南京市秦淮区2015年中考二模数学试卷(含答案)

江苏省南京市秦淮区2015年中考二模数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符

合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卷．相应位置．．．．上） 1．－1

2的倒数是

A ．2

B ．1

2

C ．－2

D ．－12

2．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．x

B ．2x

C ．x

－1

D ．2x －

1

3．下列函数图像中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

4．□ABCD 中，CE 平分∠BCD ．若BC ＝10，AE ＝4，则□ABCD 的周长是 A ．28 B ．32

C ．36

D ．40

5．为了说明命题“当b ＜0时，关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是 A ．b ＝2

B ．b ＝3

C ．b ＝－2

D ．b ＝－3

6．如图，⊙O 的半径为1，A 为⊙O 上一点，过点A 的直线l 交⊙O 于点B ，将直线l 绕点A 旋转180°，当AB 的长度由1变为3时，l 在圆内扫过的面积为A ．π6

B ．π

3

C ．π3 或 π

2＋ 3

D ．π6 或 π2＋ 3 2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，

请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．

上） 7．某时刻在南京中华门监测点监测到PM 2.5的含量为65微克/米3，即0.000065克/米3，将0.000065用科学记数法表示为 ▲ ．

A

B

O

A

B

D

C

（第4题）

E

（第9题）

A

B

C

D

E 1

8．计算8－6×

1

3

的值是 ▲ ． 9．如图，∠ECB ＝92°，CD ∥AB ，∠B ＝57°，则∠1＝ ▲ °．

10．根据不等式的基本性质，若将“6

a ＞2”变形为“6＜2a ”，则a 的取值范围为 ▲ ．

11．为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区20户家庭的月用水量，数据见下表：

这20户家庭平均月用水量是 ▲ m 3．

12．如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ．若∠A ′DC ＝90°，

则∠A ＝ ▲ °．

13．如图，⊙O 是△ABD 的外接圆，AB ＝AD ，点C

在⊙O 上，若∠C

14．如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是（3，1），点C 的横坐标是2

15形．若大正六边形的面积为S 1，小正六边形的面积为S 2，则 S 1

S 2

值是 ▲ ．

16.如图，△ABC 和△BOD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠BDO ＝90°，且点A 在反比例函数 y ＝k

x

（k ＞0）的图像上，若OB 2－AB 2＝10，则k 的值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）

（第16题）

（第15题）

B

A

C

D B' A'

（第12题）

（第13题）

17．（6分）解不等式组?

????2x －1＞－5，

4－x 3≥x ＋12，并写出不等式组的整数解．

18．（6分）化简：1－a －2a ÷a 2－4a 2＋a

．

19.（8分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．

（1）作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点D ，连接CD ，分别作∠ADC 、∠BDC 的平分线，交AC 、

BC 于点E 、F （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：四边形CEDF 是矩形．

20.（8分）小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子， 其中2条为蓝色、1条为棕色．

（1）小明任意拿出1条裤子，是蓝色裤子的概率是 ▲ ；

（2）小明任意拿出1件上衣和1条裤子，求上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．

（第19题）

A

C

21．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，某校九年级准备购买一

批运动鞋供学生借用，现从九年级各班随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）接受随机抽样调查的学生人数为 ▲ ，图①中m 的值为 ▲ ； （2）在本次调查中，学生鞋号的众数为 ▲ 号，中位数为 ▲ 号；

（3）根据样本数据，若该年级计划购买100双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？

22．（8分）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年10000台提高到14400台．求该产品产量平

