材料力学电子教案
Mechannincs of materials
Strength of materials
Introduction
材料力学是固体力学的一个基础分支，是工科重要的技术基础课，只有学好材料力学才能学好与本专业有关的后续课程（例如：机械零件等）。
材料力学与工程的关系：材料力学广泛应用于各个工程领域中，如众所周知的飞机、飞船、火箭、火车、汽车、轮船、水轮机、气轮机、压缩机、挖掘机、拖拉机、车床、铇机、铣机、磨床、杆塔、井架、锅炉、贮罐、房屋、桥梁、水闸、船闸等数以万计的机器和设备、结构物和建筑物，在工程设计中都必须用到材料力学的基本知识。对于某些工程如化学工程，由于客观条件的苛刻，如：高温、高压、低温、低压、易燃、易爆、腐蚀、毒性对于机器和设备的力学设计将提出更高的要求。因此对于各类高等工业大学的学生和实际工程中的工程师们都必须具备扎实的材料力学知识。
第一章绪论
§1.1 材料力学的任务
§1.2 变形固体的基本假设
§1.3 外力及其分类
§1.4 内力、截面法和应力的概念
§1.5 变形与应变
§1.6 杆件变形的基本形式
§1.1 材料力学的任务
材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状态和破坏准则，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。
材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。
构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。
构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成部分。
强度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。
所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如飞机坠毁、轮船沉没、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不忍睹……因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力——强度，进行强度计算，以保证构件有足够的强度。
刚度——构件抵抗变形的能力。
当构件受载时，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡，引起振动；铁路桥梁变形过大，会引
起火车脱轨，翻车……因此必须研究构件抵抗变形的能力——刚度，进行刚度计算，以保证构件有足够的刚度。
稳定性——构件保持原来平衡形态的能力。
如细长的活塞杆或者连杆，当诸如此类的细长杆子受压时，工程中要求它们始终保持直线的平衡形态。可是若受力过大，压力达到某一数值时，压杆将由直线平衡形态变成曲线平衡形态，这种现象称之为压杆的失稳。又如受均匀外压力的薄壁圆筒，当外压力达到某一数值时，它由原来的圆筒形的平衡变成椭圆形的平衡，此为薄圆筒的失稳。失稳往往是突然发生而造成严重的工程事故，如19世纪末，瑞士的孟希太因大桥，20世纪初加拿大的魁北克大桥都由于桥架受压弦杆失稳而突然使大桥坍塌。……因此必须研究构件保持原来形态能力——稳定性，进行稳定性计算，以保持构件有足够的稳定性。
§1.2 变形固体的基本假设
刚体——假定受力时不发生变形的物体。
适用于理论力学研究物体的外部效应——平衡和运动。 变形固体——在外力作用下发生变形的物体。
变形固体的实际组成及其性质是很复杂的，为了分析和简化计算将其抽象为理想模型，作如下基本假设：
1) 连续性假设：认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。（某些力学量可作为点的坐标的函数）
2) 均匀性假设：认为固体内到处有相同的力学性能。
3) 各向同性假设：认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。 各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。
各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。
§1.3 外力及其分类
????
?
??
???
?????????????????
????????????????????????交变载荷冲击载荷动载荷静载荷变化与否）、集中力（）线分布力（）面分布力（分布力面力）
惯性力（）自重力（体力作用方式支反力载荷外力kN N m /N m /N m /N m /N 23
3
载荷——作用于构件上的主动力
体积力——连续分布在物体内各点的力 面积力——作用于物体表面上的力
面分布力——连续分布于物体表面某一面积上的力 线分布力——沿着物体某一轴线上分布的力
集中力——若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线长度 静载荷——若载荷从零开始缓慢增加到某值后保持不变或变化很小 动载荷——随时间而变化的载荷
冲击载荷——由于物体运动状态瞬时发生突然变化而引起的载荷
交变载荷——随时间而发生周期性变化的载荷
§1.4 内力、截面法和应力的概念 1. 内力（附加内力）
物体因受外力而变形，其内部各部分之间相对位置将发生改变而引起的相互作用就是内力。
当物体不受外力作用时，内部各质点之间存在着相互作用力，此为内力。但材料力学中所指的内力是与外力和变形有关的内力。即随着外力的作用而产生，随着外力的增加而增大，当达到一定数值时会引起构件破坏的内力，此力称为附加内力。为简便起见，今后统称为内力。 2. 截面法
为进行强度、刚度计算必须由已知的外力确定未知的内力，而内力为作用力和反作用力，对整体而言不出现，为此必须采用截面法，将内力暴露。 截面法三步骤： （1） 切 ：欲求某一截面上的内力，即用一假想平面将物体分为两部分 （2） 代 ：两部分之间的相互作用用力代替 （3） 平：建立其中任一部分的平衡条件，求未知内力
注：内力为连续分布力，用平衡方程，求其分布内力的合力 上述步骤可以叙述为：一截为二，去一留一，平衡求力
图1-1
例1. 试求图示悬臂梁m m -截面上的内力 解：截面法 （1） 切 （2） 代 （3） 平 平衡条件：
∑=0y
F 0=-F F s
∑=0O
M 0=-Fa M
求得：F F s = Fa M = (剪力、弯矩)
3. 应力
因内力为分布力系，为研究内力在截面上的分布规律，引入内力集度的概念A
F
p
m?
