解析几何专题复习.
解析几何单元易错题练习
一．考试内容：
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程
椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .
2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122
2
2=+b x a y （a ＞b ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2
x 项的分母大于2
y 项的分母，
则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：设椭圆方程为122
2
2=+b y a x （a ＞b ＞0）.
⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.
线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
a c
e =
叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接
近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
a c
e =
（e ＜1＝时，这个
动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，1222
2=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2
±=.对于椭圆1222
2=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即
c a y 2
±=. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆
上任一点，则两条焦半径长分别为
ex
a MF +=1，
ex
a MF -=2.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2
a =2
b +2
c 、a c
e =
两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个
独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?
（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：
θαtan tan a b
=
；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122
22=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的
参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?
. 5.椭圆的的内外部
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部22
00221x y a b ?+>.
6. 椭圆的切线方程
椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b +=.
（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y
a b +=.
（3）椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=
双曲线及其标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若
1
MF ＜
2
MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若
1
MF ＞
2
MF 时，轨迹为双曲线的另一
支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要
注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2
x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2
y 项的系数是正数，
则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
双曲线的简单几何性质
双曲线1222
2=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 双曲线1222
2=-b y a x 的渐近线方程为x a b
y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是
x n m
y ±
=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2
222，其中k 是一个不为
零的常数.
双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）
的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122
2
2=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2
-=和c a x 2=.双曲线222
21(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2
2|()|
a PF e x c =-.
双曲线的内外部
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. 点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22
00221x y a b ?-<.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12
222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. 若渐近线方程为x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-222
2b y a x .
若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y
轴上）.
双曲线的切线方程
双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.
（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y
a b -=. （3）双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.
抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：
px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例 （1）范围：x ≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；
（5）准线方程
2p x =-
；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为
（p ＞0）：
221122112:;2:222:;2:22p
p y px PF
x y px PF x p
p
x py PF y x py PF y ==+
=-=-+==+=-=-+
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2
+bx+c=0，当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
4.抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.
5.二次函数2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++
(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为
24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是241
4ac b y a --=.
6.抛物线的内外部 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部2
2(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部
22(0)x py p ?<>. 点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部2
2(0)x py p ?>->.
7. 抛物线的切线方程
抛物线
px y 22
=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线
px y 22
=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线
22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.
(六).两个常见的曲线系方程 过曲线
1(,)0f x y =,
2(,)0
f x y =的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).
共焦点的有心圆锥曲线系方程22
221x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当
22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当
2222
min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，
由方程?
?
?=+=0)y ,x (F b
kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点
00(,)
P x y 成中心对称的曲线是
00(2-,2)0
F x x y y -=.
（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是
22222()2()
(,)0
A Ax By C
B Ax By
C F x y A B A B ++++-
-=++.
四．基本方法和数学思想
椭圆焦半径公式：设P （x0,y0）为椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则
