+?，
22cos sin 15sin()1x y θθθ?+=++=++ 51251x y ∴-+≤+≤+
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(cos sin )12sin()14
a π
θθθ∴≥-+-=-+-
21a ∴≥--
【变式2】点P(x,y)是椭圆2
2
2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为_________。 【答案】22。
椭圆为22
164
x y +=，设(6cos ,2sin )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθ?+=+=+≤．
【变式3】点P 在椭圆
22
1169
x y +=上，利用参数方程求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。 【答案】设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即122cos()24
4
d π
θ+-=，
当cos()14
π
θ+=-时，max 12
(22)5d =+； 当cos()14
π
θ+
=时，min
12
(22)5
d =-。 【变式4】在椭圆
22
12516x y +=中作内接矩形，求内接矩形的最大面积． 【答案】如图，设椭圆
22
12516
x y +=的内接矩形在第一象限的顶点是 A （5cos ,4sin αα）（02
π
α<<
），矩形的面积是S 。
45cos 4sin 40sin 240ααα??=≤，当且仅当4
π
α=
时，max 40S =。
所以内接矩形的最大面积为40．
例6．经过点33,2A ?
?-- ???
，倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2=25相交于B 、C 两点． （1）求弦B C 的长；
（2）当A 恰为B C 的中点时，求直线B C 的方程； （3）当|B C|=8时，求直线B C 的方程；
（4）当α变化时，求动弦B C 的中点M 的轨迹方程．
【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算． 【解析】取AP =t 为参数（P 为l 上的动点），
则l 的参数方程为3cos 3
sin 2
x t y t αα=-+??
?=-+?? 代入x 2+y 2=25，整理得
255
3(2cos sin )04
t t αα-+-
=． ∵Δ=9(2cos α+sin α)2+55＞0恒成立．
∴方程必有相异两实根t 1、t 2，且t 1+t 2=3(2cos α+sin α），1255
4
t t ?=-
． （1）2
2
121212||||()49(2cos sin )55BC t t t t t t αα=-=+-=++ （2）∵A 为B C 中点，∴t 1+t 2=0， 即2cos α+sin α=0，∴t an α=－2．． 故直线B C 的方程为3
2(3)2
y x +=-+， 即4x +2y+15=0．
（3）∵2||9(2cos sin )558BC αα=++=， ∴(2cos α+sin α)2=1，∴cos α=0或3tan 4
α=-． ∴直线B C 的方程是x =－3或3x +4y+15=0． （4）∵B C 的中点M 对应的参数是123
(2cos sin )22
t t t αα+==+， ∴点M 的轨迹方程为
33sin (2cos sin )2
33sin (2cos sin )22
x y αααααα?
=-++???
?=-++??(0)απ≤<， ∴331cos 2sin 2222331sin 2cos 2422x y αααα???
+=+ ????????
?+=- ?????
．
∴22
33452416x y ?
???+++= ? ?????
．
即点M 的轨迹是以33,24??
-
- ???
为半径的圆．
【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便．
举一反三：
【变式1
】直线112()2
x t t y t ?
=+??
?
?=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B
．( C
．3)- D
．(3, 【答案】
D
221(1)()1622t t ++-=，得2880t t --=，12128,42
t t
t t ++==
中点为1143
242
x x y y ?
=+??=??????=?
??=-+??【变式2
】求直线2x t y =+???=??（t 为参数）被双曲线22
1x y -=截得的弦长。
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程为参数）（ 23 212t t y t x ???
?
???
=+=
1 23 21212
2
2
2=???
? ??-??? ??+=-t t y x ，得：代入 06 4 2=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=?=+t t t t ，
()()10240644 4 22122121==--=
-+=
-=t t t t t t AB 从而弦长为
【变式3】过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t
t y t t ?
=+????=-
??