?
=
m
p——均应力
上的平均集度，称为平
A
?上的平均集度，称为平均应力
A
F
p
p
A
m
A?
?
=
=
→
?
→
?0
lim
lim
p——为矢量。
点处总应力，
点的内力集度，称为p
C
C
?
?
?-
-
－－切应力
正应力
τ
σ
p
应力单位：
MPa
1
N/mm
12=
§1.5 变形与应变
变形——物体受力后形状和尺寸的改变
1. 线应变（简称应变）
假设：固体受到约束无刚体位移，只有变形
位移，若有刚体位移，应从总位移中扣除。
x
S
?
?
＝
m
ε
m
ε——
应变。
伸长或缩短称为平均线
每单位长度线段的平均
x
S
x?
?
=
→
?0
lim
ε
ε——方向的线应变。
点沿x
M
2. 切应变（角应变）
原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变（角应变）
?
?
?
?
?''
'
∠
-
=
→
N
M
L
ML
MN2
lim
,
π
γ
γ——变。
平面内的切应变或角应
点在
为xy
M
§1.6 杆件变形的基本形式
基本变形
1.轴向拉伸或压缩
2.剪切
2
N/m
1
Pa
1=
Pa
10
x1
MPa
16
=
3. 扭转
4. 弯曲
组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。
第二章拉伸、压缩与剪切
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 §2.4 材料拉伸时的力学性能 §2.5 材料压缩时的力学性能 §2.7 失效、安全因数和强度计算 §2.8 轴向拉伸或压缩时的变形 §2.9 轴向拉伸或压缩的应变能 §2.10 拉伸、压缩超静定问题 §2.11温度应力和装配应力 §2.12 应力集中的概念
§2.13 剪切和挤压的实用计算
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1．实例
（1）液压传动中的活塞杆 （2）内燃机的连杆 （3）汽缸的联接螺栓
F
P
M M
P
F
（4）起吊重物用的钢索 （5）千斤顶的螺杆 （6）桁架的杆件
2．概念及简图
当杆件在其两端受到等值、反向、作用线与杆轴重合的一对力（F ，F ）作用时杆件将沿轴线方向发生伸长或缩短变形，此类变形称为拉伸或压缩。
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1．内力
（1）截面法
暴露内力。因为外力与轴线重合，故分布内力系的合力作用线必然与轴线重合，若设为N F ，N F 称为轴力。
（2）轴力符号规定：拉为正，压为负。 （3）平衡方程
=∑x
F
0N =-F F
F
F =N
2.多力杆的轴力与轴力图
例2.1试作图示杆的轴力图
解：1-1 0=∑
x F 0
21N =-F
)
kN(21N 压力=F
2-2 0=∑x F 024N2=+-F
)(kN 2N2拉力=F
3-3 0=∑x F 05N3=-F
)
(kN 5N3拉力=F
例2.2试作图示杆的轴力图 解： A-A 0=∑
x F
234NA =--+F
kN
5NA =F
1-1 0=∑X F 05N1=-F )
kN(5N1拉力=F
2-2 0=∑X F 054N2=-+F
)
kN(1N2拉力=F
3-3 0=∑X F 02N3=-F
)
kN(2N3力压=F
3．应力
内力分布规律的研究
??
?