201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）；
双曲线焦半径公式：设P （x0,y0）为双曲线122
22=-b y a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:
（1）当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；
（2）当P 点在左支上时，
201,ex a PF ex a PF -=--=；（e 为离心率）；
另：双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的渐进线方程为022
22=-b y a x ；
抛物线焦半径公式：设P （x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则
20p
x PF +
=；y2=2px(p
＜0)上任意一点，F 为焦点，
20p x PF +
-=；
涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(22
22=-b y a x 为参数，λ≠0）；
计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长
]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=
]4)[()1
1(1
1212212122
y y y y k y y k -+?+
=-?+
=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a b 2
2，焦准距为p=c b 2
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p; 双曲线
122
22=-b y a x （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；
抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）AB
＝x1+x2+p;
（2）y1y2=－p2，x1x2=42p ;
过椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦
)
(221x x e a AB +-=；
对于y2=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（p y 22
，y0）,以简化计算;
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB 的中点，则KABKOM=2
2
a b -；对于双曲线12222=-b y a x （a>0，b>0），类似
可得：KAB.KOM=22
a b ；对于y2=2px(p ≠0)抛物线有KAB ＝21
2y y p +
求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)
又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
（5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1
=+b y a x 。
∵（2，1）在直线上，∴11
2=+b a ， ①
又4ab 21
＝，即ab = 8 ， ②
由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b
a ，而不是21
ab 。
故所求直线方程应为：
x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。 例题2 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k 2，0），
∴
5
124=--
-k ，解得k = -51。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷
阱”。其实x = - 4也符合题意。
例题3 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解：设所求方程为1
=+a y a x ，将（1，1）代入得a = 2，
从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。
剖析：上述错解所设方程为1=+a y
a x ，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0
且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。
例题4 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆的切线有两条，求a 的取值范围。
错解：将圆的方程配方得： ( x + 2a
)2 + ( y + 1 )2 =
4342a -。
∵其圆心坐标为C （－2a
，－1），半径r ＝4342a -。
当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则
AC
＞ r 。
即2
2)
12()21(+++a ＞4342a -。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a ∈R 。
剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC
＞
r ，即a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a2 ＞ 0。
事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a 的取值范围是（332
,332-
）。
例题5 已知直线L ：y = x + b 与曲线C ：y =2
1x -有两个公共点，求实线b 的取值范围。
错解：由?????2
1,
x y b x y -=+=消去x 得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）
∵ L 与曲线C 有两个公共点， ∴ ?= 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－2＜b ＜2
剖析：上述解法忽视了方程y =2
1x -中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。
事实上，曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。
?????????
≥-=>=+>=?0
21022b --y y 0 1)-8(b -4b 2
212
221b y y 解得1≤ b ≤2。
例题6 等腰三角形顶点是A （4，2），底边的一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程。 错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：
AC
=
AB
，即：22)2()4(-+-y x =2
2)52()34(-+-
∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。
这是以A （4，2）为圆心、以为半径的圆。
剖析：因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即B 、C 不能重合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。
事实上，C 点的坐标须满足??
?≠≠53
y x ，且?????≠+≠+225423y x ，
故端点C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠3,y ≠5；x ≠5,y ≠－1)。
它表示以（4，2）为圆心，以10为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。
例题7 求z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件： ???
??≤-+≤≤+3
51y 15
3y 5x y x x
错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。 由于经过B 点且与L0平行的直线与原点的距离最近，
故z = 3 x + 5 y 在B 点取得最小值。解方程组
??
??
?=+=-153535y x y x ，得B 点坐标为（3，0），∴ z 最小＝3?3＋
5?0=9。
由于经过A 点且与L0平行的直线与原点的距离最大， 故z = 3x + 5y 在A 点取得最大值。
解方程组??
?=++=15351y x x y ，得A 点坐标为（23，25）
。 ∴ z 最大＝3?23＋5?25
= 17 。
剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z 取得最大值的点。反之，即为Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。
事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的
右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的
左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在A 点取得最大值，
在C 点取得最小值。
解方程组??
?=-+=351y x x y ，得C （－2，－1）
。
∴ z 最小＝3?（－2）＋5?（－1）= －11。
例题8 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线
c bx x x f ++=2
)(过B ，D 两点 （1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x 解答：（1）设(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠
因为 B,D 在抛物线上 所以
222(2)(2)2(2)(2)s S b S c
S S b S c ?+=-+-+?-=++++?两式相减得
282s s sb =-- 则5b =-代入（1）
得2
244105s s s s c +=-+-++ 2
88c s ∴=-< 故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。 （2）设(,),(,)0B t s t s D t s t s s +--+≠
同上
22()()(1)
()()(2)t s t s b t s c t s t s b t s c ?+=-+-+?-=++++?
