导数隐零点问题

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导数专题（1）隐零点问题

1.设函数()2ln x f x e a x =-.

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a

≥+.

2. 设函数2)(--=ax e x f x .

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。

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3. 设函数)ln()(m x e x f x +-=.

（Ⅰ）若x ＝0是)(x f 的极值点，求m ＞0，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时，求证：)(x f ＞0.

4. 已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()

00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.

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隐零点问题习题选：

1. 已知函数]2

0[sin cos )(π

，，∈-=x x x x x f . （Ⅰ）求证：)(x f ≤0.

（Ⅱ）若a ＜

x x sin ＜b ＜对)2

0(π，∈?x 恒成立，求实数a 的最大值与b 的最小值。

2. 已知函数2ln 2)(x x m x f -=，x m e x g x ln 2)(-=，R m ∈，69

3.02ln =. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；

（Ⅱ）若)(x f 存在最大值M ，)(x g 存在最小值N ，且M ≥N ，求证：m ＞2

e .

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3. 已知函数22

1ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e

2ln

时，)(x g ＞a 2.

4. 已知函数12

1ln )(2+++=x ax x x f . （Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；

（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立。

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5. 已知对任意的x ＞0，不等式1ln 2---x kx xe x ≥0恒成立，求实数k 的取值范围。

6. 已知函数x x x x f ln +=)(，当x ＞１时，不等式)∈(),()1(Z k x f x k ＜－恒成立，则的最大值为（）

Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５

7.已知函数2()f x x m =+与函数1()ln 3g x x x

=--1([,2])2x ∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（）

A ．5[ln 2,2]4+

B ．5[2ln 2,

ln 2]4

-+ C ．]2ln 2,2ln 45[++ D ．[2ln 2,2]- 8. 设实数0λ＞，若对于任意的+x ∈∞（0，），不等式ln 0x x e λλ-≥恒成立，则λ的最小值是（） A.

1e B.12e

C.2e

D.3e

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