为参数相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
【答案】直线的参数方程为32(12
x s s y s
?=--????=??为参数）曲线1(1x t t t y t t ?=+????=-??为参数）可以化为224x y -=．
将直线的参数方程代入上式，得2
100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，
∴
121210
s s s s +==．
AB
12s s =-=
＝．
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0. 2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是?? ?+=+=? ? sin cos r b y r a x (φ是
网络基础知识培训资料
网络基础知识 .什么是局域网： 局部区域网络( )通常简称为"局域网",缩写为。局域网是结构复杂程度最低的计算机网络。局域网仅是在同一地点上经网络连在一起的一组计算机。局域网通常挨得很近，它是目前应用最广泛的一类网络。通常将具有如下特征的网称为局域网。 ）网络所覆盖的地理范围比较小。通常不超过几十公里，甚至只在一幢建筑或一个房间内。 ）信息的传输速率比较高,其范围自到,近来已达到。而广域网运行时的传输率一般为、或者、。专用线路也只能达到。 ）网络的经营权和管理权属于某个单位。 .什么是广域网： 广域网( , )它是影响广泛的复杂网络系统。 由两个以上的构成，这些间的连接可以穿越*以上的距离。大型的可以由各大洲的许多和组成。最广为人知的就是，它由全球成千上万的和组成。 有时、和间的边界非常不明显，很难确定在何处终止、或在何处开始。但是可以通过四种网络特性通信介质、协议、拓扑以及私有网和公共网间的边界点来确定网络的类型。通信介质是指用来连接计算机和网络的电缆、光纤电缆、无线电波或微波。通常结束在通信介质改变的地方，如从基于电线的电缆转变为光纤。电线电缆的通常通过光纤电缆与其他的连接。 .什么是网桥： 网桥这种设备看上去有点像中继器。它具有单个的输入端口和输出端口。它与中继器的不同之处就在于它能够解析它收发的数据。网桥属于模型的数据链路层；数据链路层能够进行流控制、纠错处理以及地址分配。网桥能够解析它所接受的帧，并能指导如何把数据传送到目的地。特别是它能够读取目标地址信息（），并决定是否向网络的其他段转发（重发）数据包，而且，如果数据包的目标地址与源地址位于同一段，就可以把它过滤掉。当节点通过网桥传输数据时，网桥就会根据已知的地址和它们在网络中的位置建立过滤数据库（也就是人们熟知的转发表）。网桥利用过滤数据库来决定是转发数据包还是把它过滤掉. .什么是网关： 网关不能完全归为一种网络硬件。用概括性的术语来讲，它们应该是能够连接不同网络的软件和硬件的结合产品。特别地，它们可以使用不同的格式、通信协议或结构连接起两个系统。和本章前面讨论的不一样，网关实际上通过重新封装信息以使它们能被另一个系统读取。为了完成这项任务，网关必须能运行在模型的几个层上。网关必须同应用通信，建立和管理会话，传输已经编码的数据，并解析逻辑和物理地址数据。
极坐标和参数方程基础知识及重点题型word版本
高中数学回归课本校本教材24 （一）基础知识 参数极坐标 1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2.常见的曲线的极坐标方程 （1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系： 正弦定理 sin sin OP OM OMP OPM =∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理； （3）圆锥曲线极坐标：1cos ep e ρθ = -，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01 e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程3 24cos ρθ =-表示的曲线 是 双曲线 3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22 221x y a b +=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ== （3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00 cos sin x x y y t θθ --==， 即00cos sin x x t y y t α α =+?? =+?注：0cos x x t θ-= ，0 sin y y t θ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP u u u r 的数量00000()00. t l M M x y M M M M M M t M M t >? =?=抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．
(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结(可编辑修改word版)
?y ' = ? y,(> 0). 0 ? 极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点 P (x , y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 : ?x ' = ? x,(> 0), 的作用下，点 P (x , y ) 对应到点 P '(x ', y ') ，称伸缩变换 ? 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点， 表示 OM 的长度，是∠MOx ，则有序实数实 数对(,) , 叫极径，叫极角；一般地，∈[0, 2) ， ≥ 0 。，点 P 的直角坐标、 极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) ?x = cos ? ?2 = x 2 + y 2 ? 2、直角坐标? 极坐标 y = sin 2、极坐标? 直角坐标?tan = y (x ≠ 0) ? ?? x 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点 M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为 M (ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方 程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ 2－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 ?x = f (t ), 坐标 x , y 都是某个变数t 的函数? y = g (t ), 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点 M (x , y ) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x , y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 x = x 0 + t cos 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： （t 为参数） y = y 0 + t sin （1） 其中参数 t 的几何意义：点 P （x 0，y 0），点 M 对应的参数为t ，则 PM =|t| (2)直线上 P 1 , P 2 对应的参数是t 1, t 2 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2.