（1）-（2）得
12
b t +=-
(3)
（1）+（2）得
22(1)0(4)s b t t c +-++=
（3）代入（4）消去t 得22
2
1(1)0
24b b s c -+=-->
得2(1)44b c --> 又()f x x =即2
(1)0x b x c +-+=的两根12,x x 满足 121x x b +=- 12x x c ?=
222121212||()4(1)44
x x x x x x b c ∴-=+-=-->
故
12||2
x x ->。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
例题9 已知双曲线两焦点12,F F ，其中1
F 为2
1(1)14y x =-++的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲
线上，（1）求点
1
F 的坐标；（2）求点
2
F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线y x t =+与
2
F 的轨
迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
解答：（1）由21
(1)14y x =-++得：
2
(1)4(1)x y +=--，故1(1,0)F - （2）设点2(,)
F x y ，则又双曲线的定义得
1212||||||||||||0
AF AF BF BF -=-≠
又
21||||AF AF ==
22||||
AF BF ∴=
或
2211||||||||F A F B AF BF +=+= ∴ 点
2
F 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆
∴10x += 除去点(1,0),(1,4)--或22
(1)(2)1
84x y +-+=除去点
(1,0),(1,4)-- 图略。
（3）联列：2(1)(2)
184y x t x y =+??
?+-+=??消去y 得
22(1)2(2)8x x t +++-= 整理得：
22
3(46)2810x t x t t +-+-+= 当0=时
得3t =±
从图可知：(,3(3)t ∈-∞-?++∞，
又因为轨迹除去点(1,0),(1,4)-- 所以当直线过点(1,0),(1,4)--时也只有一个交点，即1t =或5
(,3(3){1,5}t ∴∈-∞-?++∞?
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点2
F 的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅
有一个交点误认为方程只有一解。
例题10 已知圆1:221=+y x O ，圆
:2O 09102
2=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解：圆O2：09102
2=+-+x y x ，即为16)5(2
2
=+-y x
所以圆O2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,
而圆
1:2
21=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r
则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O
即3)5(2222=+--+y x y x ，化简得
0649801622=+--y x x 即1449)25(2
2=--y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析：上述解法将||||21M O M O -=3看成3||||||21=-M O M O ,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。
事实上，|3|||21=-M O M O 表示动点M 到定点1O 及2O 的距离差为一常数3。
且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25
(2
2≥=--x y x
例题11 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P 与定点
)
3,45(1P 距离的最值。
错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ，则
,31
||=d PF 即
31
|8|)2(22=
-+-x y x 两边平方、整理得
29)49()45
(2
22y x +-=1 （1） 由此式可得：
2
22)49()921()45(?-=-y x 因为221)3()45(||-+-=y x PP 2
22)3()49
()921(-+?-=y y
161377
)24(812+
+-=y
所以|
|1PP 15343
161377max ==
剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上
述错解在于忽视了2
23
223≤≤-
y 这一取值范围，由以上解题过程知，||1P P 的最值可由二次函数在
区间上的单调性给予解决
即：当
223-
=y 时，223
3||max 1+=PP
例题12 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率e=332
, 过点A （b -,0）和B(a,0)的直线与原点的距离为23
,直线y=kx+m )0,0(≠≠m k 与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆
心的同一圆上，求m 的取值范围。
错解
由已知，有2
2413b e a ???=+=? ?
???
?
?=?? 解之得：
1,322==b a 所以双曲线方程为1
322
=-y x
把直线 y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得：
0336)31(2
22=----m kmx x k 所以0312
2>-+=?k m (1)
设CD 中点为
)
,(00y x P ，则AP ⊥CD ，且易知：
20
2031,313k m
y k km x -=-=
所以
k
k km k m
k AP
1
31313122-
=-+-= 1432
+=?m k (2)
将(2)式代入(1)式得042
>-m m 解得m>4或0 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系， 将 31 42+= m k 代入(1) 式时，m 受k 的制约。 因为02 >k 所以 41- >m 故所求m 的范围应为m>4或0 41 <<-m 例题13 椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23= e ,已知点P （23 , 0）到椭圆上的点最远距离 是7，求这个椭圆的方程。 错解 设所求椭圆方程为)0(122 2 2>>=+b a b y a x 因为222a c a a b -=2112 = -=e ，所以a=2b 于是椭圆方程为1422 2 2=+b y b x 设椭圆上点M （x,y ）到点P ) 23,0( 的距离为d, 则：22 2 )23(-+=y x d 493)1(42222 +-+-=y y b y b 3 4)21(322+++-=b y 所以当 21 - =y 时，有1,7342 max 2==+=b b d 所以所求椭圆方程为1 422 =+y x 剖析 由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x 得b y b ≤≤- 由(1)式知2 d 是y 的二次函数，其对称轴为 21 - =y 上述错解在于没有就对称轴在区间],[b b -内或外进行分类， 其正解应对f(y)=3 4)21 (322+++-b y 的最值情况进行讨论： （1）当 21- ≤-b ，即21≥b 时 3 4)21(2 max 2 +=-=b f d =71=?b ,方程为1422=+y x （2）当b -<- 21, 即 21< b 时， 7)(max 2 =-=b f d ?7 =b 2123>- ，与21 综上所述，所求椭圆方程为1 422 =+y x 例题15 已知双曲线1 22 2 =-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q 则???????=-=- )2(12)1(122 2222 121y x y x （1）)2(-得) )((2121x x x x +-)3())((21 2121y y y y +-= 因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以?? ?