江西省鹰潭市2021届新高考数学一模试卷含解析

江西省鹰潭市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )

A B ．

32

C D ．

12

【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322

z i =-+，13

22z i =--，再计算复数模得到答案.

【详解】

(1)12i z i +=+，故()()()()

121121313111222i i i i z i i i i +++-+=

===-+++-，

故1322z i =-

-，z 2

=. 故选：C . 【点睛】

本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

2．已知12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且

PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=?，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．12

y x =±

B ．2y x =±

C ．y x =

D ．y =

【答案】D 【解析】 【分析】

根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=?可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为4

可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，

因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=?， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=?,

||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=??+==??=，

又1

303

24

PF a k a c -==

+， 2a c ∴= 223a b ∴=，

解得

3b

a

=， 所以双曲线的渐近线方程为3y x =±， 故选：D 【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.

3．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '

=的图象如图所示，若

两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，1

1

b a ++则

的取值范围是（ ）

A ．(11,53

) B ．1(,)(5,)3-∞?+∞ C ．(1,53

)

D ．(,3)-∞

【答案】C 【解析】 【分析】

先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定

1

1

b a ++的取值范围. 【详解】

由()y f x '

=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可

知24a b +<.故14217

25111

b a a a a +-+<=-+<+++， 又有1171

2133322

b b b b a ++>=-+>

+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 4．将函数

的图象向左平移6

π

个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：

①它的图象关于直线x=59

π

对称； ②它的最小正周期为

23π； ③它的图象关于点(1118

π

，1)对称；

④它在[

51939

ππ

，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③

C ．①②④

D ．②③④

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可. 【详解】

因为

3

π

)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+

6π)-3π]+1=2sin(3x+6π

)+1，其最小正周期为23

T π=，故②正确； 令3x+

6π

=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59

π不是对称轴，故①错误； 令3x+6π

=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118

π，1)对称，故③

正确； 令2kπ-

2π≤3x+6π

≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得

169

π

≤x≤199π

，故④错误；

故选：B 【点睛】

本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型

5．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义

{},max ,,a a b a b b a b

?=?

22ππ

??

???

内的图象是( ) A ． B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T π

ω

=

求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【详解】

根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T

π

π

ωπ

=

=

=， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ???∈ ?????

==???

?∈ ?????

，

由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 6．函数()()ln 1

f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-?+∞

C ．()1,2-

D ．

1,2

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

函数的定义域应满足20

,1 2.10x x x ->?∴-<

+>?

故选C.

7．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<

【答案】C 【解析】 【分析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 1

2

比较即可. 【详解】

由0.50.50.820.8a =>

1sin1sin 23b π<=<==<

11

lg3lg1022

c =<==，

所以有c b a <<.选C. 【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.

8．已知单位向量a ，b 的夹角为34

π

，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2 B ．2

C ．4

D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n . 【详解】

由于m n ⊥，所以0m n ?=，即

()

2

3

248282cos

804

a a

b a a b π

λλλ?-=-?=-?==，

解得

λ==-所以442n a b =+ 所以

(

)

2

22

442163223248324a b

a a

b b n +=+?+===

+=. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

9．已知双曲线()

22

22

:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125

cos 7

PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）

A B ．或3

C ．2

D ．2或3

【答案】D 【解析】 【分析】

设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=

和抛物线性质得出25

7

PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．

【详解】

过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，

则121125cos 7

m

MF PN PF PF PF F ===∠=

， P 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527

m

m a -

=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ?中，由余弦定理可得222

5494257272a c a a c

+-=??，

整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >，解得2e =或3e =.

故选：D. 【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 10．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14

m n

+的最小值为（ ） A ．

97

B ．

53

C ．

43

D ．

1310

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】

22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，

当1,6m n ==时，

1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，1419

12m n +=，

当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，1425

6

m n +=，

14m n +最小值为13

10

. 故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 11．已知i 是虚数单位，若1z

i i

=-，则||z =（ ）

A B ．2

C D ．3

【答案】A 【解析】 【分析】 直接将

1z

i i

=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将

1z

i i

=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+

z =故选：A 【点睛】

考查复数的运算及其模的求法，是基础题. 12．下列选项中，说法正确的是（ ）

A ．“20000x R x x ?∈-≤，”的否定是“2

000x R x x ?∈->，”

B ．若向量a b ，满足0a b ?< ，则a 与b 的夹角为钝角

C ．若22am bm ≤，则a b ≤

D ．“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

对于A 根据命题的否定可得：“?x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“?x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b ，满足0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】

选项A 根据命题的否定可得：“?x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“?x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b ，满足0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此不正确.

选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确； 选项D 若“()x A B ∈”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈”，因此“()x A B ∈”是

“()x A B ∈”的必要条件，故正确.

故选：D. 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥

P ABC -外接球的表面积的最小值为________.

【答案】14π 【解析】 【分析】

设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】

设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，

∴2r =

=

当1x =时，2

min min 2=41422r r S ?==π=π ??