网络信息安全基础知识培训
网络信息安全基础知识培训 主要内容 网络信息安全知识包括哪些内容 培养良好的上网习惯 如何防范电脑病毒 如何安装杀毒软件 如何防范邮件病毒 如何防止QQ密码被盗 如何清除浏览器中的不明网址 各单位二级站点的安全管理 如何提高操作系统的安全性 基本网络故障排查 网络信息安全知识 包括哪些基本内容 (一)网络安全概述 (二)网络安全协议基础 (三)网络安全编程基础 (四)网络扫描与网络监听 (五)网络入侵 (六)密码学与信息加密 (七)防火墙与入侵检测 (八)网络安全方案设计 (九)安全审计与日志分析 培养良好的上网习惯 １、安装杀毒软件 ２、要对安装的杀毒软件进行定期的升级和查杀 ３、及时安装系统补丁 ４、最好下网并关机 ５、尽量少使用BT下载，同时下载项目不要太多 ６、不要频繁下载安装免费的新软件 ７、玩游戏时，不要使用外挂
８、不要使用黑客软件 ９、一旦出现了网络故障，首先从自身查起，扫描本机 如何防范电脑病毒 （一）杜绝传染渠道 病毒的传染主要的两种方式：一是网络，二是软盘与光盘 建议： 1、不使用盗版或来历不明的软件，建议不要使用盗版的杀毒软件 2、写保护所有系统盘，绝不把用户数据写到系统盘上 3、安装真正有效的防毒软件，并经常进行升级 4、对外来程序要使用尽可能多的查毒软件进行检查（包括从硬盘、软盘、局域网、Internet、Email中获得的程序），未经检查的可执行文件不能拷入硬盘，更不能使用 5、尽量不要使用软盘启动计算机 6、一定要将硬盘引导区和主引导扇区备份下来并经常对重要数据进行备份，防患于未然 7、随时注意计算机的各种异常现象 8、对于软盘、光盘传染的病毒，预防的方法就是不要随便打开程序或安装软件、可以先复制到硬盘上，接着用杀毒软件检查一遍，再执行安装或打开命令 9、在使用聊天工具（如QQ、MSN）时，对于一些来历不明的连接不要随意点击；来历不明的文件不要轻易接收 （二）平时的积极预防，定期的查毒，杀毒 （三）发现病毒之后的解决办法 1、在解毒之前，要先备份重要的数据文件 2、启动反病毒软件，并对整个硬盘进行扫描 3、发现病毒后，我们一般应利用反病毒软件清除文件中的病毒，如果可执行文件中的病毒不能被清除，一般应将其删除，然后重新安装相应的应用程序 4、某些病毒在Windows状态下无法完全清除，此时我们应采用事先准备的干净的系统引导盘引导系统，然后在DOS下运行相关杀毒软件进行清除 备注：可以随时随地防护任何病毒反病毒软件是不存在的、随着各种新病毒的不断出现，反病毒软件必须快速升级才能达到杀除病毒的目的、具体来说，我们在对抗病毒时需要的是一种安全策略和一个完善的反病
网络信息安全基础知识培训学习
主要内容 网络信息安全知识包括哪些内容 培养良好的上网习惯 如何防范电脑病毒 如何安装杀毒软件 如何防范邮件病毒 如何防止QQ密码被盗 如何清除浏览器中的不明网址 各单位二级站点的安全管理 如何提高操作系统的安全性 基本网络故障排查 网络信息安全知识包括哪些基本内容 (一)网络安全概述 (二)网络安全协议基础 (三)网络安全编程基础 (四)网络扫描与网络监听 (五)网络入侵 (六)密码学与信息加密 (七)防火墙与入侵检测 (八)网络安全方案设计 (九)安全审计与日志分析 培养良好的上网习惯 １、安装杀毒软件 ２、要对安装的杀毒软件进行定期的升级和查杀
