人教培优二次函数辅导专题训练含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．

()1求y 与x 的函数关系式；

()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】

()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数

关系式；

()2先根据利润=销售数量(?销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，

也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】

解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠， 函数图象经过点()40,200和点()60,160，

{

40200

60160k b k b +=∴+=，解得：{

2

280k b =-=，

y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．

()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．

试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，

∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．

20-<，

∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，

80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，

答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．

2．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；

②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3．（2）当t=2时，点M 的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P 点到直线BC 的距离的最大值为

2

8

，此时点P 的坐标为（

32，15

4）． 【解析】

【分析】（1）由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，由点A 、B 的坐标可得出对称轴l 为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点P 、M 的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE 可得出此时不存在符合题

意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得

10

930

b c

b c

-++=

?

?

-++=

?

，解得：

2

3

b

c

=

?

?

=

?

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得

30

3

m n

n

+=

?

?

=

?

，解得：

1

3

m

n

=-

?

?

=

?

，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=1

2

PF?OB=﹣

3

2

t2+

9

2

t=﹣

3

2

（t﹣

3

2

）2+

27

8

；

②∵﹣3

2

＜0，

∴当t=3

2时，S取最大值，最大值为

27

8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=2232OB OC

+

=，

∴P 点到直线BC 的距离的最大值为272

92832

?=， 此时点P 的坐标为（

32

，15

4）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．

3．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，

2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.

（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.

（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.

②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或3

2

2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】

（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或

2a >时，()2

2

2

313224AB b b a a a ?

?=--=-+=-- ??

?，所以当a ≤32时，AB 的长度随

着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2

2231

+3224

AB b b a a a ?

?=--=--=--+

?

?

?

，当

32a ≥

时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取3

2

2a ≤<． 综上，当1a <或3

2

2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】

（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）

点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，

∴2b a =-．

2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()

2

,B a b -，

①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，

∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．

②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．

当1a <或2a >时，()2

2

2

313224AB b b a a a ??=--=-+=-- ??

?． ∴当a ≤

3

2

时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．

当12a <<时， ()2

2

2

31+3224AB b b a a a ?

?=--=--=--+ ??

? ．

∴当3

2

a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取

3

2

2a ≤<． 综上，当1a <或3

2

2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】

本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论

4．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；

（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,3??- ???

. 【解析】 【分析】

()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐

标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；

()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=

-+-，

()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分

AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】

解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2

y x bx c =-++中，

得：{

10

3b c c --+==，解得：{

2

3b c ==，

∴抛物线的解析式为223y x x =-++．

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．

当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，

∴点B 的坐标为()3,0．

抛物线的解析式为2

2

23(1)4y x x x =-++=--+，

∴抛物线的对称轴为直线1x =．

设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{

30

3k d d +==，解得：{

1

3k d =-=，

∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

当1x =时，32y x =-+=，

∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．

()3设点M 的坐标为()1,m ，

则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，

()22[11](0)AM m =--+-．

分三种情况考虑：

①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，

解得：11m =，22m =，

∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；

②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，

解得：83

m =

， ∴点M 的坐标为81,3??

???

；

③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，

解得：23

m =-

， ∴点M 的坐标为21,.3?

?- ??

?

综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,.3??- ???

【点睛】

本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．

5．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；

(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34

m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11

b c =??=?；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161

393a -≤≤- 【解析】 【分析】

（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；

（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2

y ax bx c =++，可得

22

(1)(1)a m b m c a

am bm c b

?++++=?++=?，化简即可得出；

（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得2

1

4a m m

=

+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.

【详解】

解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )

由题意，得4211b c b c b -++=-??-++=?，解，得1

1b c =??

=?

(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上

22

(1)(1)a m b m c a am bm c b ?++++=?++=?①

②

①－②得，2am b b +=-，∴b am =-

把b am =-代入②，得c am =-

(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=

0a <，221

41,4am am a m m

∴+=∴=

+

把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-

34m ≤-，314

m ∴-≤≤-

224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大

239

3416

m m ∴-≤+≤-

216113943

m m ∴-≤≤-+ 即161393a -

≤≤- 【点睛】

本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.

6．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x 2x 3=--+.

（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.

∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.

（3）①∵抛物线2

y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），

∴直线AD 的解析式为y=2x+6

∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2

2

EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.

∴

()

22DEF AEF 1111

S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3

2222

??=+=??+??=??=?---?=---.

∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2

2S m 4m 3m 21=---=-++，

∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

7．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9

4

；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得123a b c =??

=-??=-?，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

303k b b +=??=-?，解得1

3

k b =??

=-?， BC 的解析式为y=x ﹣3，

设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣

32）2+9

4

，

当n=

32时，PM 最大=94

； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；

当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；

综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

8．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；

（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （3

7

-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】

试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；

（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．

试题解析：（1）当2

23y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，

2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．

当2

23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．

∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3

k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=3

7

-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（3

7

-

，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1

{3

a c ==，∴直线AC 的解

析式为y=x+3．

假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）

∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．

9．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数

2

15

y x =

+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．

（1）点D 的坐标是 ______；

（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ?与DAB ?相似．

①当27

5

n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似，请直接写出n 的取

值范围 ______．

【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155

n <<. 【解析】 【分析】

（1）直接用顶点坐标公式求即可；

（2）由对称轴可知点C （2，

9

5），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132

，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，27

5

），可求

，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不

平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，21

5

），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜

21

5

. 【详解】

（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，

9

(2,)5

C ∴，

由已知可求5(,0)2

A -，

点A 关于2x =对称点为13

(

,0)2

， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，

(5,3)B ∴，

①当275n =

时，27(2,)5

N ，

DA ∴=

，182DN =，365CD =

当PQ AB ∥时，PDQ

DAB ??，

DAC DPN ??，

DP DN DA DC

∴=，

DP ∴=

当PQ 与AB 不平行时，DPQ

DBA ??，

DNQ

DCA ∴??，

DP DN

DB DC

∴

=，

DP ∴=

综上所述DP =

②当PQ AB ∥，DB DP =时，

35DB =，

DP DN

DA DC

∴

=， 245

DN ∴=， 21(2,

)5

N ∴， ∴有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似时，

92155

n <<； 故答案为

921

55

n <<； 【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．

10．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ． （1）求点C 的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为D ．

①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．

【答案】（1）点C （2，）；（2）①y ＝x 2－x ； ②y ＝－x 2＋2x ＋． 【解析】

试题分析：（1）求得二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 对称轴为直线x ＝2，把x ＝2代入y ＝x 求得y=，即可得点C 的坐标；（2）①根据点D 与点C 关于x 轴对称即可得点D 的坐标，

并且求得CD的长，设A（m，m），根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达

式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，

根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.

试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝2．

当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.

设A（m，m）（m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.

∴y＝x2－x.

②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，

AC＝＝（2－m），

∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.

由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A（－2，－），CD＝5.

若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），

由A（－2，－）、D（2，－）得解得

∴y＝x2－x－3.

若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），

由A（－2，－）、D（2，）得解得

∴y＝－x2＋2x＋.

考点：二次函数与一次函数的综合题.