均每年的年增长率．

34号

35号 36号

37号 38号 九年级抽样学生鞋号条形统计图 九年级抽样学生鞋号扇形统计图

35号 30% 34号

m %

10% 38号

37号 36号 20%

25% 图①

图②

（第21题）

23．（8分）如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．

（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是▲；（填写所有符合条件的序号）

①AC＝13；②tan∠ACB＝12

5；③连接AC，△ABC的面积为126．

（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

24．（8分）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．

根据图像解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是▲分钟，清洗时洗衣机中的水量是▲升；

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．

①求排水时y与x之间的表达式；

②洗衣机中的水量到达某一水位后13.9分钟又到达该水位，求该水位为多少升？

25．（8分）已知二次函数y＝(x－1) (x－a－1)（a为常数，且a＞0

（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图像总经过x轴上一定点；

（2）设该函数图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，△ABC的面积为1．

①求a的值；

②D是该函数图像上一点，且点D的横坐标是m，若S△ABD＝1

8S△ABC，直接写出m的值．（第24题）

A

B M

（第23题）

26．（9分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB

⌒ 的中点，延长AC 至点D ，使AC ＝CD ，DB 的延长线交CE 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点M ，连接BM ． （1）求证：DB 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为2，E 是OB 的中点，求BM 的长．

27．（11分）在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．

（1）下列三角形是倍边三角形的是（ ▲ ） A ．顶角为30°的等腰三角形

B ．底角为30°的等腰三角形

C ．有一个角为30°的直角三角形

D ．有一个角为45°的直角三角形

（2）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 是AB 的中点．

求证：△DCE 是倍边三角形；

（3）如图②，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝6，若点D 在边AB 上（点D 不与A 、B 重

合），且△BCD 是倍边三角形，求BD 的长．

（第26题）

A

B

C

D

E

①

A

C

②

参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题

二、填空题（每小题2分，共计20分）

7．6.5×10－58． 2 9．35 10．a＜0 11．10 12．55

13．38° 14．（5，1＋6） 15．4

3

16．5

三、解答题（本大题共11小题，共计88分）

17．（本题6分）

解：由①得，x ＞－2．………………………………………………………… 2分

由②得，x ≤1． ……………………………………………………… 4分 ∴－2＜x ≤1．…………………………………………………………… 5分 ∴不等式组的整数解为－1，0，1．…………………………………… 6分

18．（本题6分）

解：原式＝1－a －2a ·a (a ＋1)

(a ＋2)( a －2)

…………………………………………… 3分

＝1－a ＋1a ＋2 …………………………………………………………… 4分

＝

1

a ＋2

． ………………………………………………………………6分 19．（本题8分）

解：（1）画图正确．…………………………………………………………… 4分 （2）由题意得，点D 是AB 的中点．

∵∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝BD ＝1

2AB . ………………………

5分

在△ACD 中，∵CD ＝AD ，ED 平分∠ADC ， ∴ED ⊥AC ．即∠CED ＝90°．

同理∠DFC ＝90°．……………………7分 ∵∠ACB ＝∠CED ＝∠DFC ＝90°， ∴四边形CEDF 是矩形．…………… 8分

20．（本题8分）

解：（1）2

3

．…………………………………………………………………… 2分

（2）小明任意拿出1件上衣和1条裤子，所有可能出现的结果有：红蓝、红蓝、红棕、蓝

蓝、蓝蓝、蓝棕，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“上衣和裤子恰好都是蓝色’”（记为事件A ）的结果有2种，所以P(A )＝1

3

．…………………………………………………………… 8分 21．（本题8分）

解：（1）40，15．…………………………………………………………… 2分 （2）35，36．…………………………………………………………… 4分 （3）根据题意得：100×30%＝30（双），建议购买35号运动鞋30双．………8分

22．（本题8分）

解：设该产品产量平均每年的增长率为x ．

由题意可得：10000(1＋x )2＝14400．……………………………………4分

A C

A

B

C

D

E

F

解得：x 1＝20%，x 2＝－220%（舍去）．………………………………7分 答：该产品的该产品产量平均每年的增长率为20%．……………… 8分

23．（本题8分）

解：（1）②③（每个1分，多写不得分）…………………………………… 2分 （2）方案一：选②

作AD ⊥BC 于D ，……………………………

3分

则∠ADB ＝∠ADC ＝90°．

在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，

∴AD ＝AB ·sin B ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16．……………………………5分 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，

∴CD ＝AD tan ∠ACB ＝5．…………………………………………………7分

∴BC ＝BD ＋CD ＝21．………………………………………………… 8分 方案二：选③

作CE ⊥AB 于E ，则∠BEC ＝90°．……………………………………3分 由S △ABC ＝1

2AB ·CE 得CE ＝12.6．………………………………………5分

在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°， ∴BC ＝CE

sin B

＝21．……………………8分 24．（本题8分）

解：（1）4；40．………………………………………………………………… 2分

（2）①y ＝40－19(x －15)，即y ＝－19x ＋325；……………………… 4分

②设洗衣机中的水量第一次到达某一水位的时间为x 分钟，则第二次达到该水位时时间为(x ＋13.9)分钟.