３、及时安装系统补丁 ４、最好下网并关机 ５、尽量少使用BT下载，同时下载项目不要太多 ６、不要频繁下载安装免费的新软件 ７、玩游戏时，不要使用外挂 ８、不要使用黑客软件 ９、一旦出现了网络故障，首先从自身查起，扫描本机 如何防范电脑病毒 （一）杜绝传染渠道 病毒的传染主要的两种方式：一是网络，二是软盘与光盘 建议： 1、不使用盗版或来历不明的软件，建议不要使用盗版的杀毒软件 2、写保护所有系统盘，绝不把用户数据写到系统盘上 3、安装真正有效的防毒软件，并经常进行升级 4、对外来程序要使用尽可能多的查毒软件进行检查（包括从硬盘、软盘、局域网、Internet、Email中获得的程序），未经检查的可执行文件不能拷入硬盘，更不能使用 5、尽量不要使用软盘启动计算机 6、一定要将硬盘引导区和主引导扇区备份下来并经常对重要数据进行备份，防患于未然 7、随时注意计算机的各种异常现象 8、对于软盘、光盘传染的病毒，预防的方法就是不要随便打开程序或安装软件、可以先复制到硬盘上，接着用杀毒软件检查一遍，再执行安装或打开命令 9、在使用聊天工具（如QQ、MSN）时，对于一些来历不明的连接不要随意点击；来历不明的文件不要轻易接收 （二）平时的积极预防，定期的查毒，杀毒 （三）发现病毒之后的解决办法
极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：
网络信息安全基础知识培训
网络信息安全基础知识培训主要内容 网络信息安全知识包括哪些内容 培养良好的上网习惯 如何防范电脑病毒 如何安装杀毒软件 如何防范邮件病毒 如何防止QQ密码被盗 如何清除浏览器中的不明网址 各单位二级站点的安全管理 如何提高操作系统的安全性 基本网络故障排查 网络信息安全知识包括哪些基本内容
(一)网络安全概述 (二)网络安全协议基础 (三)网络安全编程基础 (四)网络扫描与网络监听 (五)网络入侵 (六)密码学与信息加密 (七)防火墙与入侵检测 (八)网络安全方案设计 (九)安全审计与日志分析 培养良好的上网习惯 １、安装杀毒软件 ２、要对安装的杀毒软件进行定期的升级和查杀３、及时安装系统补丁
４、最好下网并关机 ５、尽量少使用BT下载，同时下载项目不要太多 ６、不要频繁下载安装免费的新软件 ７、玩游戏时，不要使用外挂 ８、不要使用黑客软件 ９、一旦出现了网络故障，首先从自身查起，扫描本机 如何防范电脑病毒 （一）杜绝传染渠道 病毒的传染主要的两种方式：一是网络，二是软盘与光盘 建议： 1、不使用盗版或来历不明的软件，建议不要使用盗版的杀毒软件 2、写保护所有系统盘，绝不把用户数据写到系统盘上 3、安装真正有效的防毒软件，并经常进行升级
