06至浙江省高等数学竞赛工科类试题
2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
一、
计算题（每小题12分，满分60分）
1、计算lim 1n x n x n e n →∞
??
??+-?? ???????
.
解: ??
????????-??????????? ??+=∞
→x x x n n e n x n 1lim ????
??????????????-???????
?????????? ??+=∞→11lim x x n x n e n x ne ????
??????????????-??
????????????-??? ??++=∞→111lim x x n x n e e n x ne x e
e n x ne x
n
x n -??? ??+=∞→1lim
n
x e
n x e x x
n
n x -??
? ??+=∞→-1lim 12()t
e t e x t t x -+=→-10121lim
()1
)1ln(11lim
21
0120
0t t t t
t e x t t x +-+?+=→- 2
02)1()
1ln()1(lim
t t t t t e x t x +++-=→
202)
1ln()1(lim
t
t t t e x t x ++-=→ t
t e x t x 2)1ln(11lim
020
+--=→
22x e x -=。
2、求48
81(1)
x x dx x x ++-?
. 解: 484824
2828411111(1)2(1)2(1)
x x x x x x dx dx dx x x x x x x ++++++==---?
??
242224211114(1)4(1)
x x x x dx dx x x x x ++++==--?? 3
111122411411A B C dx dx x x x x x x ??-- ???=++=++
? ?-+-+?? ?
??
?? 131ln(1)ln ln(1)422x x x C ??
=
--+-++????
311
ln(1)ln ln(1)848
x x x C =--+-++.
3、求2
2
1
1
0x y y e dy e dx x ??-??????
??.
解: 2
2
2
2
1
1
1111000x x y y y y y
e e dy e dx dy dx dy e dx x x ??-=-??????
??????
2
21
110
0x x
y y e
dx dy dy e dx x =-?
?
??
2
2
2
1
1
1
1
(1)2
x y x e e dx y e dy xe dx -=
--==
?
??. 4、求过(1,2,3)且与曲面3
()z x y z =+-的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令3
(,,)()F x y z x y z z =+--
则(,,)1x F x y z '=,2
(,,)3()y F x y z y z '=-,2(,,)3()1z F x y z y z '=---
令所求平面方程为: (1)(2)(3)0A x B y C z -+-+-=,
在曲面3
()z x y z =+-上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0,1}-, 则0A C -=
在曲面3()z x y z =+-上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3,4}-, 则340A B C +-=. 解得: A B C ==
即所求平面方程为: 6x y z ++=.
二、(15分)设3
()6
x
x f x e =-,问()0f x =有几个实根?并说明理由.
解: 当0x ≤, 3
06
x
x e >≥
当0x >, 0
0e >且x
e 的增长速度要比3
6
x 来得快!所以()0f x =无实根.
三、(满分20分)求3
1n n x ∞=?? ???
∑中20
x 的系数.
解: 当1x <时, 333
3
1111n n x x x x x ∞=??????==? ? ? ?--????
??∑
33
01122
n n x x x x ∞=''''????=?=? ? ?-????∑ 322
(1)2n n x n n x ∞
-==-∑ 故3
1n n x ∞=?? ???
∑中20
x 的系数为171.
四、(20分) 计算
C
xyds ?
,其中C 是球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线.
解： 2222()()2()C
C
C
x y z ds x y z ds xy yz zx ds ++=+++++?
??
而
2()0C
x y z ds ++=?
,
22223()2C
C
x y z ds R ds R π++==??, C
C
C
xyds yzds zxds ==?
??,
故
3
3
C
R xyds π=-
?
.
五、(20分)设12,,
,n a a a 为非负实数,试证:
1
sin sin n
k
k a
kx x =≤∑的充分必要条件为
1
1n
k
k ka
=≤∑.
证明：必要性 由于
1
sin sin n k k a kx x =≤∑,则1
sin sin n
k
k kx x
a x x
=≤
∑, 0x ≠
0011
sin sin lim lim 1n
n
k k x x k k kx x
a ka x x →→==?=≤=∑∑. 充分性;要证明
1
sin sin n
k
k a
kx x =≤∑,只需证明:
1
sin 1sin n
k
k a
kx
x
=≤∑,这里sin 0x ≠,
若sin 0x =,不等式显然成立;
即只需证明:
1
sin 1sin n
k
k kx
a x
=≤∑, 而11
sin sin sin sin n
n
k k
k k kx kx a a x x ==≤∑∑,11n
k k ka =≤∑ 故只要说明:
sin sin kx
k x
≤,即sin sin kx k x ≤, 当1k =时,显然成立;
假设当k n =时,也成立,即sin sin nx n x ≤;
当1k n =+时, sin(1)sin()sin cos sin cos n x nx x nx x x nx +=+=+
sin sin (1)sin nx x n x ≤+≤+
六、(15分)求最小的实数c ,使得满足
1
()1f x dx =?