??静力学（平衡方程）物理学（纤维均拉）
设几何学（变形）平面假应力分析)3()2()1(
F N =?A A
d σ
F N =
A
A A στ=?d
A F N =
σ
注：正应力符号规定与轴力相同,拉为正,压为负。
4．轴向拉（压）渐变杆近似计算
)()()(x A x F x N =
σ
5．圣维南原理
（静力等效或局部效应）
实验证实：作用于弹性体某一局部区域上的外力系，可以用它的静力等效力系来代替，这种代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，而对较远处（距离略大于外力分布区域）其影响即可不计，这就是圣维南原理。
圣维南原理的实用价值：它给简化计算带来方便。 例如：图示杆件由于采用不同连接(铆接、焊接、铰接)而使杆件在连接处，传递力的方式就各不同，而使局部区域内的应力分布也各不相同，而且非常复杂。但是用静力等效力系替代后，若得到相同的计算简图(如右图示)，则应力计算就可采用相同的公式：
A F N =
σ
6．正应力公式应用条件
A F N =
σ
（1）外力（或其合力）通过横截面形心且沿
杆件轴线作用。
（2）适用于弹性及性范围。
（3）适用于角α20≤°横截面连续变化的直杆。
*（4）在外力作用点附近或杆件横截面突然变化处，应力分布不均匀，不能用此公式，稍远一些的横截面上仍然应用。
例1．图示结构中AC 、CD 为刚性杆，①、②两杆的截面直径分别为：d 1=10mm, d 2=20mm, 试求
两杆内的应力。
解： ①受力分析及受力图
②由图（b ）：
0=∑D M 10=RC F kN
③由图（c ）：
10
'==RC Rc F F kN
0=∑A M 021012=?-?N F
F N2=20kN
0=∑B M 011'
1=?-?N RC F F
10
'
1==N RC F F kN
④求应力
12710
1010442
3
211111=???===N N ππσd F A F (N/mm 2)＝127MPa
7.6342
22
222===
N N d F A F πσ MPa
§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
1．横截面上的正应力
A F N =
σ
2．斜截面上的应力
F F =α
ααcos A A =
ασαααααcos cos ====
A F A F A F p
?????=?====ασαασατα
σασααα2sin 2sin cos sin cos cos 2a p p
讨论
（1）ασ、ατ均为α的函数，随斜截面的方向而变化。 （2）当0=α°时，σ=σαmax 、0=τα横截面上。
当45=α°时，
2σ=
ταmax 、2σ
=σα 当90=α
°时，0=τ=σαα平行于轴线纵截面。
§2.4 材料拉伸时的力学性能
材料在外力作用下表现出变形及破坏的特性。材料的宏观力学性能主要依靠实验方法测定。如材料的比例极限p σ
，弹性极限e σ，屈服极限s σ，延伸率δ，断面收缩率ψ，弹性模量E ，横向变形因数（泊松比）μ等。
?????
??
??????????低温高度常温
温度动载静载
载荷试验
常温、静载下拉伸试验是确立材料力学性能的最基本试验。
试验设备：万能材料试验机。
标准试件?
??
??====A
l A l d l d l 3.1165.5105或矩型截面：或圆截面：
以低碳钢（含碳量低于0.3%的碳素钢）为例介绍拉伸试验。
一、低碳钢（Q235）拉伸时的力学性能 （1）夹持试件
（2）油压缓慢加载使试件受拉 （3）记录F~ΔL 测试数值
（4）直至拉断，观察力与变形的全过程 （5）绘制F~ΔL 拉伸曲线（自动绘图） （6）清除尺寸影响作σ~ε曲线，根据曲线特征大致分为四个阶段研究材料力学性能。
1．弹性阶段（Ob ） 此阶段的变形为弹性变形
()?
??
?
?
????
