第7讲 图形计数(学生版)
第7讲图形计数
1.下图中，以A、B、C、D、E、F、G、H为端点的线段共有多少条？
2.数一数下图中共有多少个正方形？
3.数一数下面图形中有几个平行四边形？
4.下图是由七条线段所构成的，请问此图形中共有多少个三角形？
5.如下图所示，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成多少个不同的三
角形？
6.下图中共有多少个三角形？
7.用同样大小的正方体小木块堆成如图所示的立体，共用了多少块小正方体.
8.下图共有多少个不同的三角形？
9.下图共有多少个的三角形？
10.下图中不含“·”的三角形比含“·”的三角形多多少个？
11.6支蜡烛分别插在一个蛋糕的6个点（A、B、C、D、E、F）上（见下图），以其中两支蜡
烛为端点的弧形有多少条？（两支蜡烛之间只算一条弧）
E
C
12.在5?7的长方形中最多能放入多少个由3个1?1正方形组成的“角形”（形如）？
13.下图中有许多不同的长方形，其中，同时包含有“走进数学王国”六个汉字的长方形有
多少个？
14.下图中共有多少个正方形？
15.下图中共有多少个长方形？
16.将9 6方格表的两个角的小方格切除（见下图），那么图中总共包含有各种大小的方格
共有多少个？
17.下图共有多少个正方形？
18.下图共有多少个正方形？
19.3根火柴棒可以摆成一个小三角形，下图中用很多火柴棍棒摆成一个中空的大三角形，
已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴棒，摆成这个图共需要多少根火柴棒？
20.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体这个几何体从正面看如图（1）所
示，从上面看如图（2）所示，那么这个几何体至少用了多少块木块？
图（2）
小学奥数——巧数图形
巧数图形 分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。 以AB为底边的三角形ABC中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 以ED为底边的三角形CDE中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 所以共有三角形6＋6=12(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个； 由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个； 由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例4右图中有多少个三角形？
第二讲 图形的计数
第二讲图形的计数 【知识要点】 在数图形时，不管是数什么样的图形都要有一定的次序，可以按从左到右、从上 到下、从小到大等次序进行；然后数一个的有几个，两个组成的有几个……数立方体， 一般要从上向下一层一层地数，再把各层的个数加起来。用小棒摆各种图形，要注意 仔细观察，并动手摆一摆、移一移或画一画。当然也可以用其他的一些好方法哦！ 【典型例题】 例1：图中共有（）条线段。 分析： 数的时候应有顺序地按同一方向去数。 以A为起点，有线段AB、线段AC，共2条线段； 以B为起点，有线段BC，共1条线段。 所以图中共有3条线段。 例2：有一把奇怪的尺，上面只有“0”、“1”、“4”三个刻度（单位：厘米），你能 用这把尺一次量出几种不同长度的线段？ 分析： 小朋友，你知道从1厘米到4厘米之间有多长吗？ 在解答这道题的时候，我们要考虑到从1厘米到4厘米之间的长度是3厘米。所 以我们可以这样量： 刻度0-1：可以量出1厘米； 刻度0-4：可以量出4厘米； 刻度1-4：可以量出3厘米； 所以，一共可以量出3种不同长度的线段。 例3：数一数，下图中共有（）个长方形。 分析： 在数图形的时候，我们可以先数一个个小的长方形，再数一数小长方形拼成的不 同的大长方形。 这样数： 小长方形有4个，它们是： 两个小长方形拼成的大长方形有4个，它们是： 还有一个由4个小长方形拼成的最大的长方形。 所以，图中共有9个长方形。 例4：数一数，图中共有（）个正方形。 分析： 我们可以这样数： （1）最小的正方形有9个； （2）4个小正方形拼成的大正方形有4个； （3）9个小正方形拼成的大正方形有1个； （4）共有9+4+1=14（个）正方形。
最新几何图形计算公式汇总
小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题（40分，每一题1分） 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋".