的连续函数()f x 都
有
1
f dx c ≤?
.
解
:
1
111
)2()2()2f dx f dx t f t dx f t dx ≤=≤=?
???,
取2y x =,显然
1
()1f x dx =?
,
而11
24233
f dx ==?
=??, 取(1)n
y n x =+,显然1
()1f x dx =?
,
而
1
1
1
(1)
22,2
n
n f dx n dx n n +=+=?
→→∞+?
?, 故最小的实数2c =.
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题（每小题12分，满分60分） 1
、求
9.
解
:
9
551155==
1
111555u t du =+=
=-
312222
155
u u C =-+ C x x ++-+21
5235)1(5
2
)1(152。 2、求1120(1)(12)lim
sin x x
x x x x
→+-+.
解: 1
1
112200(1)(12)(1)(12)lim
lim
sin x
x
x
x
x x x x x x x
x
→→+-++-+=
011
222
01ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x x
x x x x x x x x x x x →??
????++=+--+-??????++??????
011
2220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x x
x x x x x x x x x x x x x →??????-++-++=+-+??????++?????
? 1
1
22200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim(1)lim(12)(1)2(21)x
x
x x x x x x x x x x x x x x →→????-++-++=+-+????++????
22
00(1)ln(1)2(21)ln(12)
lim
lim
2x x x x x x x x e e x x →→-++-++=- 00
00ln(1)2ln(12)
lim
lim 24x x x x e e x x →→-+-+=-
22e e e =-+=.
3、求p 的值,使2
2007()()0b
x p a
x p e dx ++=?
.
解:
2
2
2007()2007()
t x p
b
b p
x p t a
a p
x p e dx t e dt =+++++=
?
?
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: a p b p +=--, 解得: 2
a b
p +=-. 4、计算
22
22max{,}
,(0,0)a
b
b x
a y dx e dy a
b >>?
?.
解:
22222222max{,}
max{,}
a
b
b x a y b x a y D
dx e
dy e
d σ=?
???, 其中D 如右图
222222221
2
max{,}
max{,}
b x a y b x a y D D e
d e
d σσ=+????
22
22
1
2
a y
b x D D e d e d σσ=+??
??
22
22
a b b
y a
x a y b x b a dy e
dx dx e dy =+????
2222
00b a a y b x a b ye dy xe dx b a =
+?? 2222222200
11()()22b a a y b x e d a y e d b x ab ab =+?? 221
(1)a b e ab
=-. 5、计算2
()S
x y dS +??,其中S 为圆柱面224,(0x y +=≤解:
222
1()()2S
S S
x y dS x y dS ydS +=++?????? 1
42S
S
dS ydS =
+???? 8yz
D π=+??
8yz
D π=+??8π= 被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,
二、(20分)设12112
112
123456
32313n u n n n
=+
-++-++
+---, 111
12
3n v n n n
=
+++
++,求: (1)1010u v ;(2) lim n n u →∞.
解: (1)11
1232313n
n k u k k k =??=
+- ?--?
?∑ 12112
112
123456
32313n n n
=+-++-+
+
+---,
23111111
n
n
n n k k k v n k k k
=====-+∑∑∑ 1111111111
11123456
323132n
n n n n ????=+
++++++
++
++-+++ ? ?--?
???
31111
121132313n
n n n n k k k u v k k k k k ===??-=+--- ?--??∑∑∑
112
11033n
n k k k k k ==??=-
--= ???∑∑ 1n
v
u v ?=; (2) 111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞
→∞
→∞??
==++
+
?++?
?
11111lim 1221111n k n n n
n n n →∞??
?=+++ ? ?+
+++ ???
(图来说明积分上下) 21
11
lim 1n n k k n n
→∞==+∑ 2
01
ln 31dx x
==+?
. 三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为AA '、BB '的中点，E 为DB '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B 与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy
平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：
（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程；
（2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积. 解:
(2,2,0)
π
CE L :22224x y z π
--==
-- 旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z
则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-?
=+??
?
=+??
=???
， (0,0,)Q z
MQ NQ ===
化简得：所求的旋转曲面方程为：2
2
2
2
82z x y π+-=， （2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=
令0x =，解得在坐标面yoz 上的曲线方程为：2
2
2
82z y π
-=， 图中所求的旋转体的体积为：
2
40
V dz π
π=
?
