新人教版八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念教案
16．1 二次根式
第1课时二次根式的概念
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)
一、情境导入
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．
问题2：上面得到的式子3，S，65，h
5
分别表示什么意义？
它们有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；
(4)3
13；(5)
1
5
－
1
6
；(6)3－x(x≤3)；
(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；
(10)（a－b）2(ab≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
解：因为11，（－7）2，1
5
－
1
6
＝
1
30
，3－x(x≤3)，
（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为
非负数，所以都是二次根式.3
13的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，
－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)
1
4－3x
；(2)
3－x
x－2
；(3)
x＋5
x
.
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x
有意义；
(2)由题意得?????3－x ≥0，x －2≠0，
解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2
有意义； (3)由题意得?????x ＋5≥0，x ≠0，
解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x
有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】 利用二次根式的非负性求解
(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程
(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；
(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；
(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而
可求出y x 的平方根．
解：(1)根据题意得?????2a ＋8＝0，b －3＝0，解得?????a ＝－4，b ＝ 3.
则(a ＋2)x ＋b 2
＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；
(2)根据题意得?????x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问题．
①
1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②
1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112
. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出
1＋142＋152的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前
项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)
1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)
1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）
(n 为正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
三、板书设计
1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；a 有意义?a ≥0.
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
八年级数学下册16二次根式161二次根式1导学案新人教版
16．1 《二次根式(1)》 学习内容： 二次根式的概念及其运用 学习目标： 1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 学习过程 一、自主学习 （一）、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是 ___________．（3，3）． 问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么 S=_________．（4 6 .） （二）学生学习课本知识（三）、探索新知 1、知识：如3、10、4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如?的式子叫做二次根式，“”称为． 例如：形如、、是二次根式。 形如、、不是二次根式。 2、应用举例 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x>0）、0、42、 -2、 1 x y + 、x y +（x≥0，y?≥0）． 解：二次根式有：；不是二次根式的有：。 例2．当x是多少时，31 x-在实数范围内有意义？ 解：由得：。 当时，31 x-在实数范围内有意义． （3）注意：1、形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2、利用“a（a≥0）”解决具体问题 3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。 二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例3．当x 是多少时，23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=2x -+ 2x -+5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004 的值．(答案: 25 ) 三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测 （1）、简答题 1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ 737x 41681x （2）、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3 的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 23x -+ 3x -2x -． 3.2(5)x --x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 4.已知a 、b 5a -102a -=b+4，求a 、b 的值．
《二次根式》 word版 公开课一等奖教案3
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教学目标知识与技能 1、使学生理解二次根式的意义,会讨论式子 b ax+(b a,是已知数且0 ≠ a)中字x的取值范围； 2、理解和应用二次根式的性质()()0 2 ≥ =a a a 过程与方法探究、归纳． 情感态度价 值观 通过运用知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力． 教 材分析重难点 理解二次根式的意义及其性质 求二次根式的被开方数中的字母的取值范围 教学设想教法三主互位导学法学法小组合作学习法教具幻灯片 课堂设计 目标展示 1．计算的结果是（） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x=2 3．下列二次根式中，最简二次根式是（） A． B． C． D． 预习检测 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（） A．= B．×=6 C．÷=4 D．﹣= 6．计算的结果为（）
二次根式第一课时教学设计
