推理与证明易错点剖析.

推理与证明易错点剖析

合情推理与证明是本章的主力军，学习它们对于提高同学们的逻辑思维能力和创新意识都具有不可替代的作用．但在两类推理的应用过程中，容易出现各种不同的错误，本文将合本章中经常出现的错误进行归类分析，以提高同学们应用它们处理问题的能力．

一．归纳的不完全性出错

例1、已知x>0，由不等式221442,3,22x x x x x x x

+≥+=++≥，启发我们可以推广

结论1()n m m n n N x

*

+

≥+∈，则m=_________. 错解：我们根据题目给出的规律，根据给出的规律再写出几个式子：

34816

4,5,2222222x x x x x x x x x

+++≥++++≥，显然通过处理后的式子的分子与分母都要约去。因此m 的值等于前面分解的2

x 的系数的积，即2.n

m =

剖析：虽然对归纳有了较好的理解，但忽视了一些细节，各式中x 的系数和应为1，

即 1.n

n n x x x n n n n

n x

++++≥+个

正解：.n

n

二.推理的不周到

例2.将正奇数按下表排成5列，则数2009所在的位置为（ ）

A 、第251行，第4列

B 、第251行，第5列

C 、第252行，第4列

D 、第252行，第5列

错解：由于2009=2×1005-1，那么2009是第1005个正奇数，由于每一行有四个奇数，而1005=4×251+1，那么2009在第252行，而2009又是这一行中的第一个数，根据规律，奇数行的数从左到右是从小到大，而偶数行的数从右到左的数是从小到大，那么2009在第252行，第5列，故选D.

剖析：在具体问题的推理过程中，往往要结合它们的条件或题目的图形、表格等加以辅助处理。而上述错误在于没有正确周到地处理表格中对应数的规律，其中把“奇数行的第1列是空的，偶数行的第5列是空的”这个重要的条件遗漏了，从而导致判断位置的错误。

正解：由于2009=2×1005-1，那么2009是第1005个正奇数，由于每一行有四个奇数，而1005=4×251+1，那么2009在第252行，根据规律，奇数行的第1列是空的，偶数行的第5列是空的，那么第252行的第5列是空的，即2009在第4列，故选C.

三. 盲目类比

例

3、在等差数列

}{n a 中，若0

10=a ，则有等式

n a a a a ++++ 321)

,19(19321*

-∈<++++=N n n a a a a n 成立，类比性质，相应地：在等比数

列}{n b 中，若19=a ，则有等式_________成立。

错解：类比给出的等式n b b b b ++++ 321),19(19321*

-∈<++++=N n n b b b b n 或n b b b b 321).,19(19321*

-∈<=N n n b b b b n

剖析：忽略了“类比法”的自身局限性：类比事物间只是在某方面的相同或相似，甚至是在某些特定条件下的相同或相似，而不能泛泛认为二者的所有属性都可以不加任何约束的一一对应。“限制不明”的“类比”，要注意将二种的概念、性质等相混淆，造成知识的负迁移，导致出错。

正解：等差数列}{n a 中，若0=k a ，则有等式

222121--+--++=+n k n n k n a a a a 0=+==k k a a ，所以有

n a a a a ++++ 321

),12((122121*--++∈-<+++++++=N n k n a a a a a a n k n n n ，

当010=a ，有等式n a a a a ++++ 321),19(19321*

-∈<++++=N n n a a a a n 成立。从而对等比数列}{n b 中，若1=k b ，则有n b b b 21).,12(1221*

--∈-<=N n k n b b b n k

当k=9时，n b b b 21).,17(1721*

-∈<=N n n b b b n

四. 演绎推理结构出错 例4、如图所示，已知S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ，求证：AB ⊥BC

错解：因为平面SAB ⊥平面SBC ，且BC ?平面SBC ，所以BC ⊥平面SAB ， 故AB ⊥BC.

剖析：上述证法错误在于使用的大前提“如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线垂直于另一个平面”是错误的，而使用的大前提应该是“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面”。

正解：过A 点作直线AE ⊥SB 于E ，因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，所以AE ⊥平面SBC ，所以SB ⊥AE ，又因为SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，故AB ⊥BC.