??===≤弹性极限非线弹性）非直线段（（线弹性）比例常数弹性模量（胡克定律）时当比例极限—直线段_)(ab ,tan )oa (ob e p p E E E σαεσ
εσσσσ
2．屈服阶段（bc ）
屈服现象：当应力超过b 点后，应力先是下降后是微小波动，曲线出现接近水平线小锯齿形线段。即应力不再增加，但应变显著增加，
此现象称为屈服。
* 观察测力度盘指针停走或后退。
* 观察试件表面可见大致与轴线成45°方向上有细线，称为滑移线。因为45°方向上剪应力最大。材料内部晶格沿45°方向滑动。
* σs ——屈服极限。（下屈服点） * 屈服阶段主要产生塑性变形。 * 屈服极限为重要的强度指标。
3．强化阶段（ce ）
* 材料抵抗变形的能力又继续增加，即随着试件继续变形，外力也必须增大，此现象称为材料强化。
*σb ——强度极限，发生断裂时的应力 4．局部变形阶段（颈缩）（ef ）
试件局部范围横向尺寸急剧缩小，称为颈缩。 5．延伸率和断面收缩率
试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形保留下来。 延伸率：
%1001?-=δl l
l
δε=??=
P
P %100l l （塑性应变）
l ——原标距
l 1——拉断后标距长度 塑性指标：
δ>5%——塑性材料，钢、铜、铝
δ<5%——脆性材料，铸铁、玻璃、陶瓷 断面收缩率：
ψ
%1001
?-=
A A A
A ——试件原截面面积
A 1——拉断后颈缩处断面面积 6．卸载定律及冷作硬化
试件若拉到强化阶段，如d 点卸载，则沿（dd ′）直线变化，短期内再加载，仍然沿（dd ′）直线上升，说明比例极限提高，而延伸率降低，这种现象称为冷作硬化现象。
??
?
??度滚压工艺，提高疲劳强硬层，提高抗疲劳强度如机器零件表面形成冷度喷丸处理，提高表面强筋如起重钢索，建筑用钢冷拔工艺，提高强度工程应用.)
(.)(.c b a
缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件变硬变脆，给机加工带来困难，为便于加工，需退火消除冷硬层。
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
其他塑性材料：中碳钢、高碳钢、合金钢、铝合金、青铜、黄铜。
讨论
①有明显的四个阶段Q345（16Mn ）,Q235钢；无屈服阶段：黄铜（H62）；无屈服，无颈缩：
高碳钢(T10A)
②名义屈服极限σ0.2（对无屈服阶段的材料）通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为名义屈服应力，作为屈服指标。
③对各种碳素钢的比较表明：随着含碳量
的增加，屈服极限，强度极限提高，但延伸率降低，说明强度提高，塑性降低，如合金钢，工具钢等。
④强度又高，塑性又好的材料，始终是材料科学研究的方向。如南京长江大桥，采用16Mn钢比采用A3钢节约成本15％，解放牌汽车降低40％，寿命提高20％。
20MPa大气压的大型尿素合成塔为高压容器采用18MnMoNb合金钢比采用碳钢节约60％。
三、铸钢拉伸时的力学性能
⑴较低应力下被拉断
⑵无明显直线段，无屈服，无颈缩
⑶延伸率低属脆性材料，δ<5%
⑷弹性模量E随应力的大小而变化。因此
以σ~ε曲线开始部分的割线斜率作为弹性模量，
称为割线弹性模量，近似认为材料服从胡克定
律
σ=Eε
⑸σb——强度极限为唯一强度指标
⑹抗压不抗拉，不宜作抗拉件
§2.5 材料压缩时的力学性能
一．低碳钢的压缩
（1）压缩时的E、σs与拉伸时相同，但得不到σb。
（2）抗拉抗压强度相同。
二．铸铁的压缩
（1）破坏断面与轴线成45°～55°角，说明铸铁不抗剪。
（2）抗压强度比抗拉强度高4~5倍
（3）铸铁坚硬、耐磨，易浇铸成型，
有良好的吸
振能力，故宜用作机身，机座，轴承座及
缸体等受压
物件。
§2.7 失效、安全因数和强度计算
一．失效：工程中将构件不能正常工作称
为失效。
①脆性断裂①塑性变形
②弹性变形过大②冲断（冲击、撞击）
③疲劳③失稳
④蠕变（高温）④腐蚀（等等）
二．破坏准则：就强度而言 塑性材料：σ=σs 脆性材料：σ=σb 强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力
s s
n σσ=
][（塑性材料）
b b
n σσ=
][（脆性材料）
三．安全因数：
（1）n s 、n b 称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件： n s =1.2~2.5
n b =2.0~3.5
（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）
①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性） ②载荷情况（静载、动载，估计准确度） ③简化过程，计算方法精确度