第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质
22.2二次根式的乘除(第二课时)教案
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计案例
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计案例 湖北省通山县教育局教研室袁观六 一、内容和内容解析 1．内容 二次根式的概念. 2．内容解析 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念； 二、目标和目标解析 1.教学目标 （1）体会研究二次根式是实际的需要． （2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析 （1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性． （2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围． 三、教学问题诊断分析
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计 1．创设情境，提出问题 问题1你能用带有根号的的式子填空吗？ （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____． 师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性． 问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫． 2．抽象概括，形成概念
1.2二次根式的性质第2课时同步练习
1.2 二次根式的性质（第2课时） 课堂笔记 1. 二次根式的性质：ab = （a ≥0，b ≥0）；b a = （a ≥0，b ＞0）. 2. 在根号内不含 ，不含 . 这样的二次根式称为最简二次根式. 课时训练 A 组 基础训练 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. 9 B. 7 C. 20 D. 31 2. 下列化简错误的是（ ） A. 97=97=37 B. 49.001.0?=01.0×49.0=0.1×0.7=0.07 C. 361 1=1×361 =1×61=61 D. 112=1111112??=111 22 3. 下列二次根式中，化简后能与3进行合并的是（ ） A. 8 B. 18 C. 23 D. 12 4. 等式21 -+x x =21 -+x x 成立的条件是（ ） A. x ≥-1 B. x ＜2 C. x ＞2 D. x ≥-1且x ≠2 5. 设2=a ，3=b ，若用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b
6. 已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 化简：（1）48= ； （2）12 5= ； （3）2236+= ； （4）)25()10(-?-= . 8. 已知等边三角形的边长为42cm ，则它的高为 cm. 9. 若)2)(1(--x x =1-x ×2-x ，则x 的取值范围是 . 10. 已知：322=23 2；833=383；1544=4154；2455=5245…如果n 是大于1的正整数，那么请用含n 的式子表示你发现的规律 ． 11. 化简： （1）2416?； （2）)75()3(-?-； （3）3 11； （4）3532?. 12. 化简：
最新苏教版八年级数学下册12.1二次根式公开课优质教案(7)
§12.1 二次根式（1） 个人复备学习目标： 1.了解二次根式地概念 2.能根据二次根式地意义确定被开方数中字母地取 值范围 3.理解公式a a2（a≥0），能利用公式化简二次根式 重点：二次根式地概念以及二次根式地基本性质 难点：经历知识产生地过程，探索新知识 学习过程 一.【预习练习】初步感知、激发兴趣 1.复习：
9地平方根是________，算术平方根是__________； 0.64地平方根是_________，算术平方根是__________； 0地平方根是_________，算术平方根是__________； 总结：一个正数有______个平方根，0地平方根是_______，负数_________平方根； a（a≥0）地平方根是____________，算术平方根是__________； 2.（1）边长为1地正方形地对角线地长为___________; （2）面积为S地圆地半径为___________；
（3）直角边长分别为a、b地直角三角形斜边地长为_____________； 一般地，__________________________叫做二次根式，a叫做_________________。 二.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1：下列哪些式子是二次根式？为什么？ （1）35 ；（2）―(―3) 2 ；（3） 3 2 ；（4）－12 （5）xy（x、y异号）；（6）－m（m≤0）（7）a2＋1 。 问题2：x是怎样地实数时，下列各式在实数范围内 有意义？
（1）（2）x 2（3）12x （4） 问题3：计算：（1）（ 12）2；（2）（32）2；（3）（b a ）2（a ＋b ≥0） （4）（35）2（5）2531（6） 2b a （b ≥0） 三.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题4：（1）若2x-1 ＋|y －1|=0，那么x =__ __，y =___ _ （2）若22340a b c ，求a －b +c 地值. 问题5：已知y=2x +2x +5，求x y 地值． x 231 1 x 个人复备
新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次根式教学设计新部编版(第一课时)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
二次根式的乘除(第2课时)教案
二次根式的乘除教案 第二课时 教学内容 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （216 36 =________ 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ； （436 81 =________ 36 81 ． 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 8136 81 3．利用计算器计算填空:
（1）3 4 =_________，（2） 2 3 =_________，（3） 2 5 =______，（4） 7 8 =________． 规律：3 4 ______ 3 4 ； 2 3 _______ 2 3 ； 2 5 _____ 2 5 ； 7 8 _____ 7 8 。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来，a b = a b （a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（112 3 （2 31 28 （3 11 416 （4 64 8 分析：上面4a b a b a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（112 3 12 3 4=2 （231 28 313 834 282 ÷=?=?33 （311 416 111 16 4164 ÷=?4=2 （464 8 64 8 82 例2．化简： （13 64 （2 2 2 64 9 b a （3 2 9 64 x y （4 2 5 169 x y a b a b a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
人教版八年级数学下教案 二次根式第二课时
16.1二次根式 第2课时 教学目标 【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并 理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点 【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， 猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的 理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.