4、对外来程序要使用尽可能多的查毒软件进行检查（包括从硬盘、软盘、局域网、Internet、Email中获得的程序），未经检查的可执行文件不能拷入硬盘，更不能使用 5、尽量不要使用软盘启动计算机 6、一定要将硬盘引导区和主引导扇区备份下来并经常对重要数据进行备份，防患于未然 7、随时注意计算机的各种异常现象 8、对于软盘、光盘传染的病毒，预防的方法就是不要随便打开程序或安装软件、可以先复制到硬盘上，接着用杀毒软件检查一遍，再执行安装或打开命令 9、在使用聊天工具（如QQ、MSN）时，对于一些来历不明的连接不要随意点击；来历不明的文件不要轻易接收 （二）平时的积极预防，定期的查毒，杀毒 （三）发现病毒之后的解决办法 1、在解毒之前，要先备份重要的数据文件
坐标系与参数方程-知识点总结
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
网络信息安全知识培训
网络信息安全知识培训 网络信息安全知识培训网络信息安全基础知识培训 主要内容 ? 网络信息安全知识包括哪些内容 ? 培养良好的上网习惯 ? 如何防范电脑病毒 ? 如何安装杀毒软件 ? 如何防范邮件病毒 ? 如何防止QQ 密码被盗 ? 如何清除浏览器中的不明网址 ? 各单位二级站点的安全管理 ? 如何提高操作系统的安全性 ? 基本网络故障排查 网络信息安全知识包括哪些基本内容 ? ( 一) 网络安全概述 ? ( 二) 网络安全协议基础 ? ( 三) 网络安全编程基础 ? ( 四) 网络扫描与网络监听 ? ( 五) 网络入侵 ? ( 六) 密码学与信息加密 ? ( 七) 防火墙与入侵检测 ? ( 八) 网络安全方案设计 ? ( 九) 安全审计与日志分析 培养良好的上网习惯 ? １、安装杀毒软件 ? ２、要对安装的杀毒软件进行定期的升级和查杀 ? ３、及时安装系统补丁 ? ４、最好下网并关机 ? ５、尽量少使用BT 下载,同时下载项目不要太多 ? ６、不要频繁下载安装免费的新软件 ? ７、玩游戏时,不要使用外挂 ? ８、不要使用黑客软件 ? ９、一旦出现了网络故障,首先从自身查起,扫描本机 如何防范电脑病毒 （一）杜绝传染渠道 ? 病毒的传染主要的两种方式:一是网络,二是软盘与光盘 ? 建议: ? 1 、不使用盗版或来历不明的软件,建议不要使用盗版的杀毒软件 ? 2 、写保护所有系统盘,绝不把用户数据写到系统盘上 ? 3 、安装真正有效的防毒软件,并经常进行升级 ? 4 、对外来程序要使用尽可能多的查毒软件进行检查（包括从硬盘、软盘、局域网、Internet 、Email 中获得的程序）,未经检查的可执行文件不能拷入硬盘,更不能使用 ? 5 、尽量不要使用软盘启动计算机
高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
极坐标与参数方程基本知识点
极坐标与参数方程基本知识 点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
极坐标与参数方程基本知识点 一、极坐标知识点 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位.