④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。 ⑤设备机动性、自重的要求。 ⑥其它尚无考虑的因素。 综合考虑后确定。 四．强度条件
][σσ≤=
N
A F
①强度校核：认为安全
5%100][]
[
强度计算 ②设计截面：
][σN
≥
F A
③确定许用载荷：A F N ][σ≤
例2.7.1 已知F =130kN α=30°
AC 为钢杆：d =30mm [σ]s =160MPa
BC 为铝杆：d =40mm
[σ]a =60MPa
试校核结构的强度。 解：（1）求各杆轴力F NAC ，F NBC
AC
BC AC BC x F F F F F ..0sin sin 0
N ?N N ?N ==-=∑αα
cos cos 0
.=-+=∑N ?N F F F Fy BC AC αα
1
.752/32130
cos 2..N ====N αF F F BC AC kN
（2）求各杆应力
2.106430
101.752
3
.=??==N πσAC AC AC
A F N/mm 2
8.594/40101.752
3
.=??==N πσBC BC BC
A F N/mm 2
8.59=MPa
a
][σ<
∴安全
例2.7.2 图示托架，已知：F =60kN ，α=30° AC 为圆钢杆[σ]s =160MPa BC 为方木杆[σ]w =4MPa 试求钢杆直径d ，木杆截面边长b 解：（1）求各杆轴力
N
?=?===-=∑43
2210125.01060sin 0
sin 0
ααF F F F F y
N ?===-=∑42112104.10cos 0
cos 0ααF F F F F y
（2）设计截面
AC 杆：
[]s F A σ1
1≥
[]s F d σπ1
2
4≥
[]8
.28160
104.10444
1
=???=
≥
πσπs
F d mm
BC 杆：
[]
w
F A σ2
2≥
[]
w
F b σ2
2
≥
[]173
4
101242
=?=≥
w
F b σmm
例2.7.3 滑轮结构
已知AB 为圆钢杆d =20mm ，[σ]s =160MPa BC 为方木杆a =60mm ，[σ]w =12MPa 试求此结构的许用载荷W
解：（1）求各杆的轴力与W 的关系
1
212030cos 30cos 0F F F F F x ==?-?=∑
（2）分别按各杆强度条件确定W
AB 杆：[]s
A F σ≤11
[]s
A W
σ≤12
∴
[]1
.25101.252
4201602
32
1
=?=??=
≤
N A W s πσkN
BC 杆：[]W
A F σ≤22
[]W
A W
σ≤22
∴
[]6
.21106.21260122
322
=?=?=≤
N A W W σkN
取[W ]=21.6kN
§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
1．轴向变形
W
W
F F W F F F y 260cos 220260cos 60cos 02121=?
=
==-?+?=∑
A F A F l l l l l =
=?=
-=?N σε1
胡克定律：
l l
E A
F E ?=→
=N εσ ∴
EA l F l N
=?(胡克定律的另一种形式) EA ——杆件抗拉（或抗压）刚度
2．横向变形
b b b b b -=?=
'1ε
试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。
μεε='
μ——横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数） ∴-='εμε
3．渐变杆轴力变化时变形计算 微段伸长：()()()x EA x x F l d d N =?
杆件伸长：()()x EA x
x F l l
d N ?=?
例1 除梯杆、求总变形总l ? 已知：A 1=400mm 2
l 1=200mm A 2=800mm 2 l 2=200mm E =200GPa
解：（1）求各段轴力并作轴力图 （2）求各段变形及总变形
1.04001020020010403
31111=????==?N EA l F l mm 025.08001020020010203
32222=????==?N EA l F l mm
075.0025.01.021=-=?+?=∑
=?N l l A E l F l i
i i
i 总mm
例2 求节点A 的位移 已知：F =10kN α=45°
AB 为钢杆E 1=200GPa A 1=100mm 2 l 1=1000mm AC 为松木杆E 2=10GPa A 2=4000mm 2 l 2=707mm 解：（1）求轴力
45sin 0
1=-?=∑F F F y
14
.1421045sin 1==?=
F
F kN (拉)
45sin 0
12=?-=∑F F F x
10
2
114.1445cos 12=?