表． 故答案为：14π． 【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．

14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 【答案】1344 【解析】 【分析】

分四种情况讨论即可

【详解】

解：数学排在第一节时有：1

4

1

444384C A C ??= 数学排在第二节时有：1

4

1

344288C A C ??= 数学排在第三节时有：1

4

1

344288C A C ??= 数学排在第四节时有：1

4

1

444384C A C ??= 所以共有1344种 故答案为：1344 【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

15．已知曲线22

2

2:1(0)2x y Q x a a

-=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=．则a =_______．

【答案】2

± 【解析】 【分析】

设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ?B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，代

入曲线方程，两式作差可得

12121212114

1222

y y x x x x y y -+==?=-+，从而可得直线的斜率，联立直线AB 与Q 的方程，由||2AB =，利用弦长公式即可求解. 【详解】

因为AB 是圆的直径，必过圆心(2,1)点， 设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-

设A ?B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，

故22

1122

22

2222

1212x y a a x y a a ?-=????-=??两式相减， 可得

()()()()121212122

2

2x x x x y y y y a a -+-+=

12121212114

1222

y y x x x x y y -+?

==?=-+

(因为(2,1)是AB 的中点)，即1k = 联立直线AB 与Q 的方程：

222

2

22142201

2y x x x a x y a

a =-???-++=?-=?? 又||2AB =，即2

|4|AB =，即

()

()2

2

12124x x y y -+-=

又因为1212y y x x -=-，

则有()()22

1212124224x x x x x x ??=-=+-??

()22

24422a ??=-+??

即2882a -=

∴a =.

故答案为：± 【点睛】

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题. 16．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______. 【答案】1

2

【解析】 【分析】

基本事件总数328n ==，三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =??=．由此能求出三人都收到礼物的概率． 【详解】

三个小朋友之间准备送礼物，

约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同）， 基本事件总数328n ==，

三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =??=． 则三人都收到礼物的概率4182

m p n ===． 故答案为：12

． 【点睛】

本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知()3

2

2

2f x x ax a x =+-+.

（1）若0a ≠，求函数()f x 的单调区间；

（2）若不等式()2

2ln 1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)2,-+∞ 【解析】 【分析】

（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间. （2）分离出参数a 后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域. 【详解】

（1）()()()2

2

323f x x ax a x a x a '=+-=+-

由0f x

得x a =-或3

a

x =

①当0a >时，由0f x

，得3

a a x -<<

. 由0f

x

，得x a <-或3

a x >

此时()f x 的单调递减区间为,3a a ??-- ?

?

?，单调递增区间为(),a -∞-和,3a

??

+∞ ???

. ②当0a <时，由0f x ，得

3

a

x a <<- 由0f

x

，得3

a

x <

或x a >- 此时()f x 的单调递减区间为,3a a ??-

???，单调递增区间为,3a ?

?-∞ ??

?和(),a -+∞

综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为,

3a a ?

?- ?

?

?，单调递增区间为(),a -∞-和,3

a

??

+∞ ???

当0a <时，()f x 的单调递减区间为,3a a ??-

???，单调递增区间为,3a ?

?-∞ ??

?和(),a -+∞.

（2）依题意()0,x ∈+∞，不等式()2

2ln 1x x f x a '≤++恒成立

等价于22ln 321x x x ax ≤++在0,上恒成立， 可得31ln 22a x x x

≥-

-，在0,上恒成立，

设()31ln 22h x x x x =-

-，则()()()22

131131222x x h x x x x -+'=-+=- 令()0h x '=，得1x =，1

3

x =-（舍）

当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '< 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：

x

0,1

1

1,

()h x '

+

-

()h x

单调递增

2- 单调递减

∴当1x =时，()h x 取得最大值，()max 2h x =-，∴2a ≥-. ∴a 的取值范围是[)2,-+∞. 【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 18．如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是等边三角形,侧面11BCC B 是矩形,1,AB A B N =是1B C 的中点,M 是棱1AA 上的点,且1AA CM ⊥. （1）证明：//MN 平面ABC ；

（2）若1AB A B ⊥,求二面角A CM N --的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）25

【解析】 【分析】

（1）连结BM ，推导出BC ⊥BB 1，AA 1⊥BC ，从而AA 1⊥MC ，进而AA 1⊥平面BCM ，AA 1⊥MB ，推导出四边形AMNP 是平行四边形，从而MN ∥AP ，由此能证明MN ∥平面ABC ．

（2）推导出△ABA 1是等腰直角三角形，设AB 2

a =，则AA 1＝2a ，BM ＝AM ＝a ，推导出MC ⊥BM ，

MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CM ﹣N 的余弦值． 【详解】

（1）如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，连结BM ，因为11BCC B 是矩形， 所以1BC BB ⊥，因为11//AA BB ，所以1AA BC ⊥， 又因为1AA MC ⊥，BC MC C ?=，所以1AA ⊥平面BCM ， 所以1AA MB ⊥，又因为1AB A B =，所以M 是1AA 中点，

取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是1B C 的中点，则1//NP BB 且11

2

NP BB =

， 所以//NP MA 且NP MA =，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以//MN AP ， 又因为MN ?平面ABC ，AP ?平面ABC ，所以//MN 平面ABC .