完整word版巧数图形题目
第九讲、巧数图形（教师版） 1、数一数中各有多少条线段. 条条(3)5050(1)6条(2)21 . 、数一数图中有多少个锐角2 55个 3、数一数图中分别有多少条线段?有多少个三角形? (1)12条5个(2)60条30个 4、数一数图中有多少个三角形？ 35个 5、分别数出图中各图里的长方形（正方形也是长方形）的个数。
分析：由于一个长方形可以看成是满足一定条件的一对线段（其中一条叫长方形的长，另一条叫他的宽）所确定的，因此这对线段中的每一条上线段的条数就决定了它们所确定的长方形的个数。先看图（1），长方形ABCD中的各个长方形的宽是相等的，都是以与AB相等的线段为宽，上的线段条数为BC上的每一条线段为长。由于BC而以线段． 4+3+2+1=10(条) 所以长方形的个数是: (4+3+2+1)×1=10(个) 再看图 (2),它可以看成是由图 (1)中的两个图形拼接起来的.那么又多了多少个长方形呢?如果说多了10个就错了.应该同上面的思考方法一样,先看AB上有几条线段,就相当于有几个不同的宽,再把BC上不同的线段当作长,1个长配一个宽,就得到1个长方形.所以长方形的个数为 (4+3+2+1)×(2+1)=30(个) 再看图 (3),用同样的方法,容易得出图中的长方形个数为 (4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个) 解:长方形的个数分别为: (1)(4+3+2+1)×1=10(个) (2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个) (3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个) 观察上面3个式子,想一想: 算式中被乘数和乘数分别与AB边及BC边上的线段有什么关系?或者说与AB边及BC边上的小格有什么关系? 从5的分析中,我们发现,可以将数长方形的问题归结成数线段的问题. 一般的,长方形的总数等于长方形的长上的线段总数乘以宽上的线段总数:或者说当长方形的一边上有n个小格,另一边上有m个小格时,长方形的总数为: (n+ +3+2+1)×(m+ +3+2+1) 我们通过对长方形自身的构成规律的分析,以及与数线段之间的联系,找到了数长方形的规律.今后,找规律是我们解决数学问题是经常要用到的思考方法 6、数出图中有多少个梯形？ 分析：图中的四边形好像一个梯子，而且一组对边平行，另一组对边首先要知道什么是梯形?边长AB不平行。数梯形的个数与数长方形的个数问题基本相同。也就是说该提醒的总数为边上的线段总数。即为：的线段总数乘以BC （个））=36（3+2+1）×（3+2+1 解：梯形的总数为 =36（个）3+2+1）×（3+2+1）（) 个(3+2+1)X(3+2+1)＝36( 解：梯形的总数为) 36(个(3+2+1)X(3+2-+1)＝ 、分别数出图中各图里的正方形个数。7
小四数学第2讲：图形计数(教师版)
第二讲图形计数 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 一：简单图形计数的方法。 二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三 角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 解：：①在△ABC中共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是：
小学数学所有图形计算公式
小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
小学数学所有图形计算公式
小学数学图形计 算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长=边长X 4 C=4a 面积=边长X边长 S=a X a 2 正方体 V: 体积a: 棱长 表面积二棱长X棱长X 6 S 表=a X a X 6 体积二棱长X棱长X棱长 V=a X a X a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)X 2 C=2(a+b) 面积=长＞宽
S=ab 4 长方体 V: 体积s: 面积a: 长b: 宽h:高(1)表面积(长＞宽+长＞高+宽滴)X 2 S=2(ab+ah+bh) ⑵体积=长＞宽滴 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底＞高宁2 s=ah —2 三角形高二面积X 2底 三角形底二面积X 2髙 6平行四边形 s 面积a 底h 高面积=底＞髙
s=ah 7梯形 s 面积a 上底 b 下底h 高
面积=(上底+下底)高宁2 s=(a+b) x h—2 8 圆形 S面积C周长n d直径r二半径 (1)周长二直径xn =2x半径 C=n d=2 nr ⑵面积二半径x半径xn 9 圆柱体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径c: 底面周长 (1)侧面积二底面周长滴 (2)表面积二侧面积+底面积x 2 ⑶体积二底面积x高(4)体积=侧面积—2半径 10 圆锥体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径体积二底面积＞高—3 总数速、份数=平均数
和差问题的公式 （和+差）宁十大数 （和一差）十鼻小数 和倍问题 和—倍数—1）=小数 小数X咅数=大数 （或者和—小数=大数） 差咅问题 差—倍数—1）=小数 小数＞1倍数=大数 （或小数+差=大数） 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴ 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+ 1=全长—株距—1 全长=株距＞株数—1） 株距=全长—株（数—1） ⑵ 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长联距全长=株距＞株数 株距=全长联数
四年级数学-巧数图形
