三角形知识点复习(经典归纳)
21
D C
B A
A
D
C
B A 初二上册知识点:三角形复习
1、三角形的定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 2、三角形的表示
三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;
(2)三角形是一个封闭的图形;
(3)△ABC 是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义.
3、三角形的分类:
(1)按边分类: (2)按角分类
4、三角形的主要线段的定义:
(1)三角形的中线(在中文中,中有中间的意思而在这里就是边上的中线)
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:(1)AD 是△ABC 的BC 上的中线.(2)BD=DC=12
BC. 注意:①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 (注:这点叫重心:当我们用一条线穿过重心的时候,三角形不会乱晃)
③中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
(2)三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
表示法:(1)AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. (2)∠1=∠2=1
2
∠BAC.
注意:①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点;(注:这一点角三角形的内心。角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边距离相等)
③用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法①AD 是△ABC 的BC 上的高线②AD ⊥BC 于D ③∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 等腰三角形
不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形 三角形
直角三象形 斜三角形 锐角三角形钝角三角形 _C _B _A
注意:①三角形的高是线段;
②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;(三角形三条高所在直线交于一点.这点叫垂心)
③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样) 5、三角形的主要线段的表示法: 三角形的角平分线的表示法:
如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:
① AD 是?ABC 的角平分线; ② AD 平分∠BAC ,交BC 于D ;
③ 如果AD 是?ABC 的角平分线,那么∠BAD =∠DAC =
2
1
∠BAC . (2)三角形的中线表示法:
如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ①AE 是?ABC 的中线;
②AE 是?ABC 中BC 边上的中线;
③如果AE 是?ABC 的中线,那么BE=EC =
2
1
BC .
(3)三角线的高的表示法:
如图2,根据具体情况,使用以下任意一种方式表示: ① AM 是?ABC 的高;
② AM 是?ABC 中BC 边上的高;
③ 如果AM 是?ABC 中BC 边上高,那么AM ⊥BC ,垂足是E ; ④ 如果AM 是?ABC 中BC 边上的高,那么∠AMB =∠AMC =90?. ⒌ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:
(1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.
如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
图3
图4 A
B
C D E 图1
图2
6、三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边. 7、三角形的角与角之间的关系: (1)三角形三个内角的和等于180 ;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 8、三角形的内角和定理
定理:三角形的内角和等于180°. 推论:直角三角形的两个锐角互余。 推理过程:
一、作CM ∥AB ,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=1800, 即∠A+∠B+∠ACB=1800.
二、作MN ∥BC ,则∠2=∠B ,∠3=∠C ,而∠1+∠2+∠3=1800, 即∠BAC+∠B+∠C=1800.
注意:
(1)证明的思路很多,基本思想是组成平角. (2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角. 9、三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.(所以一般我们只研究一个)
如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角,且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处
只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.
图5 图6
图7
图8
B
A C D
2
1B A
C
M
D 10、三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角. 注意:(1)它不相邻的内角不容忽视;
(2)作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11、三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性. 注意:(1)三角形具有稳定性;
(2)四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型:适当添加辅助线,寻找基本图形 (1)基本图形一,如图8,在?ABC 中,AB=AC ,B,A,D 成一条直线,则∠DAC =2∠B =2∠C 或∠B =∠C =
2
1
∠DAC .
(2)基本图形二,如图9,如果CO 是∠AOB 的角平分线,DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ,那么?DOE 是等腰三角形,DO=DE .当几何问题的
条件和结论中,或在推理过程中出现有角平分线,平行线,等腰
三角形三个条件中的两个时,就应找出这个基本图形,并立即推证出第三个作为结论.即:角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三,如图10,如果BD 是∠ABC 的角平分线,M 是AB 上一点,MN ⊥BD ,且与BP,BC 相交于P,N .那么BM=BN ,即?BMN 是等腰三角形,且MP=NP ,即:角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时,就应找出这个基本图形,如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整,如图11,图12.
图11
12、多边形
在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。 (1)多边形的对角线
图9
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
(3)正多边形
各边相等,各角都相等的多边形叫做正多边形
(4)多边形的内角和为(n-2)*180度
多边形的外角和为 360度
注:当求角度时应该想起内角和或者外角和或者一个角的外角
13、密铺
所谓“密铺”,就是指任何一种图形,如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上,这种铺法就叫做“密铺”。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌。
(1)可单独密铺的图形
1、所有三角形与四边形均可以单独密铺。
2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
3、对边平行的六边形可以单独密铺。
平面上有:完全相同的三角形、四边形能密铺(或三角形与四边形组合)、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。
(利用内角和的知识来计算,如:任意三角形内角180,则三个相同的任意三角形即可形成∠180,六个就可以密铺;同理,四边形内角360,四个就可以密铺;正多边形的顶角的整数倍等于180或360)
曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b第十一章三角形知识点归纳
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