2420
82z dz π
ππ??=+ ???
?
2
420
322z
dz π
ππ
=+?
222321283233
πππ=+=.
四、(20分) 求函数2222
(,,)x yz f x y z x y z
+=++,在222
{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值、最小值.
解： 222222222222222()2()222(,,)()()x x x y z x x yz xy xz xyz
f x y z x y z x y z ++-++-'==++++
2222232222222222
()2()2(,,)()()
y z x y z y x yz zx z yx y z
f x y z x y z x y z ++-++--'==++++ x
8
=
2222232222222222
()2()2(,,)()()z y x y z z x yz yx y zx z y
f x y z x y z x y z ++-++--'==++++
由于,x y 具有轮换对称性,令x y =, 0x =或0y z == 解得驻点: (0,,)y y 或(,0,0)x
对22
221(0,,)2x yz f y y x y z +==++, 2222
(,0,0)1x yz f x x y z
+==++, 在圆周2
2
2
1x y z ++=上,由条件极值得: 令2
2
2
2
(,,)(1)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+= (,,)20y F x y z z y λ'=+=
(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0,,(1,0,0),(1,0,0)-
1
(0,222
f =,
1
(0,
222
f -=-,
1
(0,,222
f -
-=,
1
(0,)222
f -
=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=; 在圆周2
2
2
4x y z ++=上,由条件极值得: 令2
2
2
2
(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+= (,,)20y F x y z z y λ'=+=
(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-
1
2
f=
,
1
2
f=-
,
1
(0,
2
f=
,
1
(0,
2
f=-,(2,0,0)1
f=,(2,0,0)1
f-=;
2
222
(,,)
x yz
f x y z
x y z
+
=
++
,在222
{(,,)14}
D x y z x y z
=≤++≤的最大值为1,最小值为
1
2
-.
五、(15分)设幂级数
n
n
n
a x
∞
=
∑的系数满足02
a=,
1
1
n n
na a n
-
=+-,1,2,3,
n =,求此幂级数的和函数.
证明：
()n
n
n
S x a x
∞
=
=∑111
1
111
()(1)
n n n
n n
n n n
S x na x a x n x
∞∞∞
---
-
===
'
?==+-
∑∑∑
000
()
n n n
n
n n n
a x nx S x nx
∞∞∞
===
=+=+
∑∑∑
而()
1
2
0000
1
1(1)
n n n n
n n n n
x
nx x nx x x x x x
x x
∞∞∞∞
-
====
''
????
'
=====
?
?--
??
??
∑∑∑∑,
即:
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,
求()()0
S x S x
'-=的通解: ()x
S x ce
=,
令()()x
S x c x e
=代入
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
得:
2
()()()
(1)
x x x
x
c x e c x e c x e
x
'
+-=
-
,
即: ()
2
11
()
(1)111
x
x x
x
x xe
c x dx xe dx xe dx
x e x x x
-
--
'
??'
==?=-
?
----
??
???
()
11
x x
x x
xe xe
e dx e c
x x
--
--
=+-=++
--
?
故
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
的通解为:
1
()
11
x
x x x
xe
S x e c e ce
x x
-
-
??
=++?=+
?
--
??
,
由于(0)0
S=,解得1
c=-, 故
n
n
n
a x
∞
=
∑的和函数1
()
1
x
S x e
x
=-
-
.
六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2
()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈, (1) 证明:2
121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
. (2) 若(0)1f =,证明(0)(),
f x
f x e x R '≥∈.
证明: (1) 要证明2
121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
, 只需证明
12121211
1
1ln ()ln ()ln ,,22
2
2f x f x f x x x x R ??+≥+?∈ ???,
也即说明()ln ()F x f x =是凹函数,
[]()
ln ()()f x f x f x ''=, [][]2
2
()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'??''==≥ ???
, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证. (2) 2()()(0)(0)2
F F x F F x x ξ'''=++
[]2
22()()()(0)
ln (0)(0)2()
x f x f x f x f f x x f f x ξ
='''-'=++
(0)f x '≥,
即: (0)(),f x
f x e
x R '≥∈.
2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) (
一.计算题 1、求x
x
x x x e e e sin 1
3203lim ???
?
?
?++→.
解: x
x
x
x
x x
x
x
x
x e e e e
e e sin 1320sin 1320331lim 3lim ???
?
??-+++=???
?
?
?++→→
x
e e e x x
e e e e
e e x
x x x x x x x x x x
x x e
e e e sin 1
30
sin 1
33
320323232lim 3lim ?++→?++?++→=???
? ??++=
2cos 3320
32lim e e
x
e e e x x
x x ==?
++→。
2、计算
?++dx x x )5sin()3cos(1
.
解:
??+++-+=++dx x x x x dx x x )5sin()3cos()]
3()5cos[(2cos 1)5sin()3cos(1 ?+++++++=
dx x x x x x x )
5sin()3cos()]
3sin()5sin()3cos()5cos(2cos 1 ???
???+++++++++=
??dx x x x x dx x x x x )5sin()3cos()]3sin()5sin()5sin()3cos()3cos()5cos(2cos 1 ???
???+++++=
??dx x x dx x x )3cos()3sin()5sin()5cos(2cos 1 ??????++-++=??dx x x d x x d )3cos()3cos()5sin()5sin(2cos 1 []C x x ++-+=
)3cos(ln )5sin(ln 2
cos 1
C x x +++=
)
3cos()5sin(ln 2cos 1。 法二：
??++=++dx x dx x x 2sin )4(2sin 2
)5sin()3cos(1
?
++++=dx x x 2sin )
4(tan 1)
4tan(22
2
，令4arctan ),4tan(-=+=t x x t
??
?++=++=+?
++=dt t t dt t t dt t t
t 12sin 212sin 22sin 22sin 2112sin 122
2222
??
?
?
??++??? ??-+=
dt t t 2sin 2cos 12sin 2cos 11
2sin 2
??
????? ?
?-+-++=dt t t 2sin 2cos 112sin 2cos 112cos 1 C x x +-+
++++=2
sin 2cos 1)4tan(2sin 2
cos 1)4tan(ln
2
cos 1。 3、设x x x f arcsin )(3
=，求)0()
2008(f
.
解: x x g arcsin )(=,则2
11)(x
x g -=
'
x t arcsin =，则3sin )(sin t t t f =
()
()
()
)
1(3
1
)
(3
0)
(3sin sin sin )
(sin -+==n n n n n n
n t C t t C t t dt
t f d
()
)
1(3
1
sin 0)(sin =-=+=t n n t n n t C dt t f d
()
)
2007(3
2008
)2008(sin 2008)(sin ===t t t
dt t f d
()
)
2006(3
2cos 320072008=??=t t t
()
)
2005(3
43sin 9cos 6200620072008=-???=t t t t t
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: a p b p +=--, 解得: 2
a b
p +=-. 4、计算
22
22max{,}
,(0,0)a
b
b x
a y dx e dy a
b >>?
?.
解:
22
2222
22max{,}
max{,}
a
b
b x
a y
b x
a y D
dx e dy e d σ=?
???, 其中D 如右图
222222221
2
max{,}
max{,}
b x a y b x a y D D e
d e
d σσ=+????
22
22
1
2
a y
b x D D e d e d σσ=+????
22
22
a b b
y a
x a y b x b a dy e
dx dx e dy =+????
2222
00b a a y b x a b ye dy xe dx b a =+?? 222222220011()()22b a a y b x e d a y e d b x ab ab
=+?? 221
(1)a b e ab
=-. 5、计算2
()S
x y dS +??,其中S 为圆柱面224,(0
x y +=≤解:
2
221
()()2S
S
S
x y dS x y dS ydS +=++?????? 1
42S
S
dS ydS =
+???? 8yz
D π=+??
8yz
D π=+??8π= 被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称, 二、(20分)设12112
112
123456
32313n u n n n
=+
-++-++
+---, 111
12
3n v n n n
=
+++
++,求: (1)1010u v ;(2) lim n n u →∞.
解: (1)1
1
1
232313n
n k u k k k =??
=
+-
?--??
∑ 12112112
123456
32313n n n
=+-++-+
+
+---, 23111111
n
n
n n k k k v n k k k
=====-+∑∑∑ 1111111111
11123456
323132n
n n n n ????=+
++++++
++
++-+++ ? ?--?
???
31111
121132313n
n n n n k k k u v k k k k k ===??-=+--- ?--??∑∑∑
112
11033n
n k k k k k ==??=-
--= ??
?∑∑
1n
v
u v ?
=; (2) 111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞
→∞
→∞??
==++
+
?++?
?
11111lim 1221111n k n n n
n n n →∞??
?=+++ ? ?+
+++ ???
(图来说明积分上下) 21
11
lim 1n n k k n n
→∞==+∑ 2
01
ln 31dx x
==+?
. 三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为AA '、BB '的中点，E 为DB '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B 与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：
（3） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程；
（4） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积. 解:
CE L :
则000(,,)N x y z 的坐标为：0022z y z z π?
=+??
=???
