大学物理第二十章题解上课讲义
第二十章 稳恒电流的磁场
20-1．如图所示，将一条无限长载流直导线在某处折成直角，P 点在折线的延长线上，到折线的距离为a .（1）设导线所载电流为I ，求P 点的B ．（2）当20A I =，0.05m a =，求B ．
解 （1）根据毕-萨定律，AB 段直导线电流在P 点产生的磁场0B =；BC 段是“半无限长”直导线电流，它在P 点产生的磁场为001224I
I B a a
μμππ==，方向垂直纸面向里．根
据叠加原理，P 点的磁感应强度
001224I
I B a a
μμππ=
=
方向垂直纸面向里．
（2）当20A I =，0.05m a =时
75141020410(T)22005
B .ππ--??=?=??
20-2．如图所示，将一条无限长直导线在某处弯成半径为R 的半圆形，已知导线中的电流为I ，求圆心处的磁感应强度B ．
解 根据毕-萨定律，两直线段导线的电流在O 点产生的磁感应强度0B =，半圆环形导线的电流在O 点产生的磁感应强度0122I
B R
μ=
．由叠加原理，圆心O 处的磁感应强度 04I
B R
μ=
方向垂直纸面向里．
20-3．电流I 若沿图中所示的三种形状的导线流过（图中直线部分伸向无限远）, 试求
各O 点的磁感应强度B
．
解 （a ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和14个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加
0000111(1)22224224
I I I I B R R R R μμμμπ
πππ=
++=+ ，方向垂直纸面向外．
（b ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于下面一条半无限长直线电流的磁感应强度和34个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加
000133(1)224242
I I I B R R R μμμπππ=+=+ ，方向垂直纸面向里．
（c ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和12个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加
000111222222I I I
B R R R μμμππ=++()024I R
μππ=+ ，方向垂直纸面向里．
*20-4．如图所示，电流I 均匀地流过宽为a 2的无限长平面导体薄板．P 点到薄板的
垂足O 点正好在板的中线上，设距离x PO =，求证P 点的磁感应强度B
的大小为
x
a a I B arctan 20πμ=
解 把薄板等分成无限多条宽为d y 的细长条，每
根细长条的电流d d 2I
I y a
=，可视为线电流；无限长
载流薄板可看成由无限多条无限长载流直导线构成．
y 处的细长条在P 点产生的磁感应强度为d B +，
y -处的细长条在P 点产生的磁感应强度为d B -，二者叠加为沿Oy 方向的d B ．所以P 点
的磁感应强度B 沿Oy 方向，B
的大小
02202cos 2a B x y θπ=+?022220
22a a x y x y
π=?
?++? 0220d 2a Ix y a x y μπ=+?001arctan 2a
Ix y a x x μπ=0arctan 2I a a x μπ
=
*20-5．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单
层线圈盖住半个球面．设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 处的B
．
解 在14圆周的圆弧ab 上，单位长度弧长的线圈匝数为
224N N
R R
ππ=
在如图θ处，d θ角对应弧长d l 内通过的电流
22d d d NI NI I l R θππ
==
此电流可视为半径为r 的圆环形电流圈，参见教材p80，此圆环形电流圈在O 处产生的
2222
00033
d sin 2d d sin d 22r I R NI NI B R R R
μμθμθθθππ=== 所以总磁感应强度 20022
00d sin d 4NI NI B B R R
π
πμμθθπ===??
20-6．如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过与直导线共面的矩形面积CDEF 的磁通量．
解 用平行于长直导线的直线把矩形CDEF 分成无限多个无限小的面元，距长直导线r 处的面元的面积为d d S l r =，设矩形CDEF 的方向为垂直纸面向里，则
d S
Φ=B S ???0d 2b
a
I l r r μπ=?
b 0d 2a Il r r μπ=?0ln 2Il b
a
μπ=
20-7．无限长同轴电缆的横截面如图所示，内导线半径为a ，载正向电流I ，圆筒形外导线的内外半径分别为b 和c ，载反向电流I ，两导线内电流都均匀分布，求磁感应强度的分布．
解 考虑毕-萨定律，又因同轴电缆无限长，电流分布具有轴对称性，所以磁感应线在与电缆轴线垂直的平面内，为以轴线为圆心的同心圆；B 沿圆周切向，在到轴线距离r 相同
处B 的大小相等，()B B r =．沿磁感应线建立安培环路L （轴线为圆心、半径为r 的圆），沿磁感应线方向积分．
在r c >区域，由安培环路定理
110d 2()0L
B l rB I I πμ?==-=?
可得10B =．在c r b >>区域，由安培环路定理
2222
22002222d 2()L r b c r B l rB I I I c b c b πππμμππ--?==-=--?
可得22
0222
2I c r B r c b
μπ-=-．在b r a >>区域，由安培环路定理 330d 2L
B l rB I πμ?==?
可得032I
B r
μπ=
．在a r >区域，由安培环路定理 22
440022d 2L r r B l rB I I a a ππμμπ?===?
可得0422Ir
B a
μπ=．
20-8．如图所示，厚度为2d 的无限大导体平板，电流密度J 沿z 方向均匀流过导体板，求空间磁感应强度的分布．
解 此无限大导体板可视为无限多个无限薄的无限大平板的叠加，参见习题20-4，可知，0y >区域B 沿Ox 负方向，0y <区域B 沿Ox 正方向．
选择如图矩形回路abcda ，ab 与cd 与板面平行、沿Ox 方向，长度为l ，与Oxz 面距离为r ．在r d >的板外区域，根据安培环路定理，有
0d 22L
B l B l dlJ μ?==?
外外
所以0B dJ μ=外．B 外与到板面的距离无关，说明板外为匀强磁场．
在r d <的板内区域，根据安培环路定理，有
0d 22L
B l B l rlJ μ?==?
内内
所以0B rJ μ=内．可表示为0B yJi μ=-内（d y d -<<）．
20-9．矩形截面的螺绕环如图所示，螺绕环导线总匝数为N ，导线内电流强度为I ．（1）求螺绕环截面内磁感应强度的分布；（2）证明通过螺绕环截面的磁通量为01
2
ln 2NIh D ΦD μπ=． 解 由于电流分布对过螺绕环中心的对称轴具有轴对称性，所以螺绕环截面内磁感应线在与对称轴垂直的平面内，为以对称轴为圆心的同心圆；B 沿圆周切向，在到轴线距离r 相同处B 的大小相等，()B B r =．在螺绕环截面内，沿磁感应线作安培环路（以r 为半径的圆，2122
D D r <<）
，由安培环路定理
0d 2L
B l rB NI πμ?==?
所以02NI
B r
μπ=
． 通过螺绕环截面的磁通量为