=?=F F kN(压)
（2）轴向变形
707
.010*********
1014.143311111=????==?A E l F l mm 177
.04000101070710103322222=????==?A E l F l mm
（3）A 点位移31A A
00
.145cos AA 1
5=??=
l mm
177.0A A 254=?=l mm
∴ 177.15454=+=A A AA AA mm ∴
193.1177.0177.122
432
43=+=+=
A A AA AA mm
例3 结构如图CD 为刚杆
AB 杆为钢杆，d =30mm ，a =1m ，E =210GPa （1）试验测得标距S =20mm 内的伸长变形ΔS =14.3×10-3mm ，试求F 力为若干。
（2）若AB 杆的材料[σ]=160MPa ，试求许用载荷[F ]，及此时D 点的位移δD 解：（1）求AB 杆的轴力F N
∵
EA S
F S N =
?
45
45
δ
δ
∴
20
3
.1443010210·2
3
???
?=
?=N πS S EA F
1.106101.1063=N ?=kN
求载荷F
2··0
=-=∑M N a F a F C
5321
.1062===
N F F kN
（2）求[F ]
[][]113
101134
3016032
=?=??
==N πσA F kN
[][]5
.562
==N F F kN
（3）求δD
∵[]762.030102104
1000101132
33
=??????==πδEA a
F N B
∴524.1762.022=?==B D δδmm
§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能
1．变形能（应变能） 固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。变形能有弹性变形能与塑性变形能。当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出部分能量而作功，这部分能量为弹性变形能。
2．轴向拉（压）时的应变能
()
()
???=?=10
d d d l l F W l F W
线弹性应变能：（三角形面积）V ε
l
F W V l F W ?==?=
21
2
1ε 胡克定律EA Fl l =
?，则 EA l
F l F W V 2212=
?==ε 3．应变能密度（比能） 力（σz y d d ）位移εdxd 单元体内应变能：
V x z y V x z y W d d d d d d d d d d d d 1
11
000
???
? ??===???εεεεεσεσε
σ d V ——单元体的体积
单位体积内的应变能：
?==
10d d d εε
εεσV V V
结论：V ε为应力—应变曲线（σ-ε）下的面积 线弹性应变能密度：
σεε21=
v
由胡克定律：σ=E ε，则
E E v 22212
2σεσεε=
== 注：v ε的单位为J/m 3
以比例极限σp 代入上式可求出的
应
变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。
E v P P 221
2σεσε=
=
例1 利用功能原理求A 点的垂直位移δ 已知：F =10kN α=45°
杆（1）为钢杆E 1=200GPa ，A 1=100mm 2，l 1=1000mm 杆（2）为木杆E 2=10GPa ，A 2=4000mm 2，l 2=707mm 解：（1）求轴力
45sin 0
1=-?=∑N F F F y
14
.1445sin 1=?=
N F
F kN
10
45cos 0
12=?-=∑N N F F F x kN
（2）求位移（视作弹性杆系）
V ε=W
2222
21112
12221
A E l F A E l F F N N +=δ
()()
3323323222
221112110104000101070710101001020010001014.14/????
?
??????+????=?
??
? ??+=N N F A E l F A E l F δ =1.18mm
（3）此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。能量
法求位移见下册13章。
§2.10 拉伸、压缩超静定问题 一． 超静定问题
图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E 1A 1=E 2A 2，F 、α、l 、E 3、A 3已知，试求三杆内力F N1、F N2、F N3。
解：（1）静力平衡方程
??
?
??
=-+=∑==-=∑N N N N N N 0cos 20
0sin sin 0
132112F F F F F F F F F y x ααα （a ）
利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。 二． 超静定问题解法 （1）建立足够的补充方程
（a ）静力学方面——平衡方程 （b ）几何学方面——变形协调条件 （c ）物理学方面——物理条件 （b ）（c ）补充方程。 （2）变形协调条件
αcos 31l l ?=?
（b ）
（3）物理条件
????
???=
?=
?N N 3333311111A E l F l A E l F l （c ）
式（c ）代入式（b ）
α
cos 333
31111A E l F A E l F N N =
∵ l 3=l l 1=l /cos α，故
3
33
1111cos /1A E l
F A E F N N =α
（d ）
式（d ）为补充方程。 联解式（a ）与式（d ）得
113
33221
cos 2cos A E A
E F F F +=
=N N αα
α
33
3113
cos 21A E A
E F
F +=
N
例1 已知AB 为刚性杆，F 、a 、L 已知。①
②③杆抗拉压刚度相等。求：F N1、F N2、F N3
解：一次静不定问题 （1）平衡方程：
?
?
?=-++=∑=+?=∑N N N N N 00
02032
121F F F F F a F a F M y B （a ）
（2）变形协调条件