根据题意得10 x ＝－19(x ＋13.9)＋325．………………………… 6分

解得x ＝2.1．……………………………………………………… 7分 此时y ＝10×2.1＝21．答：该水位为21升．…………………………8分

25．（本题8分）

解：（1）令y ＝0，则(x －1) (x －a －1)＝0．………………………………… 1分 解得x 1＝1，x 2＝1＋a ．∴二次函数的图像与x 轴的交点为(1，0)、(1＋a ，0)． ∴不论a 为何值，该二次函数的图像经过x 轴上的定点(1，0)．………2分 （2）①由题意得，AB ＝a ， OC ＝1＋a ，（a ＞0）

∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝12a (a ＋1)． ∴1

2

a (a ＋1)＝1．…………………………… 4分

解得a 1＝1，a 2＝－2(舍去)．∵a ＞0，∴a ＝1． ………………………5分

（3）m ＝3＋22或3－22或3

2

.……………………………………………… 8分

26．（本题9分）

（1）证明：连接OC ．

A B

C

D

E

∵C 是AB ⌒ 的中点，∴∠COA ＝12∠AOB ＝90°．………………… 1分

∵AC ＝CD ，AO ＝BO ，∴CO 是△ADB 的中位线． ∴CO ∥DB ．……………………………………… 2分 ∴∠ABD ＝∠COA ＝90°． ∴BD ⊥OB ． 又∵点B 在⊙O 上，

∴DB 是⊙O 的切线．…………………………………………………………4分 （2）解：∵CO ∥DB ，∴∠COE ＝∠FBE ，∠OCE ＝∠BFE ．

∵E 是OB 的中点，∴OE ＝EB ．∴△COE ≌△FBE ．…………………………5分

∴BF ＝CO ＝2．………………………………………………………………………………………6分 在Rt △ABF 中，由勾股定理得，AF ＝25． sin ∠BAM ＝BF AF ＝55

． ∵AB 是直径，∴∠AMB ＝90°．

在Rt △ABM 中， sin ∠BAM ＝BM AB ＝55，∴BM ＝45

5

．……………………9分

27．（本题11分）

解：（1）C ．……………………………………………………………………………2分 （2）∵BD ＝AB ＝AC ，∴AD ＝2AC ．即AD

AC ＝2．

∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2AE ．∴AC ＝2AE ．即AC

AE

＝2．………………3分 ∴AD AC ＝AC

AE .又∵∠A ＝∠A ，

∴△ACD ∽△AEC .∴CD CE ＝AD

AC

＝2．

∴△DCE 是倍边三角形．……………………………………………… 5分 （3）当BC ＝2BD 时，BD ＝3．……………………………………………… 6分 当BC ＝2CD 时，如图①，

CD ＝3，作CE ⊥AB 于E ，

tan A ＝CE AE ＝BC

AC

＝2，设AE ＝x ，则CE ＝2x ，AC

∴5x ＝3．

x ＝3

5

5．

在△ACD 中，∵CD ＝AC ＝3，CE ⊥AB ， ∴AD ＝2 AE ＝6

5

5．

∴BD ＝AB －AD ＝9

5

5．………………………………………………… 8分

当BD ＝2CD 时，如图②，作DF ⊥BC 于F ，

tan B ＝DF BF ＝AC BC ＝12

，设DF ＝y ，则BF ＝2y ， B

C

①

B

C

F ②

∴CD ＝

52y ，CF ＝12

y ． ∵BC ＝BF ＋CF ，∴6＝2y ＋1

2y ．

解得y ＝125. BD ＝12

5

5．

同理，当CD ＝2BD 时，DF ＝219－45，BD ＝295－45

5

．

综上所述，BD ＝3或955或12

55或295－455

．…………………… 11分

（说明：最后一个答案保留65

19＋2

不扣分）