山东省德州市2020年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1. ( 2分) （2020·德州）的结果是（）

A. B. 2020 C. D. -2020

2. ( 2分) （2020·德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A. B. C. D.

3. ( 2分) （2020·德州）下列运算正确的是（）

A. B. C. D.

4. ( 2分) （2020·德州）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）

A. 主视图

B. 主视图和左视图

C. 主视图和俯视图

D. 左视图和俯视图

5. ( 2分) （2020·德州）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：

那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

6. ( 2分) （2020·德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）

A. 80米

B. 96米

C. 64米

D. 48米

7. ( 2分) （2020·德州）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A. B. C. D.

8. ( 2分) （2020·德州）下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9. ( 2分) （2020·德州）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

10. ( 2分) （2020·德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A. B. C. D.

11. ( 2分) （2020·德州）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）

A. 若，是图象上的两点，则

C. 方程有两个不相等的实数根

D. 当时，y随x的增大而减小

12. ( 2分) （2020·德州）下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）

A. 148

B. 152

C. 174

D. 202

二、填空题（共6题；共6分）

13. ( 1分) （2019·长春模拟）计算：=________.

14. ( 1分) （2020·德州）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是

________°．

15. ( 1分) （2020·德州）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．

16. ( 1分) （2020·德州）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________．

17. ( 1分) （2020·德州）如图，在的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．

18. ( 1分) （2020·德州）如图，在矩形ABCD中，，，把AD沿AE折叠，使点D 恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．交AB于点G，连接有如下结论：① 的长度是；②弧的

长度是；③ ；④ ．上述结论中，所有正确的序号是________．

三、解答题（共7题；共80分）

19. ( 5分) （2020·德州）先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值．

20. ( 16分) （2020·德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为________；

（2）补全图2频数直方图；

（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．

21. ( 5分) （2020·德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．

22. ( 10分) （2020·德州）如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H．

（1）求证：直线DH是的切线；

（2）若，，求AD，BH的长．

23. ( 15分) （2020·德州）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．

（1）超市B型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？

24. ( 12分) （2020·德州）问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

（1）小红证明的判定定理是：________；

（2）AD的取值范围是________；

（3）方法运用：

如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．

（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．

25. ( 17分) （2020·德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________．

（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：……

（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．

（4）验证：

设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．

（5）应用：

如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【考点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：．

故答案为：B

【分析】根据绝对值的定义计算即可．

2.【答案】B

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，

∴A中的图象不是中心对称图形，

∴选项A不符合题意；

∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，

∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，

∴选项B符合题意；

∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，

∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，

∴选项C不符合题意；

∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，

∴D中的图形不是中心对称图形，

∴选项D不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．

3.【答案】B

【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，积的乘方

【解析】【解答】A．，该项不符合题意；

B ．，该项符合题意；

C．，该项不符合题意；

D ．，该项不符合题意；

故答案为：B．

【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法逐一分析即可．

4.【答案】D

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故答案为：D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

5.【答案】C

【考点】平均数及其计算

【解析】【解答】解：= =6，

故答案为：C．

【分析】根据平均数的计算方法计算即可．

6.【答案】C

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故答案为：C．

【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．

7.【答案】D

【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，反比例函数的性质，一次函数的性质

【解析】【解答】∵反比例函数和一次函数

∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，A、B不符合题意，选项D符合题意；

当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，C不符合题意，

故答案为：D．

【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．

8.【答案】B

【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定

【解析】【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；

③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形，是假命题；

④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题．

故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判断即可．

9.【答案】A

【考点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：解不等式＞，得：，

解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，

∵不等式组的解集为，

∴，

故答案为：A．

【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．10.【答案】A

【考点】正多边形的性质，圆的面积

【解析】【解答】解：正六边形的面积为：，

六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，

所以阴影部分的面积为：，

故答案为：A．

【分析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．

11.【答案】D

【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为

则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D不符合题意

由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等

则当时，函数值为

，则选项A符合题意

又当时，

，即，选项B符合题意

由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点

则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点

因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

即方程有两个不相等的实数根，选项C符合题意

故答案为：D．

【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．

12.【答案】C

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律

【解析】【解答】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；

第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；

第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；

第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；

…

第n个图案需要的个数为（个）

∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）

故答案为：C．

【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为

（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．二、填空题

13.【答案】

【考点】实数的运算

【解析】【解答】解：原式=3-=2.

【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。

14.【答案】120

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），

设圆心角的度数是n度．则=4π，

解得：n=120．

故答案为：120．

【分析】先计算出圆锥的底面圆周长，即为圆锥侧面展开图的弧长，侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，设圆心角的度数为n度，根据弧长公式列方程求解即可.