第1讲巧数图形 数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化， 错综复杂，所以准确地数出其中包含的某种图形的个数，可以培养我们 认真，仔细，做事耐心有条理的好习惯。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。 例1数出下图中共有多少条线段。 分析与解：1.我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图 所示，以A为左端点的线段有______条，以B为左端点的线段有________ 条， 以C为左端点的线段有_______条。所以共有_________＝6(条)。 2. 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有_______条，由两条 小线段构成的线段有_______条，由三条小线段构成的线段有________条。 所以，共有_____________＝6(条)。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型 要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段
的两个端点为顶点的三角形)， 所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。图(2)中有三角形________(个)。 图(3)中有三角形_________(个)。 图(4)中有三角形_______________＝15(个)。 图(5)中有三角形______________=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。以AB为底边的三角形ABC中，有三角 1＋2＋3＝6(个)。以ED为底边的 三角形CDE中，有三角形___________(个)。 所以共有三角形___________________(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而 得出三角形的个数。 我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个；由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个；由4个小块组成的三角形有________个； 由6个小块组成的三角形有_________个。 所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为 分类标准来计算： 由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有______个；
计算机图形学
计算机图形学 姓名：李倩倩 班级：硕研10-14 学号： 第一题： #include <> #include <> void MidpintLine( HDC hDC,int x0,int y0,int x1,int y1,unsigned long color) { int a,b,delta1,delta2,d,x,y; a=y0-y1; b=x1-x0; d=2*a+b; delta1=2*a; delta2=2*(a+b); x=x0; y=y0; SetPixel(hDC,x,y,color); while(x 第二讲数数图形 专题简析： 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当 这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1, 弄清被数图形的特征和变化规律。 2, 要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 例1 :数出下面图中有多少条线段。 9----- 4 --------- ? -------- ? A B C D 分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定 的顺序来数，做到不重复，不遗漏。 从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD ;从B点出发的不同线段有2条：BC、BD ;从C 点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6 条线段。. 练习一：数出下列图中有多少条线段。答 (1) A~~B~n E (1) (2) (3) 例2 :数一数下图中有多少个锐角 分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式 1+2+3……（总射线数—1）求得：1+2+3+4=10 （个）.练习二: F列各图中各有多少个锐角? 答 ABC D 图中AD 边上的每一条线段与顶点 0构成一个三角形， AD 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为 AD 上 共有1+2+3=6 条线段，所以图中有6个三角形。 数一数下面图中各有多少个三角形。 答 分析与解答: 也就是说， 有4个点 , .例3:数一数下图中共有多少个三角形。 数学图形计算公式 1、正方形：C周长S面积a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体：V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形 s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积a底h高面积=底×高s=ah 7、梯形：s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 圆形：S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v体积h:高s底面积r底面半径c底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体：v体积h高s底面积r底面半径体积=底面积×高÷3 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 习题 2．