（图1） （图2） （2）因为1AB A B ⊥，所以1ABA ?是等腰直角三角形，设2AB a =，

则12AA a =，BM AM a ==.在Rt ACM ?中，2AC a =

，所以MC a =.

在BCM ?中，22222CM BM a BC +==，所以MC BM ⊥，

由（1）知，则1MC AA ⊥，1BM AA ⊥，如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则()0,0,0M ，()0,0,C a ，()12,,0B a a . 所以,

,22a a N a ?

? ???，则()0,0,MC a =，,,22a a MN a ??= ???

， 设平面CMN 的法向量为()1,,n x y z =，

则110,0,n MC n MN ??=???=??即0,0.22az a a

ax y z =??

?++=??

取1x =得2y =-.故平面CMN 的一个法向量为()11,2,0n =-，

因为平面ACM 的一个法向量为()20,1,0n =， 则12121225

cos ,5

n n n n n n ?=

=-. 因为二面角A CM N --为钝角， 所以二面角A CM N --的余弦值为25

-. 【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

x

y

w

()10

2

1

i i x x =-∑

()10

2

1

i i w w =-∑

()()101

i

i

i x x y y =--∑ ()()

10

1

i

i

i w w y y =--∑

1.47 20.6 0.78

2.35 0.81 19.3- 16.2

表中21i i w x =，10

1

110i i w w ==∑.

（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d

y c x

=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量t 与旋转的弧度数x 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n u v u v u v u v ，其回归直线??v u αβ

=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为()()

()

1

2

1

?n

i

i i n

i i u

u v v u

u β

==--=-∑∑，?v u α

β=- 【答案】（1）选取2d y c x =+更合适；（2）2

20

5y x

=+；（3）2x =时，煤气用量最小. 【解析】 【分析】

（1）根据散点图的特点，可得2

d

y c x =+

更适合； （2）先建立y 关于w 的回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；

（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件. 【详解】 （1）选取2d

y c x

=+更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型； （2）y c dw =+

由公式可得：()()

()

10

1

10

2

1

16.2

?200.81

i

i

i i

i w w y y d

w w ==--==

=-∑∑， ??20.6200.785c

y dw =-=-?=， 所以所求回归直线方程为：2

20

5y x =+； （3）根据题意，设,0t kx k =>，

则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ??===+≥+= ???， 当且仅当205k

kx x

=

时，等号成立， 即2x =时，煤气用量最小. 【点睛】

此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是矩形，AD PD =，E ，F 分别是CD ，PB 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）设33AB BC ==， 求三棱锥P AEF -的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3

4

【解析】 【分析】

（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ，根据平行四边形，可得//EF DG ，进而证得平面PAB ⊥平面PAD ，利用面面垂直的性质，得DG ⊥平面PAB ，又由//EF DG ，即可得到EF ⊥平面PAB . （Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解. 【详解】

（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ， 由11

//,,//,22

FG AB FG AB ED AB ED AB =

=，可得//,FG ED FG ED =， 可得EDGF 是平行四边形，则//EF DG ，

又PD ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，

∵AB AD AB ⊥?⊥平面PAD ，AB ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ， ∵PD AD =，G 是PA 中点，则DG PA ⊥，而DG ?平面PAD DG ?⊥平面PAB ， 而//EF DG ，∴EF ⊥平面PAB . （Ⅱ）根据三棱锥的体积公式， 得12P AEF B AEF F BAE P BAE V V V V ----===

11

23

BAE S PD ?=??? 1113

3332324

=???=. 【点睛】

本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

21．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=. （1）求A ；

（2）若2b c =，点D 为边BC 的中点，且AD =，求ABC ?的面积.

【答案】（1）3

A π

=；（2）ABC S ?=【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.

(2) 为AD 为ABC ?的中线,所以2AD AB AC =+再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入

2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可.

【详解】

（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,

由余弦定理可得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=, 故3

A π

=

.

（2）因为AD 为ABC ?的中线,所以2AD AB AC =+, 两边同时平方可得2

2

2

42||||cos AD AB AC AB AC A =++?, 故2228c b bc =++. 因为2b c =,所以2,4c b ==.

所以ABC ?的面积1

sin 2

ABC S bc A ?==【点睛】

本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.

22．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：

（1）（i ）将22?列联表补充完整；

（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？

（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望. 附：

()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++ 【答案】（1）（i ）填表见解析（ii ）没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析 【解析】 【分析】

（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出2K 后可得；

（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2

7，ξ的取值为0,1,2,3，2~3,7B ξ?? ???

，

由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望． 【详解】 解（1）（i ）

（ii ）由22?列联表得()2

10035261425 5.229 6.63560404951

k ??-?=≈

所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”

（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2

7

，.

易知()33

225~3,,,0,1,2,37

77k k

k B P k C k ξξ-??????=== ? ? ?

??????

所以ξ的分布列为

ξ

0 1 2 3

P

125343 150

343 40343 8343

6

01233433433433437

E ξ=?

+?+?+?=． 【点睛】

本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到2~(3,)7

B ξ．

23．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=?，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．

（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．

（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21

21

，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

277

；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，2

||1EN =，使直线CN 与

平面BCF 所成的角正弦值为21

21

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，

OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --