排列组合及二项式定理知识点及复习题目

排列组合及二项式定理知识点复习

分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，

在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件

事共有

种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有

种不同的方法

（分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.）

3．排列的概念：从n 个 元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号

表示

5．排列数公式：m

n A =

（,,m n N m n *∈≤）或m

n A =

6 阶乘：!n 表示正整数1到 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!= ．

7.组合的概念：一般地，从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

8．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号

表示． 9．组合数公式：m m n n

m m A C A == 或m

n C =

),,(n m N m n ≤∈*且

10 组合数的性质：m

n C =

．规定：10=n C ； m

n C 1+＝

11．二项式定理及其特例： （1）()()n

a b n N *+=∈，

（2）1

(1)1n

r r n n n x C x C x x +=++

++

+.

12．二项展开式的通项公式：1r T += (求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的

限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 )

13 二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数

表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

14．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n

C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m

n n

C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n

n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C

-，

12

n n

C

+取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=+++++，

令1x =，则0122n r

n

n n n n n

C C C C C =+++

++

+ 二、解题思路：

解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西

入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台

组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）

插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)

捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”

元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）

排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）

一、两个计数原理

基础自测

1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为

A.6

B.5

C.3

D.2

2.设集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，则方程

22

1

x y

m n

+=表示焦点位于x轴上的椭圆有

A.6个

B.8个

C.12个

D.16个

3.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、 C、

D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的

这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进

行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相

邻维修点的调动件次为n）为（）

A.15

B.16

C.17

D.18

4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）

A.7

B.64

C.12

D.81

5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

题型分类深度剖析

题型一分类加法计数原理

【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

智能迁移1 同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有种不同的取法.

题型二分步乘法计数原理

【例2】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:

(1)P可表示平面上多少个不同的点?

(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?

(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?

智能迁移2 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.

（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

题型三两个计数原理的综合应用

【例3】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数.

智能迁移3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并

使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色

方法总数.

方法与技巧

1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数

的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

2.混合问题一般是先分类再分步.

3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.

4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.

失误与防范

应用两种原理解题：

（1）分清要完成的事情是什么？

（2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？

“类”间互相独立，“步”间互相联系；

（3）有无特殊条件的限制；

（4）检验是否有重漏.

二、排列组合：

基础自测

1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）

A.9个

B.24个

C.36个

D.54个

2.已知{1，2}?X?{1,2,3,4,5}，满足这个关系的集合X共有（）

A.2个

B.6个

C.4个

D.8个

3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）

A.25种

B.35种

C.840种

D.820种

4.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A.85

B.56

C.49

D.28

5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A.36种

B.48种

C.72种

D.96种

题型一排列问题

【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

探究提高排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.

知能迁移1用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.

题型二组合问题

【例2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.

探究提高解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.

知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.

题型三排列、组合的综合应用

【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.

知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

方法与技巧

1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.

2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.

3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案

的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.

4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.

失误与防范：要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数. 基础自测

1.二项式2(2)a b +展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为 （ ）

A.24

B.18

C.16

D.6

2.在二项式 251()x x

- 的展开式中，4x 含的项的系数是 （ ）

A.-10

B.10

C.-5

D.5

3.若对于任意实数x,有x 3

=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)

3

,则a 2的值为 （ ）

A.3

B.6

C.9

D.12

4.在2

1()n

x x

-的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是

（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

5.若5(12)2a b +=+

(a 、b 为有理数)，则a+b=

（ ）

A.45

B.55

C.70

D.80

题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】在二项式41()2n x x

+

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项

和二项式系数最大的项.

知能迁移1 已知223()n x x -的展开式的二项式系数和比（3x-1）n

的展开式的二项式系数和大992.求 21

(2)n

x x

-的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项. 题型二 求展开式中各项系数之和

【例2】已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7.求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7;(3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.

知能迁移2 设100(23)x -=a 0+a 1x+a 2x

2

+…+ a 100x 100,求下列各式的值：

(1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99;

(3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|.

题型三二项式定理的综合应用

【例3】（1）求证：4×6n+5n+1-9是20的倍数（n∈N*）；

（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？

知能迁移3 求证：（1）32n+2-8n-9能被64整除（n∈N*）；

（2）3n>(n+2)·2n-1（n∈N*，n>2）.

方法与技巧

1.通项公式最常用，是解题的基础.

2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性.

3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

4.性质1是组合数公式的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.

5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.

6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.

失误与防范

1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.

2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.

3.通项公式是第r+1项而不是第r项.