=+=+) 5(2) 4(22121y y x x 将(4)、(5)代入（3）得 )(21 2121y y x x -= - 若21x x ≠，则直线l 的斜率 2 2 12 1=--= x x y y k 所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为012=--y x 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由??? ??=--=12122 2y x x y 得03422=+-x x 根据08<-=?,说明所求直线不存在。 例题15 已知椭圆1 34)1(:2 2=+-y x C ，F 为它的右焦点，直线l 过原点交椭圆C 于A 、B 两点。求 ||||FB FA ?是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A 、B 两点坐标分别为),(A A y x 、),(B B y x 因为3,422==b a ， 所以12 2=-=b a c ，4,212 ===c a a c e 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以2 1 5||=-A x FA 即 )5(21||A x FA -= ，同理)5(21||B x FB -= 所以||||FB FA ?) 1(])(525[41 B A B A x x x x ++-= 设直线l 的方程为y=kx ，代入椭圆方程得096)43(2 2=--+x x k 所以=+B A x x 22 439 ,436k x x k B A +-=+ 代入(1)式得| |||FB FA ?)433925(412k +-= 所以 425 ||||3< ?≤FB FA ，所以FB FA ?|||有最小值3,无最大值。 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l 的斜率不存在时， 有| |||FB FA ?4252525=?= 所以FB FA ?||有最小值为 3，最大值为25/4 课后练习题 1、圆x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于2的点共有（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导致错选（ D ）。 事实上，已知圆的方程为： （x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以22为 半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d= 2 1 21+--=2， 这样只需画出（x +1）和直线x + y + 1 = 0以及和如图2所示，图中三个点A 、B 、C 为所求，故应选（C ）。 2、过定点（1，2）作两直线与圆2 2 2 2150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是 A k>2 B -3 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2 2 40D E F +-> 3、设双曲线 22 22 1(0) x y a b a b - =>> 的半焦距为C，直线L过 (,0),(0,) a b两点，已知原点到直线L的距离为 3 C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 23 3 C 2 D 2 3 3 解答：D 易错原因：忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 4、已知二面角 β α- -l的平面角为θ，PAα ⊥，PBβ ⊥，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,，当θ变化时，点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答：D 易错原因：只注意寻找 ,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。 5、若曲线 24 y x =-(2) y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答：C 易错原因：将曲线 24 y x =-224 x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线 y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 6、已知圆 ()3-x2 +y2=4 和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点， 则︱OP︱·︱OQ︱=( ) A 1+m2 B 2 1 5 m + C 5 D 10 正确答案：C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。 7、双曲线9 2 x －4 2 y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 8、已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=51 则方程x 2sin α－y 2 cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=51 判断角α为钝角。 9、过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数x ，y 满足3x2+2y2=6x ，则x2+y2的最大值是( ) A 、29 B 、4 C 、5 D 、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。 11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42 =仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==142kx y x y ，得 ()x kx 412=+， 即：01)42(2 2=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 12、已知动点P （x,y ）满足 |3411|x y =+-，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。 13、在直角坐标系中，方程()( ) 02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。 14、设1F 和2F 为双曲线1422 =-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则 21PF F ?的面积是（ ）。 A.1 B.25 C. 2 D.5 正解：A 1 422 =-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ① 又 9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ② 联立①②解得2||||21=∴ PF PF ∴121=?PF F S 误解：未将4||||||21=-∴ PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出||||21PF PF 。 15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为)0,0(,>>± =b a x a b y ，若双曲线上有一点M （ 0,y x ），使 | |||00x b y a >，那双曲线的交点（ ）。 在x 轴上 B.在y 轴上 C.当b a >时在x 轴上 D.当b a <时在y 轴上 正解：B 。 由 00 a y b x >得 00y b x a >，可设 000,0 x y >>，此时OM 的斜率大于渐近线的斜率，由图像 的性质，可知焦点在y 轴上。所以选B 。 误解：设双曲线方程为22 22x y a b λ-=，化简得： 222222b x a y a b λ-=， 代入 00(,) x y ，22222222 000b x a b a y b x λ-=>，0λ∴>，∴焦点在x 轴上。这个方法没错，但λ确定有误， 应0λ<，∴焦点在y 轴上。 误解：选B ，没有分组。 16、与圆 3)5(22=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、6条 答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C 的两条切线 17、若双曲线12 2 =-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ） A 、21- B 、21 C 、21 ± D 、2± 答案：B 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-?? 