直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)

直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）

一.考点分析。

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定

直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离

.

直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得 到一个一元二次方程 ，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、

A =0、△ < 0.

⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为

（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q ? +黑2）2

或|AB|= Jl + p ? Ivi -73!=

+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐?

上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的

（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；

2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；

3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考

：一是建立函数，用求值域的方法求范围

二是建立不等式，通过解不等式求范围 .

二.考试探究

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一

.高考对圆锥曲线的考查，总体

上是以知识应用和问题探究为主， 一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）

2 2

椭圆C:务+^y

2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆C

a b

标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程

.

A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长

，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已

当直线斜率不存在是，则AB

=yi-y2.

PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4

C 的方程；

（I ）求椭圆

（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线

〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出

a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、

关于点M I 的方程.

B 点的坐

〖答案〗解法一：

22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为

a b

在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2

= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —

c2=4.

2

所以椭圆C 的方程为x

_

9

2

丄=1.

4

(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).

已知圆的方程为(x+2) 2

+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,

代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.

2

所以 Xj^—1

8k +9k =2

2

4 + 9k 2 解得k

9

8 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.

2 2=

(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且

即 8x-9y+25=0.

由①一②得

因为A 、 代入③得

所以直线 2

X 1

2

X 2

(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0

B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,

y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,

9 9

8

y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9

所求直线方程符合题意 .)

l 的方程为 (经检验

2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,

曲线C i 的内切圆半径为 迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

3

(I)求椭圆C 2的标准方程;

(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.

M 是I 上异于椭圆中心的点.

(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,

求点M 的轨迹方程;

(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于

与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然

C 2为焦点在X 轴的椭圆;

(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A

, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到

方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍

1 1 2

然成立；(2

)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I

由不等式放缩即可求出最小值 .

2ab=475,

〖答案〗(I)由题意得《 a b

2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .

J a 2

+b

2

3

2 2

因此所求椭圆的标准方程为

0+￡ = 1. 5 4

AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为

a, b 的方程组，曲线C i

(n) ( 1)假设

y =kx(k 工0), A(X A,Y A).

r 2

区+

解方程组｛5 4

l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2

所以OA 2

Y A

20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------

2 2 2

设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),

当且仅当4 +5k 2

=5 +4k 2

时等号成立，即k = ±1时等号成立,

40

此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =

40

.

9

2后2=245

.

9

所以MO

2

，即

x 2

+y

2

、2 20(1 +

k 2)

=扎 --------

因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y

1

一匚X ，

因此X 2 + y 2 =入2 r

20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y

、2 20(x 2 +y 2

) =h -------- 2 ------- T~

4y +5x

2

又 X 2 +y

2

H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂

4 5

又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.

2 2

综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.

4

5

(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得

2

X A

20 = 2，

4+5k 2

y A 2

20k

— 2

4 +

"2 2

z 丄=1, 由｛5 4

解得 I 1 L 1x,

2

20k 2

X M _5 +4k 2

2

y M

20 5 +

所以OA

2 =xA 中

2 y A 2

20(1+k 2

)

=

2~ 4+5k

AB 2

=4 OA

80(1+ k 2

) 4 +5k 2

，OM

2

20(1 + k 2

) = 2~ 5 + 4k

解法一：由于S A AMB

T AB 2

臥

2 2

80(1+k )汽 20(1 +

k )

400(1 +k 2)2

2 2

400(1+

= 2

2

f 2

2昭

「4 + 5k 2

+5 +

1600(1 +k 2)2 <40 f

—

2 2

— I

81(1 + k 2

)2

l 9 丿

J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB

2 9