， (0,0,)Q z
MQ NQ
===
化简得：所求的旋转曲面方程为：
2
22
2
8
2
z
x y
π
+-=，
（2）(0,0,4)
Aπ，故过(0,0,4)
Aπ垂直z轴的平面方程为：4
zπ
=
令0
x=，解得在坐标面yoz上的曲线方程为：
2
2
2
8
2
z
y
π
-=，
图中所求的旋转体的体积为：
2
4
V dz
π
π
=?
2
4
2
8
2
z
dz
π
π
π
??
=+
?
??
?
2
42
32
2
z
dz
π
π
π
=+
?
22
2
32128
32
33
ππ
π
=+=.
四、(20分) 求函数
2
222
(,,)
x yz
f x y z
x y z
+
=
++
,在222
{(,,)14}
D x y z x y z
=≤++≤的最大值、最小值.
解：
222222
22222222
2()2()222
(,,)
()()
x
x x y z x x yz xy xz xyz
f x y z
x y z x y z
++-++-
'==
++++
22222322
22222222
()2()2
(,,)
()()
y
z x y z y x yz zx z yx y z
f x y z
x y z x y z
++-++--
'==
++++
22222322
22222222
()2()2
(,,)
()()
z
y x y z z x yz yx y zx z y
f x y z
x y z x y z
++-++--
'==
++++
由于,x y具有轮换对称性,令x y
=, 0
x=或0
y z
==
解得驻点: (0,,)
y y或(,0,0)
x
对
2
222
1
(0,,)
2
x yz
f y y
x y z
+
==
++
,
2
222
(,0,0)1
x yz
f x
x y z
+
==
++
,
8
=
在圆周222
1x y z ++=上,由条件极值得: 令2
2
2
2
(,,)(1)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+= (,,)20y F x y z z y λ'=+=
(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0,,(1,0,0),(1,0,0)-
1
(0,222
f =,
1
(0,
222
f -=-,
1
(0,,222
f -
-=,
1
(0,)222
f -
=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=; 在圆周2
2
2
4x y z ++=上,由条件极值得: 令2
2
2
2
(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+= (,,)20y F x y z z y λ'=+=
(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-
1
2f =
,12f =-,1
(0,2f =, 1
(0,2
f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;
2222
(,,)x yz f x y z x y z
+=++,在222
{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12
-
.
五、(15分)设幂级数0n
n n a x
∞
=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,
n =,求此幂级
数的和函数.
证明：0
()n
n n S x a x
∞
==
∑1
1
111
1
1
()(1)n n n n n n n n S x na x
a x
n x ∞
∞
∞
----==='?==+-∑∑∑
()n
n
n n n n n a x nx
S x nx ∞
∞
∞
====
+=+∑∑∑
而
()1
2
0011(1)n
n n
n n n n n x nx
x nx
x x x x x x x ∞
∞
∞
∞-====''????'===== ? ?--????
∑∑∑∑, 即: 2
()()(1)
x
S x S x x '-=
- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, 求()()0S x S x '-=的通解: ()x
S x ce =, 令()()x
S x c x e =代入2
()()(1)
x
S x S x x '-=
-得: 2
()()()(1)x x x x
c x e c x e c x e x '+-=
-,
即: ()211()(1)111x x x x x xe c x dx xe dx xe dx x e x x x ---'??'==?=- ?----??
??? ()11x x x
x xe xe e dx e c x x
----=+-=++--? 故2
()()(1)x S x S x x '-=-的通解为: 1()11x x
x x xe S x e c e ce x x --??=++?=+ ?--??
, 由于(0)0S =,解得1c =-, 故
n n n a x ∞
=∑的和函数1
()1x S x e x
=
--.
六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2
()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈, (3) 证明:2
121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
.
(4) 若(0)1f =,证明(0)(),
f x
f x e x R '≥∈.
证明: (1) 要证明2
121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
,
只需证明
12121211
1
1ln ()ln ()ln ,,22
2
2f x f x f x x x x R ??+≥+?∈ ???,
也即说明()ln ()F x f x =是凹函数,
[]()
ln ()()f x f x f x ''=, [][]2
2
()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'??''==≥ ???
, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证. (2) 2
()()(0)(0)2
F F x F F x x ξ'''=++
[]2
22()()()(0)
ln (0)(0)2()
x f x f x f x f f x x f f x ξ
='''-'=++
(0)f x '≥,
即: (0)(),f x
f x e
x R '≥∈.
2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
一、计算题（每小题12分，满分60分）
1.求极限
解 ===
==
2．计算不定积分
解==
3．设，求解
=
4．设，，求此曲线的拐点
解，
，
令得