解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 解析几何题库 一、选择题 1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.2 2(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.2 2(1) (1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线 1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+= 的距离2d = = ，而012 < <，选B 。 【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2(2)1x y +-= B ．2 2(2)1x y ++= C ．2 2(1) (3)1x y -+-= D ．2 2(3)1x y +-= 解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。 解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2 2(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【答案】A 4.点P （4，－2）与圆2 24x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.2 2(2)(1)1x y -++= B.2 2(2) (1)4x y -++= C.2 2(4) (2)4x y ++-= D.2 2(2) (1)1x y ++-= 【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：? ??+=-=224 2y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2 ＋（2y ＋2）2 ＝4，整理，得：2 2(2) (1)1x y -++= 【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 解析几何专题二 1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP → ＝0， 则双曲线方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 2 9 ＝1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）． 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ） A ． 9 8 B ． 637 C ． 32 4 D ． 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ，且→ → =QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 3 5 ． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴， 西南大学 数学与统计学院 2012级 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___1 6___. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_____40π____________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-， 13(0,,)M M b c =- 圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k 例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。 《解析几何》期末试卷及答案 一、 填空（每题3分，共30分） 1 1=, 2=?，则摄影= 2 。 2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高 为 8 。 3．， = 时+平分，夹角。 4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ? ?? ???32,31,92 。 5．将双曲线?????==-0 1 22 22x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 1222 22=-+c z b y x 。 6．直线???=+++=+++00 22221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为 ?????? ?====00,02 2 1 122 1 1 21A C A C C B C B D D 。 7．空间曲线???=+=-0042 2z x z y 的参数方程为 ?????==-=242t z t y t x 或?? ? ??=-=-=2 4 2t z t y t x 。 8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ???-=-=+) ()()(y w y x u uy z x w ，或 ? ? ?=--=+sy y x t y t z x s )() ()( 。 9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。 10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 02 1 =+-y x 。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ） 平面解析几何精粹 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1 2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1 ，解之得? ???? x ＝2 y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1 kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±-> 2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． 2013届高三数学章末综合测试题（16）解析几何 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若直线l 与直线y ＝1、x ＝7分别交于点P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) B ．－13 C ．－3 2 解析：设P 点坐标为(a,1)，Q 点坐标为(7，b )，则PQ 中点坐标为? ?? ?? a ＋72，1＋ b 2，则 ??? ?? a ＋7 2＝1，1＋b 2＝－1， 解得??? a ＝－5， b ＝－3， 即可得P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜 率为k PQ ＝1＋3 －5－7 ＝－13. 答案：B 2．若直线x ＋(a －2)y －a ＝0与直线ax ＋y －1＝0互相垂直，则a 的值为( ) A ．2 B ．1或2 C ．1 D ．0或1 解析：依题意，得(－a )×? ?? ?? －1a －2＝－1，解得a ＝1. 答案：C 3．已知圆(x －1)2＋(y －33)2＝r 2(r ＞0)的一条切线y ＝kx ＋3与直线x ＝5的夹角为π 6，则半径r 的值 为( ) 或332 或 3 解析：∵直线y ＝kx ＋3与x ＝5的夹角为π6，∴k ＝±3.由直线和圆相切的条件得r ＝32或33 2. 答案：C 4．顶点在原点、焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝x ＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－x ，或y 2＝5x B ．y 2＝－x C ．y 2＝x ，或y 2＝－5x D ．y 2＝5x 解析：由题意，可知抛物线的焦点在x 轴上时应有两种形式，此时应设为y 2＝mx (m ≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m ＝－1，或m ＝5，从而选项A 正确． 解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足 ,求点的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直 线上，故可设 ① 再设 解得②，将①式代入②式，消去，得 ③，又点B在抛物线上，所以， 再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 2.