15.【答案】

【考点】待定系数法求一次函数解析式，位似变换

【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），

∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．

设反比例函数的解析式为( )，

∴，

∴反比例函数的解析式为：．

故答案为：．

【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．

16.【答案】20

【考点】勾股定理的逆定理，菱形的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵

因式分解得：（x-4）（x-5）=0，

解得：x=4，或x=5，

分两种情况：

当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；

当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形；

∴菱形ABCD的周长=4AB=20．

故答案为：20．

【分析】解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．

17.【答案】

【考点】轴对称的性质，概率公式

【解析】【解答】解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，

所以概率为P= ．

故答案为：

【分析】根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．

18.【答案】①②④

【考点】全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】①在矩形ABCD中，，

∵△ADE翻折后与△AD′E重合，

∴AD′=AD，D′E=DE，，

∴四边形ADED′是正方形，

∴AD′=AD=D′E=DE= ，

∴AE= ，

将绕点E顺时针旋转，得到，

∴，= = ，，

∵点F是的中点，

∴，

∴，故①符合题意；

②由①得，

在中，，

，

∴，

∴弧的长度是，故②符合题意；

③在中，，，

∴不是等边三角形，

∴，

∴和不是全等三角形，故③不符合题意；

④在和中，，公共，

∴(HL)，

∴，

在中，，，

∴

，∴，

又，

∴，故④符合题意；

综上，①②④符合题意，

故答案为：①②④．

【分析】①先根据图形反折变换的性质以及勾股定理得出的长，再根据勾股定理求出EF的长，即可求解；

②利用特殊角的三角函数求得，从而求得，根据弧长公式即可求解；

③由于不是等边三角形，得出，从而说明和不是全等三角形；

④先利用“HL”证得，求得，再求得，从而推出．

三、解答题

19.【答案】解：原式

当x=1时代入，原式= .

故答案为：化简结果是，选择x=1时代入求值为-1.

【考点】分式的混合运算，利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可20.【答案】（1）50；36%

（2）解：∵“69.5～79.5” 的人数是：50 30%=15(人)，

∴“69.5～74.5”的人数是：15-8=7(人)，

“79.5～89.5” 的人数是：50 36%=18(人)，

∴“79.5～84.5”的人数是：18-8=10(人)，

补全条形图如图所示：

（3）解：能获奖．理由：

因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为（人）

由频数直方图可得84.5～99.5这一范围人数恰好人，

又，所以能获奖；

（4）解：画树状图为：

由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，

所以P（一男一女为主持人）．

答：恰好选中一男一女为主持人的概率为．

【考点】用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】解：（1）“89.5～99.5”的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和24%，

∴总人数为：(人)，

“59.5～69.5”的人数是5人，所占百分比是：，

∴“79.5～89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%，

故答案为：50，36%；

【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“59.5～69.5”这两组所占的百分比，然后计算出“79.5～89.5”所占的百分比；（2）根据“69.5～79.5”所占的百分比可求得“69.5～74.5”的人数，根据“79.5～89.5”所占的百分比可求得“79.5～84.5”的人数，从而补全统计图；（3）计算出前40%有20人，恰好落在“84.5～99.5” 这一范围，从而可判断他能获奖；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．

21.【答案】解：过点B作交于点E，

由题意知，．

在中，，

∴，

在中，，

∴，

∴（米）．

答：这栋楼高为40米．

【考点】特殊角的三角函数值，直角三角形的性质

【解析】【分析】过点B作交于点E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，问题得解．

22.【答案】（1）证明：连接，

∵是的直径，D是半圆的中点，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）解：连接，

∵是的直径，

∴，

又D是半圆的中点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴，

∵，

∴在中，

∵四边形是圆内接四边形，

∵，

∴，

由（1）知∠，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得．

【考点】平行线的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出

，再根据，得出，即可证明；（2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案．

23.【答案】（1）解：设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，

由题意列方程得，

解得

经检验，是原方程的解．

答：超市B型画笔单价为5元

（2）解：由题意知，

当小刚购买的B型画笔支数时，费用为

所以其中x是正整数

（3）解：当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．

当时，，符合题意

答：小刚能购买65支B型画笔．

【考点】分式方程的实际应用，分段函数

【解析】【分析】（1）设超市B型画笔单价a元，根据“花100元买了相同支数的B型画笔”，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时，当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．24.【答案】（1）

（2）

（3）证明：延长至点，使，

∵是的中线

∴

在和中

∴，

又∵，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

又∵

∴

（4）证明：延长至点使，连接、、∵G为的中点

∴

在和中

∴

在中，∵，

∴

又矩形中，

∴，

又，

∴，

又为的外角，

∴，

即，

∵，

∴，

即，

在和中，

∴，

又，

∴，

∵，

∴，

∴是直角三角形，

∵G为的中点，

∴，

即．

【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（1）如图，AD是中线，

在与中，

故答案为：；（2）

故答案为：

【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明

，得到，从而可得答案；（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．

25.【答案】（1）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

（2）解:

…

…猜想：

（3）抛物线

（4）解: 如图1，过点P作轴于点E，

，，

在中，

即

化简，得

∴y关于x的函数解析式为．

（5）解: 连接，

易得，又

∴为等边三角形，∴

当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°

其圆心在的垂直平分线y轴上，

∴的外接圆圆心为坐标原点O，