七年级数学培优平行线四大模型

平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但就是,由于直线无限延伸,检验它们就是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线就是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.

判定方法l:

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简称:同位角相等,两直线平行.

判定方法2:

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

简称:内错角相等,两直线平行,

判定方法3:

两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

简称:同旁内角互补,两直线平行,

如上图:

若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);

若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);

若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).

另有平行公理推论也能证明两直线平行:

平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

2、平行线的性质

利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同

旁内角也有相应的数量关系,这就就是平行线的性质.

性质1:

两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.

简称:两直线平行,同位角相等

性质2:

两条平行线被第三条直线所截,内错角相等、

简称:两直线平行,内错角相等

性质3:

两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.

简称:两直线平行,同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型

模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;

结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD、

模型二“猪蹄”模型(M模型)

点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;

结论

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;

结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD、

模型四“骨折”模型

·

点P在EF左侧,在AB、CD外部

“骨折”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;

结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD、

巩固练习平行线四大模型证明

（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°

、（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.

(3) 已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP、

（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF、

模块一平行线四大模型应用

例1

（1）如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .

(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数就是.

(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= 、

(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .

练

(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为.

(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C.则∠C= 、

例2

如图,已知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE,求∠C、∠F的关系、