（17）（本小题满分13分） 设直线 （I）证明与相交； （II）证明与的交点在椭圆 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 （方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程， 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则； 又由l与圆 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位． 置．上． ． 1. (2017 年 11 月月考)已知双曲线的方程为22 164x y -= ，则该双曲线的焦距为 . 2. (2018 年 01 月期末)抛物线 x 2 = 2 y 的焦点到其准线的距离为 . 3. (2017 年 11 月月考)已知抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)的准线方程为 y = -1，则实数 p 的值为 . 4. (2017 年 11 月月考)已知点 F 为双曲线22 142 x y -=的左焦点，则点 F 到双曲线的右准线的距离为 . 5. (2017 年 11 月月考)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 x 的准线上，则双曲线的方程是 . 6. (2018 年 01 月期末)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为 2，则该双曲 线的渐近线方程为 . 7. (2017 年 11 月月考)设 F 1 ， F 2 分别为椭圆 C : 22 193 x y +=的左、右焦点，若点 P )在椭圆上，则 ?PF 1 F 2 的 面积为 . 8. (2017 年 11 月月考)已知抛物线经过点 P (-2,4)，则该抛物线的标准方程是 . 9. (2018 年 01 月期末)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上一点 p 到焦点的距离为 5，到 y 轴的距离为 3，则 p = . 10. (2016 年 09 月月考)若关于 x = x + b 有两个不同解，则实数 b 的取值范围是 . 11. (2018 年 01 月期末)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 22 12516 x y +=的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且点 P 到左焦点的 距离是其到右准线25 倍，则 P F 2 = . 12. (2017 年 11 月月考)已知椭圆的方程为22 1169 x y +=，则椭圆内接正方形的周长为 . 高三数学解析几何解题技巧 解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。 解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。 常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-= 几个特殊转换技巧： ①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =?则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-?-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。 ②利用向量求距离。 ③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ?的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：| |||cos b a ?= θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ?中（O 是原点） )2 ())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---=== ||2 1A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12 2=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2 121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=??? ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。 最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。 【例题训练】 1．（本小题满分14分） 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的 《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距 为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的 军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 解析几何测试题 一、选择题 1．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B C D 2．若直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、1 C 、0或－ 2 3 D 、1或－3 3．直线经过点A （2，1），B （1，m 2 ）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 （ ） A ．),0[π B ．),2(]4, 0[πππ ? C ．]4 ,0[π D ．),2 ()2,4[ ππ π π? 4． 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ） A 、052=-+y x B 、042=--y x C 、073=-+y x D 、0 53=-+y x 5．若直线42y kx k =++ k 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ． [-1,-． ．(-∞,-1] 6．椭圆1322=+ky x 的一个焦点坐标为)10(，， 则其离心率等于 （ ） A. 2 B. 2 1 C. 332 D. 23 7．一动圆与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1外切，与圆C ：x 2 ＋y 2 －6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 8．如右图双曲线122 22=-b y a x 焦点1F ,2F , 过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于P 点，且2130PF F ∠=?，则双曲线的渐近线是（ ） A x y ±= B x y 2±= C x y 2±= D x y 4±= 9．设抛物线 x y 82 =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的 高考解析几何的万能解题套路 一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！ 在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。 显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年～1650 年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 以高考解析几何为例： 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路： 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来； 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化； 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；高三数学解析几何专题
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