探究 （1）填空： （2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.） 三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1）2；（2）（ 2
二次根式公开课教案
4.1.1二次根式 教学目标 知识与技能： 1、了解二次根式的定义，会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意 义的条件。 2、会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，发展学生的归纳能力。情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等教学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。 教学重难点 1．重点：会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意义的条件。 2．难点：会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列问题： 1、4的平方根是？4的算术平方根是？ 2、0的平方根是？0的算术平方根是？ 3、2的平方根是？2的算术平方根是？ 4、－7有没有平方根？－7有没有算术平方根？ 对于每一个正实数a有且只有个平方根，记作，其中一个正的平方根叫做a的记作，另一个平方根是。 0的平方根记作，即。 二、探索新知 一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，简称根号，根号下的数叫做被开方的数。 由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： ( 1 ) 必须有二次根号； ( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： （1）32； （2）6； （3）12- ； （4）m -（m ≤0）； (5)xy (x y 异号) （6）12+a ； （7）38 解：二次根式有：（1）32； （2）m -（m ≤0）； （3）12+a ； 例2当x 是多少时，二次根式1-x 在实数范围内有意义？ 解：由x-1≥0，得：x ≥1 当x ≥1时，1-x 在实数范围内有意义． 例3计算： 讨论：如果将上题中的数字换成字母，你发现2)(a 与 2a 有何异同呢？ 三、巩固练习：见学案 四、课堂小结： 1、二次根式的概念； 2、二次根式的性质。 五、布置作业： P 131T 1、2、3。 ==2222251））（（））（（()=?22225 =?248 ()()()???<-≥=≥=0)0(.20.122a a a a a a a a ()()22 0a a a =≥时，当
第2课时—二次根式的性质
第十六章二次根式 第2课时二次根式的性质知识点1：（√a）2=a（a≥0） 【例1】计算： （1）（√5）2=____； （2）（√1.2）2=____； （32=____； （4）（2√2）2=____. 同步练习 1.计算： （1）（√3）2=____； （2）（√3.6）2=____； （32=____； （4）（3√7）2=____. 知识点2：√a2=|a| 【例2】利用√a2=|a|的性质化简： （1）√82=_____； （2）√（?2）2 =_____； （3； （4）√（x2+1）2 =_____.
同步练习 2.化简： （1）√22=_____； （2）√（?0.5）2 =_____； （3）√（3?π）2 =_____. 【例3】使√（x?1）2=1-x成立的x的取值范围是______. 同步练习 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2?|a-b|的结果为_____. 【课时过关】 4.计算：（1）（√7）2=_____； （2） 2 7 3 ?? ? ?? =_____； （3）√（?4）2 =_____. 5. 利用a=(√a)2(a≥0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:（1）9=____； （2）5=____； （3）2.5=____； （4）0.25=____； （5）1 2 =____；
（6）0=____. 6.若a ＜2,化简√（a ?2）2-3=___________. 7.若√a +1+√b ?1=0，a 2021+b 2022的值. 8.化简：√1?2a +a 2（a ＜1）. 【课时提升】 9. 若a 为正数，则有（ ） A.a ＞√a B.a ＜√a C.a=√a D.a 与√a 的大小无法确定 10. 已知a 为实数，若√?a 2在实数范围内有意义，那么√?a 2=_____. 11. 实数a 、b 在数轴上对应的如图所示，化简：√a 2-√b 2+√（a ?b ）2 . 12.若|b-1|+√b 2?10b +25=4，求b 的取值范围.
