固体物理复习题答案完整版
固体物理复习题答案完整
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一·简答题
1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8）
（1）体心立方基矢：123()
2()2()
2
a i j k a i j k a
i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31
2a ，最近邻格点数：8
（2）面心立方基矢：123()
2()2()
2
a i j a j k a
k i ααα=+=+=+，体积：31
4a ，最近邻格点数：12
2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
证明：
因为33121323
,a a
a a CA CB h h h h =
-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明
12312300
h h h h h h G CA G CB ?=?=
所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：
22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；
解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak ===
由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π
?=??，3121232a a b a a a π?=??，12
3123
2a a b a a a π?=??
倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a
πππ
=
== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h
i k j l k a a a
πππ
=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G
π=
2221
()()()h k l a a a
=
++
4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
解：(111)
（1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：
B R aj ak =-+，
(111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。
（2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：
B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。
5.固体中基本结合类型有哪些原子之间的排斥作用取决于什么原因
（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式 （2）相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材P49）
6.什么是声子
声子就是指格波的量子，它的能量等于
q ω。在晶体中存在不同频率振动的模式，称
为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92）
7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材P95－97）
解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图如下
上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。
（2）当波矢q 很小时，w 与q 的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w 的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。
8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。
导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;
绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；
半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)
9.请问德拜模型的基本假设是什么
基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126－129）
10.晶体由N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式
态密度：2
_
2
3
3()2V
g C ωωπ=
，频率表达式：_
21/3
[6()]m N C V
ωπ=
答案参考教材P127－129
11.简述Bloch 定理, 该定理必须采取什么边界条件（答案参考教材P154－157）
（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解ψ具有如下性质：
()()n
ik R r R e r ψψ?+=，其中k 为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移晶格矢
量n R 时，波函数只增加了位相因子n
ikR e
。
（2）边界条件： 11()()r r N ψψα=+
其中1N ，2N ，3N 为沿1α，2α，3α方向的原胞数，总的原胞N=1N 2N 3N 。
二、证明or 计算题
1.已知某晶体中相距为r 的相邻原子的相互作用势能可表示为：()m n
U r r r αβ
=-
+，其中α、β、m>n 都是>0的常数，求：
a) 平衡时两原子间的距离；
b) 平衡时结合能；
思路参考教材P53－54
解：（1）求平衡间距r 0
由
0)(0
==r r dr
r du ，有：
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出
来，这个能量称为结合能（用w 表示）
（2）求结合能w （单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非
原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即min U
即：000
11()()22m n W U r r r αβ
=-=+- （可代入r 0值，也可不代入）
2.已知N 个质量为m ，间距为a 的相同原子组成的一维原子链，
(1)推导其色散关系
(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。
(3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。
解：（1）1111()()(2)n
n n n n n n n m μβμμβμμβμμμ+-+-=---=+-
设方程的解[]i t naq n Ae ωμ-=,代回方程中得到：
22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=
-=，2sin 2
aq m βω= （2）
，截止频率范围以外的q 值并不能提供其他不同的
波，q 的取值范围称为布里渊区。
（3）2_
23
3()2V
g C ωωπ=
，代入ω即可得出。
答案参考教材P82－87
习题4-3. 电子在周期场中的势能函数
()()[]
()??
???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b m x V 1,0,2122
2当当ω
其中b a 4=，ω为常数，
(1)画出此势能曲线，并求其平均值；
(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。
解 ：(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以
题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在
[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是
2222
2
32
111()()223
6b b b b b
b
b b m m V V x dx b x dx b x x m b a a a
ωωω----??==-=
-=???
?
??。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
利用积分公式()2232
cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =
+-???
??得
2
23
16m b ωπ=
1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式
22
22
()cos
b
g m x
E b x dx b
b
ωπ=
-?
再次利用积分公式有2
22
2m b ωπ=
2g E
4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s 态原子能级对应的能带的
()εk 函数。
解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：
在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =，则这12个最近邻的坐标是：
①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222
a a a a
②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a
③(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222
a a a a
由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R 有相同的值，简单表示为J 1=()S J R 。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ??-=
∴在近邻重叠积分*()()()()()s i s s i J R R U V R d ?ξξ?ξξ??-=--???中，波函数的贡献为正 ∴J 1＞0。
于是，把近邻格矢S R 代入()s S E R 表达式得到：
=()()()()2
22201x y x y x y x y a a a a
i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---?--+++??
()()()()2
2
2
2
y z y z y z y z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---+++++
()()()()2
2
2
2
x z x z x z x z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---?+++??
=012cos ()cos ()cos ()cos ()2222S x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε?????
--++-+++-????????
??
=014cos cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε?
?--++???
?
（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
习题5-1. 晶格常数为α的一维晶体电子能量
试求：
(1)能带宽度；
(2)波矢为k 的电子速度；
(3)能带底部和顶部的电子有效质量
解：（1）2
271()(cos cos 2)88
E k ka ka ma =
-+ =2
2ma 7
8
－coska +18(2cos 2ka －1)]
＝
2
2
4ma (coska －2)2－1
当ka ＝(2n+1)时,n=0,1,2 (2)
max 2
2()E k ma
= 当ka =2n 时, min ()0E k = 能带宽度＝2max min
22E E ma
-= （2）1()1
(sin sin 2)4
dE k ka ka dk ma υ=
=- (3) 222*1
1(cos cos 2)2E
k m m ka ka -????==-??????
当0k =时,带底，*2m m =
当k a π
=±
时,带顶，*2
3
m m =- 习题，习题，习题