试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性： （1）两个连续的旋转变换；（2）两个连续的平移变换； （3）两个连续的变比例变换；（4）当比例系数相等时的旋转和比例变换； （1）证明：设第一次的旋转变换为： cosθ1 sinθ1 0 T1= - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 第二次的旋转变换为： Cosθ2 s inθ2 0 T2= - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = cosθ1 sinθ1 0 cosθ2 sinθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 0 0 1 = cosθ1 cosθ2+sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ2- cosθ1 sinθ2 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 cosθ2 sinθ2 0 cosθ1 sinθ1 0 T2*T1 = - sinθ2 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 0 0 1 cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 = - sinθ2cosθ1- cosθ2 sinθ1 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 即T1*T2= T2*T1, 两个连续的旋转变换具有互换性 （2）证明：设第一次的平移变换为： 1 0 0 T1= 0 1 0 Tx1 Ty1 1 第二次的平移变换为： 1 0 0 T2= 0 1 0 Tx2 Ty2 1 则因为 T1*T2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx1 Ty1 1 Tx2 Ty2 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 而 T2*T1 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx2 Ty2 1 Tx1 Ty1 1 1 0 0 = 0 1 0 第二讲图形的计数 知识点： 本讲学习的主要容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。 教学目标： 通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。 2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。 3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 第一课时 教学时间： 教学容：数线段和角 教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。 重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。 2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。 教学过程： 一.例题1 如下图中有多少条线段？ ＡＢＣＤＥ （1）学生先独立数一数，并交流结论。 （2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法 方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么： 由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条； 由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条； 由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条； 由4条基本线段构成的线段有AE共1条； 方法二：从线段的两个端点出发去数： 以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条； 以C点为左端点的线段有CD、CE共2条； 以D点为左端点的线段有DE共1条； 2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？ 二、教学数角 1.例2 如下图中共有几个角？ O A （1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论 （2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法 方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么： 由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个； 由3个基本角构成的角有AOD共1个； 第二讲图形的计数 本讲内容是让孩子们学会用计算的方法来数图形，在计算过程中结合第一讲速算巧算的方法来巩固和练习我们以往所学过的知识。 一、知识点 (一) 平面图形的计数 1、数线段与角的个数(打枪法、编号法) 2、数三角形、正方形、长方形，圆形等（编号法、分层法） (二) 立体图形的计数 1、数方块：⑴分层数（从上到下再求和） ⑵按列数（刀切法） 注意：每层数量=看见的+上层数量 ( 1)、数规整图形：观察规律，算是表达（牢记巧算速算的方法） (2)、数有缺口的图形 方法：（1）分层数 （2）补（补全图形去多余） （3）拆（拆成规整图形来计算） 二、例题讲解与练习 【习题1】你来数一数! ( )个正方形( )个三角形( )个正方体 【解析】：⑴、由小到大分类数,含有1个小方块的正方形个,编号法含有2 个小方块的正方形3 个共8+3=11(个); ⑵、编号法,含有1个号的三角形1、2、3、4、5 共5 个，含有3个 号的三角形163、164、 264、265、365 共5 个（5 角星每个小角对应新组成的5 个大三角形），所以三角形共5+5=10 （个）； (3) 共1+5+6=12 （个） 【习题2】数一数下面一共有多少个小圆点？ 【解析】: 不同的角度来观察，我们所选用的方法不同（方法 不唯一），从上往下数第一层1个点，依次往下每 一层都比上一层多一个一点，2、3、4、5、6、7、8、 9，所以圆点的总数为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个) 【习题3】如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数 一数，需要多少块砖才能把墙补好？ 【解析】：细心观察的小朋友会发现整幅图里只有最后一层墙面的砖是全的，所以每层都与最后一层来比较（用缺补的思想把残缺的墙补全然后列算式），我们发现要补得砖的块数为：2+2+1+2+2+1=10 （块）。 