7.1二次根式(第1课时)教学设计
7．二次根式（第1课时） 教学目标： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2. 会用计算器求平方根和立方根． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学重点：认识二次根式和最简二次根式的概念. 教学难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学过程 ： 一：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7， 12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子 )0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 二：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?=?， b a b a =． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ； 2516?＝ ，2516?＝ ； 94 ＝ ，94＝ ； 2516＝ ，25 16＝ ．
（2）用计算器计算： 76?＝ ，76?＝ ；76 ＝ ，7 6＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 三：知识巩固 例1 化简（1）6481?；（2）625?；（3）9 5。 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 例2.化简：（1）45；（2）27；（3） 31；（4）98；（5）16 125． 问题： （1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。 四：知识拓展 随堂练习 五：课堂小结 （1）掌握并会运用公式：b a b a ?=? b a b a =
黑龙江省虎林市九年级数学上册 二次根式(第二课时)教案 新人教版
黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式（第二课时）教 案新人教版 第二课时 教学内容 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）． 教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具体 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0叫什么？当a<0 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空： 2 =_______；）2 =_______；2 =______；2 =_______； 2=______；2=_______；）2 =_______． 是4是一个平方等于4的 ）2 =4． 同理可得：2=2，2=9，2 =3，2=1 3，）2=72，） 2 =0，所以 例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．（2）2 ）2 =a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32 ，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=5 6，（2）2=22 724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （ 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a2≥02=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1、 的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．1
八年级数学下册第16章二次根式161二次根式课时提升作业人教版
二次根式 (第1课时) (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.下列式子(1),(2),(3),(4)中, 是二次根式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.其中(1)(2)是二次根式. 2.(2017·济宁中考)若++1在实数范围内有意义,则x满足的条件是( ) 导学号42684187 A.x≥ B.x≤ C.x= D.x≠ 【解析】选C.由题意知:解得x=. 3.若是整数,则正整数n的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.因为20n=22×5n,所以整数n的最小值为5. 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2017·衢州中考)二次根式中字母a的取值范围是________. 【解析】由题意得a-2>0.解得a>2. 答案:a>2 【变式训练】无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围为________. 【解析】由题意,得x2-6x+m≥0,即(x-3)2-9+m≥0,则(x-3)2≥9-m.∵(x-3)2≥0,∴9-m≤0,∴m≥9.
答案:m≥9 5.若y=++2,则x y=________. 导学号42684188 【解题指南】对于二次根式,根号下的被开方数必须是非负数才有意义,那么一对相反数同时为二次根式的被开方数,则被开方数为0,通过计算得x的值,进而得到y的值,然后代入求值即可. 【解析】因为y=++2, 所以x-3=0, 故x=3,y=2, 则x y=32=9. 答案:9 【变式训练】x取什么实数时,式子+有意义? 【解析】由3x-4≥0,且4-3x≥0.解得x≥,且x≤,所以x=. 所以当x=时,式子+有意义. 6.已知一个球的表面积是84π,那么它的半径是________.(球的表面积公式为S=4πr2) 【解析】根据题意可知S=4πr2=84π,即r2=21, 可得r=(根据题意,取正值). 答案: 三、解答题(共26分) 7.(8分)阅读下列材料:我们在学习二次根式时,式子 有意义,则x≥0;式子有意义,则x≤0;若式子 +有意义,求x的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于x的不等式组 的解集,解这个不等式组得x=0.
二次根式第1课时二次根式的概念教案
16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且
二次根式的性质(第2课时)
二次根式的性质（第2课时） 学生姓名： 教学目标1 a ≥0）是一个非负数2 2=a （a ≥0 （a ≥0）。3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。 重点：理解二次根式的上述两个性质；难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。 学习过程 一、知识准备 二次根式的概念： 二、探究 探究（—）当a>0 a 0; 当a=0 0. 概括: 探究（二） 根据算术平方根的意义填空： 2=_______； 4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 2=4． 2=_______；2=______；2=_______． 概括: 例题与练习： 计算 （1） ）2 （2） （ 2 （3） （2 ）2 ；)3(2-= ； )21(2-= ；=_____。 例题与练习： 化简
（1） 22 （2 三、课堂小结 二次根式的性质： 四、课后作业 1、数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A 、a>0 B 、a ≥0 C 、a<0 D 、a=0 2x 的取值范围为 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x<3 D ．x=3 3、（）2=________； 4x 的取值范围是_______ 5m 的最小值是________． 6、计算 （1）2 （2）-）2 （3）（ 122 7，求x y 的值． 8、在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 2 x+3 9、先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计.doc
《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计 教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正 确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点 教学重点 :二次根式基本性质的探究 教学难点 :二次根式基本性质的应用 教材与学情分析 教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的 加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步
学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念） 二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知： 一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0)
7 二次根式(第2课时)说课稿
二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 面积8 面积2
第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）2 3 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52＝＝5 2＝5552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；