直线的参数方程教案
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA u u u r 为数轴的单位方向向量，OA u u u r 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =u u u u r u u u r ；②当OM u u u u r 与OA u u u r 方向一致时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM u u u u r 与OA u u u r 方向相反时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =u u u u r ．教师用几何画板软件演示上述过程． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结 参数方程和函数很相似，它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。下面数学参数方程知识点总结是为大家整理的，在这里跟大家分享一下。 数学参数方程知识点总结 参数方程定义 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t) 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。 参数方程 圆的参数方程 x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数 椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为
长半轴长b为短半轴长θ为参数 双曲线的参数方程x=asecθ(正 割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为 参数 抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数 直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表 示直线经过(x,y)，且倾斜角为a,t为参数 参数方程的应用 一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数。 圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a 为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数 双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准 线的距离 t为参数
极坐标和参数方程-一轮复习
教学内容 【知识结构】 知识点一：极坐标 1．极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 知识点三：参数方程 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数： ，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 （1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）； 其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）； 其中的几何意义为：若是直线上一点，则。 2．圆的参数方程 （1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。 3. 椭圆的参数方程
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周
高中数学全参数方程知识点大全知识讲解
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
网络基础知识培训讲义
第一章IP基本原理 第一节什么是INTERNET？ Internet概述 Internet网又称国际互连网，它是目前世界上最大的信息网络，通过INTERNET网，我们可以和世界上大多数国家进行交流，检索各种信息资料。我国已连通INTERNET网，并向全社会开放。 INTERNET网是由美国军用计算机网络发展起来的，1968年美国国防部研究局主持研制用于支持军用研究的计算机实验网络（ARPANET）。该网络的设计思想是：要求网络能够经受住故障而维持正常工作。为此，ARPA使用了国际互连协议IP和传输控制协议TCP实现网络互连，1969年ARPANET投入运行，标志着计算机网络的发展进入了一个崭新的纪元。INTERNET 的发展先后经历了三个阶段： 1、1969~1984年，为军用实验阶段。 2、1984~1992年，学术应用阶段。 3、1992~1995年，向商业应用过度阶段。 1995年以后，INTERNET网进入商用阶段。 I NTERNET网是一个“网络的网络”它是以TCP/IP协议把各个国家、各个部门、各种机构的内部网络连接起来的数据通信网，从信息资源的观点看，INTERNET网是一个集各个部门、各个领域内各种信息资源为一体的信息资源网。它提供的价值远远超出了任何一个单独网络。 INTERNET实质是物理网络和信息资源相结合而形成的一个庞大的信息网络实体。具有以下特点： 1.TCP/IP协议是INTERNET网的基础和核心。INTERNET网中，依靠该协议实现各种网络的互连。
2.用户在使用INTERNET网时，并不需要了解网络底层的物理结构，这种透明性使得用户在使用时十分方便。 3.由于INTERNET网也“互连”了公用电话网，因此，对一般用户，只要具备一部电话机、一台微机和一台调制解调器，就可以接入INTERNET网。 4.没有对INTERNET网上的通信进行统一管理的机构，INTERNET网上的许多服务和功能都是由用户来开发、经营和管理的。可以说，从经营管理的角度来讲，INTERNET网是一个用户的网络。 目前，连接到INTERNET网上的大型网络包括有NSINET（美国宇航局NASA的网络）、ESNET （美国能源部的网络）、CREN（由美国BITNET和CSNET合并的网络，提供电子邮件及专题讨论等服务）、UUNET（基于UNIX的UUCP协议）、NCSANET（美国超级计算机网络）、USAN （美国院校卫星网）、EBONE（欧洲骨干网）、SWITH（瑞士院校网）、SUNET（瑞士院校网）、ILAN（以色列科技网）、AARNNT（澳大利亚科研网）等等。我国接入INTERNET网的骨干网是CHINANET（中国公用计算机互连网）。 第二节TCP/IP网络协议 IP协议提供一种全网间网通用的地址格式，并在统一的管理下进行地址分配，使网上的每一台计算机或其他设备都有一个唯一的网间网地址（即IP地址）与它相对应。而原来的物理地址保持不变。这样，物理地址的差异就被IP地址所屏蔽。 IP地址结构与表示 （一）IP地址的结构 IP地址是一种层次结构的地址，它的组成如下： 网络号+主机号 其中，网络号确定计算机所在的网络，主机号确定计算机在该网络中的所处的位置。在INTERNET网中，根据TCP/IP协议规定，每个IP地址是由32bit的二进制数组成的。主要分为三类：