【习题4】数一数下面的图形一共有多少个立方体？ 【解析】:此题分行(分层)数更易观察,从上往下数,第一层1块, 第二层我们能直观的看到3块,但是第一层的那块想要立在上面下面一定隐藏起了1块,所以第二层3+1=4(块), 同样的方法第3 层5+4=9(块),第4 层7+9=16(块),总数1+4+9+16=30(块),计算时别忘了我们学的凑整法 第二讲有趣的图形计数 我们之前已经认识了各种图形，并会数简单的图形，在此基础上，我们要进一步深入的学习图形计数的方法。二年级秋季已经学过数线段、角、三角形、长方形等。今天就要学习一些更复杂图形和立体图形的计数，通过数图形的练习，让同学来总结方法，找到计数技巧，培养同学有序思考问题和空间想象的能力。 一、规则图形【知识复习】 （这里的“规则”是指不用一个一个数，可以直接用总结的方法的，可让孩子记下下面几种图形） （）条线段（）个角（）个三角形（）个长方形 通用的方法： 第一步，先数有几个基本图形（孩子可以理解为图形中的小线段、小角等） 第二步，计算，假设有n个基本图形，则图形的总数是n+（n-1）+（n-2）+......+2+1 例1： 基本线段有4条，共有4+3+2+1=10 例2： 基本角有4个，共有4+3+2+1=10 例3： 基本长方形有4个，共有4+3+2+1=10 二、不规则图形 方法：按照一定的顺序 例1 ：按方向数（从左到右） 例2：分类数 例3 ：分层数 三、数字有规律的图形计数 方法：此类题，找出数字的规律，更能方便的计算图形的个数 例： 图1 图2 图一中，第一行白方块的个数是4，第二行也是4，大三行也是，一共有8行，所以白方块的个数一共是4×8=32，黑方块也如此，也是32块。 图二中，第一行有白方块5个，第二行4个，第三行5个，第四行4个，奇数行都是5个，偶数行都是4个，所以白方块的个数是5×5+4×4=41，黑方块的个数是5×4+4×5=40块。 例： 小房子（课本上例题2，由于图形太大，不能上传，请各位参照课本进行复习）以红线为分界线，下面是一个长方形，一共有砖10×11=110 上面的从左向右数，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25 一共有110+25=135个 四、立体图形的计数 方法：分层数（从上向下） 下一层的=上一层+多出来的 例： 第二讲数数与计数（一） 数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力. 例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？ 解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以： 黑方块是：4×8=32（个） 白方块是：4×8=32（个） 再仔细观察图2－2，从上往下看： 第一行白方块5个，黑方块4个； 第二行白方块4个，黑方块5个； 第三、五、七行同第一行， 第四、六、八行同第二行； 但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个. 白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个） 黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个） 再一种方法是： 每一行的白方块和黑方块共9个. 共有9行，所以，白、黑方块的总数是： 9×9=81（个）. 由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个. 例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？ 解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了. 例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？ （2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？ （3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？ 解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示. 第二讲数数与计数 课前准备 1、小朋友，你会数这些图形吗？说说你是怎样数的. （ 6 ）条线段（ 10 ）个三角形 （ 6 ）个正方形（ 6 ）个长方形（ 9 ）个立方体 2、从左边数起，小军排第三，从右边数起，小英排第六.这排小朋友一共有多少个? 【答案】从左边数起，小军排第三，从右边数起，小英排第六，那么小军和小英中间还有3个同学. 列式：9-6=3（个），3+3+6=12（个），这排小朋友一共有12个. 小朋友们，我们在数数的时候，一定要做到不重复，不漏数.如果遗漏，要加上；重复了，就要减去.在计数的过程中要讲究方法，按一定的顺序去数，用最简便的方法去算，这样才会得到正确的答案.这节课就让我们一起来比一比看谁最细心，看谁最聪明，争做计数小能手. 图形的计数 数一数，下面的这堆木头一共有多少根？ 【教学思路】要知道一共有多少木头，可以引导学生分层来数.从上往下看，最顶层是1根，然后每层每次少一根，这样每层的木头分别是：1根、2根、3根、4根、5根、6根、7根、8根，要求这堆木头一共有多少根，可以列式为： 1+2+3+4+5+6+7+8 =（2+8）+（3+7）+（4+6）+1+5 =10+10+10+1+5 =36（根） 练一练： 数一数，下面一共有多少个三角形？ 【教学思路】观察这些三角形，最上面一层是1个，然后每层每次增加2个.要计算一共有多少个三角形，可以列式为： 1+3+5+7+9+11 =（1+9）+（3+7）+5+11 =10+10+5+11 =36（个） 请你数一数，下图中共有多少个“×”? 【教学思路】一共有两种不同的方法： 方法一：分层数 l+3+5+7+9+6+10+14+17 =（1+9）+（3+7）+（6+14）+5+10+17 =72 方法二：先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的个数 (1+3+5+7+9+11+13+15+17)﹣(5+3+1) =81-9 =72 精品文档 第1讲 巧数图形 数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化， 错综复杂，所以准确地数出其中包含的某种图形的个数，可以培养我们 认真，仔细，做事耐心有条理的好习惯。