全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常见辅助线精典题型
一、截长补短
1、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。
4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，
N
E
B
M
A
D
D O
E C B A
M
D
C
B
A
F E
D
C
B
A
连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．
6、如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，
求AMN ?的周长．
7、如图所示，在ABC ?中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.
8、 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
二、全等与角度
F
A
B
C
D
E
O
O
E
D
C
B
A
N
M D
C
B
A
E D
C
B
A
C
E
D
B
A
1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
2、如图所示，在ABC ?中，AC BC =，20C ∠=?，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=?，60ABM ∠=?，求NMB ∠.
3、 在正ABC ?取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，
求BED ∠.
D
C
B
A
N
M
C
B
A
D
E
C
B
A
4、如图所示，在ABC ?中，44BAC BCA ?∠=∠=，M 为ABC ?一点，使得30MCA ?∠=，16MAC ?∠=，求BMC ∠的度数.
5、如图：在ABC ?取一点M ，使得MBA ∠=30，10MAB ∠=.设80ACB ∠=，AC BC =，求AMC ∠.
6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？
M
C
A
B
M
C
B
A
N
C
D
E
B
M
A
参考答案：一、截长补短 1、BE CD BC +=，
理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ?≌BFO ?，∴12∠=∠，
∵60A ∠=?，∴1
901202
BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，
∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，
∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，
利用AAS 证得CDO ?≌CFO ?，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．
2、DM MN =.
过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =
又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．
3、 过点D 作BC 的垂线，垂足为E .
∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60° ∵DM =CM ∴CD =DM
∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75° ∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE
故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .
4、延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .
∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF
∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM
∵AB ∥CD
∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM
∴∠AMB =∠EAM
∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .
5、因为ABD ?、ACE ?是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，
则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ??≌，
则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．
在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ??≌，ACF AEO ??≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；
由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．
4321
F
D
O
E C
B A
G
N
E
B M A D
E M
D
C
B
A
M F
E D
C B A
6、如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.
在BDM ?与CDE ?中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ??≌，故MD ED =.
因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.
在MND ?与END ?中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ??≌，则NE MN =，所以AMN ?的周长为2.
7、如图所示，作BED ∠的平分线交BC 于F ，又过A 作AH EF ∥交BE 于G ，交BC 于H ，则知
1
2
EAG DEF BEF AGE BAC ∠=∠=∠=∠=∠，从而GE AE =.
又1
2
AGE BED CED ∠=∠=∠，则AGB CEA ∠=∠.
由ABE BAE BED BAC CAE BAE ∠+∠=∠=∠=∠+∠可得ABG CAE ∠=∠. 注意到AB CA =，故有ABG CAE ??≌，从而BG AE =，AG CE =， 于是BG GE =.
又由AH EF ∥，有BH HF =，12GH EF =，且AH HD
EF FD
=
. 而CED FED ∠=∠，从而11
22
CD EC AG AH GH AH HD FD EF EF EF EF FD -====-=-，
即11111
22222
CD HD FD HF FD BF FD BD =-=+=+=，故2BD CD =.
8、延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .
∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF ∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF
∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF
即AD 平分∠CDE .
二、全等与角度
1、如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .
由AC AB BD =+知AE AC =，
而60BAC ∠=，则AEC ?为等边三角形. 注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =，
F
A
B
C
D
E
O
O
E
D C
B
A
E
A
B C D
M
N
G
H F E
D C
B A
A
B D
E
F C
A
故AED ACD ??≌.
从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，
故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠. 所以20DEC DCE ∠=∠=，60
2080
ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=
【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.
在ABD ?和AED ?中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ??≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：
13
18012022
ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，
故80ABC ∠=?.
【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三
角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
2、过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .
连接PN ，易知APB ?、MKP ?均为正三角形. 因为50BAN ∠=?，AC BC =，20C ∠=?，
所以50ANB ∠=?，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=?， 则40PKN ∠=?，180608040KPN ∠=?-?-?=?， 故PN KN =. 从而MPN MKN ??≌.
进而有PMN KMN ∠=∠，1302
NMB KMP ∠=∠=?
3、如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =， 则ADC BDC ??≌， 故30BCD ∠=.
而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC ??≌， 故30BED BCD ∠=∠=.
4、在ABC ?中，由44BAC BCA ?∠=∠=可得AB AC =，92ABC ?∠=.
如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ， 则有30OAC MCA ?∠=∠=，
443014BAO BAC OAC ???∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ?
?
?
∠=∠-∠=-=， 所以BAO MAO ∠=∠.
又因为90903060AOD OAD COD ????
∠=-∠=-==∠，
E
D C
B A
D N
M
C
B
A
D
E
C
B
A
O
B
所以120AOM AOB ∠=?=∠.120BOM ∠=? 而AO AO =，因此ABO AMO ??≌， 故OB OM =.
由于120BOM ?∠=，
则180302BOM
OMB OBM ?-∠∠=∠==?，
故180150BMC OMB ??∠=-∠=
5、如图所示，ABC ?的高CH 与直线BM 交于点E ，则AE BE =. 而30
1020
EAM EAB MAB ∠=∠-∠=-=，
1
402
ACE ACB ∠=∠=，
(9040)3020EAC CAH EAB ∠=∠-∠=--=，
103040
AME MAB MBA ∠=∠+∠=+=，
由两角夹一边法则可知AME ACE ??≌， 因此AM AC =，
1
(180)70
2
AMC ACM CAM ∠=∠=-∠=
6、DM MN =.在AD 上截取AG AM =， ∴DG MB =，∴45AGM =∠
∴135DGM MBN ==?∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．
E
H
A
B
C
M
N
C
D
E
B M A