要想有条理、不重复、不遗漏地 数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。 例1数出下图中共有多少条线段。 分析与解：1.我们可以按照线段的左端点的位置分为A ，B ，C 三类。如下图 所示，以A 为左端点的线段有______条，以B 为左端点的线段有________ 以C 为左端点的线段有_______条。所以共有_________＝6(条)。 2. 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB BC ，CD 是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有_______条，由两条 小线段构成的线段有_______条，由三条小线段构成的线段有________条。 所以，共有_____________＝6(条)。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型 要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段 精品文档 的两个端点为顶点的三角形)， 由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形________(个)。 图(3)中有三角形_________(个)。 图(4)中有三角形_______________＝15(个)。 图(5)中有三角形______________=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB ，ED 以AB 为底边的三角形ABC 中，有三角 1＋2＋3＝6(个)。以ED 为底边的 三角形CDE 中，有三角形___________(个)。 所以共有三角形___________________(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而 得出三角形的个数。 我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个；由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个；由4个小块组成的三角形有________个； 由6个小块组成的三角形有_________个。 所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为 分类标准来计算： 由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有______个； 1.计算机图形学的研究内容 什么是计算机图形学? (1/2) 什么是计算机图形学? (2/2) 什么是交互式计算机图形学? (1/3) 什么是交互式计算机图形学? (2/3) 什么是交互式计算机图形学? (3/3) 基本概念——图形 图形表示方法 相关学科 图像处理 图像分析 2.图形学发展历史 计算机图形学的发展历史 现代计算机图形学的发展 硬件的对比 现代计算机图形学的发展 模型与渲染 交互式图形学的概念框架 图形库 3.图形学应用领域 图形学的应用 设计 信息显示 仿真 Virtual Reality 用户界面 超媒体用户界面 4.相关知识 软件兼容性和图形标准 官方标准 APIs的嵌入标准 典型的图形系统 好的图形需要什么?（1/2） 好的图形需要什么? (2/2) ACM SIGGRAPH会议 资料查询作业 第二讲数字图像基础 1.基础概念 计算机图形系统 例子：一个简单程序（P23 code）图形系统的概念框架 图形处理器 Render farms 顶点（Vertex）着色 扫描线 刷新频率 分辨率 例子 纵横比 2.图形输入设备 输入设备 3D 输入设备 图形输入设备 3.图形输出设备 图形输出设备 硬拷贝设备 3D图形设备 CRT显示器 彩色CRTs 局限性 液晶显示器(Liquid Crystal Displays) LCDs 光栅显示 光栅显示器 内存映射 显存（帧缓冲存储器） 显存大小的计算 Avatar引发的3D浪潮（前沿) 三维电视 问题提出 3D显示技术原理 技术手段？ 立体显示技术分类 问题？ MIT “第六感” 涉及的技术 4.图形文件 图形文件 点阵图形及其表示 参数图形及其表示 作业 第三讲(第四章) 扫描转换 3.1 扫描转换直线 直线的扫描转换 寻找下一个像素 图形计数 姓名：日期： 【专项训练】 NO1.下图中一共有多少个长方形？ NO2.数一数下图共有多少个正方形？ NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ NO4. N M F E D C B A O A12A34…4849A50 NO5.如图所示，图中共有个三角形。 NO6.把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？ NO7.用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块． NO8. 下图中共有____个正方形。 NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含主视图左视图 正方形)共有个，它们的面积总和是。 NO10. 图中共有多少个三角形？ 【实战训练】 1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。 2、计算： 3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直 ☆ 接开到营地，结果是两队学生同时到达。已知学生步行速度为4千米／小时，汽车载学生时的速度为40千米／小时，空车速度为50千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是。 4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。比如，241被342“吃掉”，123被123“吃掉”，但是240和223互相都不能被“吃掉”。现请你设计出6个三位数，它们中的任何一个都不能被另外5个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4，那么这6个三位数之和是。 图形计数（答案）二年级奥数举一反三数数图形第二讲(一)
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