新人教版九年级第21章一元二次方程全章导学案

新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程全章导学案

21．1 一元二次方程（1）

学习目标

1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．

学习重、难点

重点：一元二次方程的概念及其一般形式

难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

学习过程：

一、激趣定标

1、课本引言问题，导入。

2、引入课题，并板书，展示目标

二、自学互动（适时点拨）

互动1 问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为____，宽为____．列方程____，化简整理，得____．①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为4×7＝28．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28，化简整理，得____．②

1.探究：

(1)方程①②中未知数的个数各是多少？

(2)它们最高次数分别是几次？

归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是____，只含有____未知数(一元)，并且未知数的最高次数是___的方程．

2．一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．

互动2 一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__是二次项，___是二次项系数，____是一次项，___是一次项系数，____是常数项．

点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

三、测评训练：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；

(3)5x2－2x－1

4

＝x2－2x＋

3

5

；

(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；

(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.

解：

师点拨：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑．

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.

本课课时安排数：总课时数：

21．1 一元二次方程（2）

学习目标

1．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．

2．会进行简单的一元二次方程的试解，理解方程解的概念．

学习重、难点

重点：一元二次方程的一般形式；一元二次方程解的探索．

难点：由实际问题列出一元二次方程；理解方程解的概念．

学习过程：

一、激趣定标

1、说出一元二次方程3x2－8x－10＝0的二次项系数、一次项系数、常数项

2、一元二次方程的一般形式是，它有什么要求？

3、板书课题，展示目标。

二、自学互动（适时点拨）

互动1 把下列方程化为一般形式？并说出二次项系数、一次项系数、常数项。方式：生先自主完成，师巡视，后点评。

(1) 2x2－3x＝5；(2)x2＝1； (3)5x2－2x－1

4

＝x2－2x＋

3

5

；

解：

互动2 下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：

师点拨：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

三、测评训练：

学生独立确定解题思路，小组内交流，并上台展示．

1、课本第4页练习第1题

2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，

∴＝0，

解得a＝ .

3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

解：(1) (2)

四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑

1．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.

2．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

本课课时安排数：总课时数：

21．2 解一元二次方程——直接开平方法(1)

学习目标

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

学习重点、重点

重点：运用开平方法解形如x2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程

学习过程

一、激趣定标

1、复习一元二次方程的概念以及方程解的意义

2、引入新课，板书课题，展示目标。

二、自学互动（适时点拨）

互动问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为____dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

________＝1500，

由此可得____，

根据平方根的意义，得x＝___，

即x

1＝____，x

2

＝____．

可以验证____和____都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为____dm.

师点拨：在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

师生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝

±p

互动2：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

解下列方程：

(1)2y2＝8；(2) 16x2－1＝0；

解：(1)2y2＝8 (2) 16x2－1＝0

师点拨：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)形式，若能，则可运用直接开平方法解．

三、测评训练：

1、用直接开平方法解下列方程：

小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果

(1)36x2－1＝0； (2)4x2＝81;

解：(1)

(2)

2、课本第6页练习第（1）、（2）

四、课堂小结：

学生总结本堂课的收获与困惑．

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p(p≥0)，为什么p≥0?

本课课时安排数：总课时数：

21．2 解一元二次方程——直接开平方法(2)

学习目标

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

学习重点、重点

重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

学习过程

一、激趣定标

1、复习一元二次方程的概念以及方程解的意义

2、引入新课，板书课题，展示目标。

二、自学互动（适时点拨）

互动问题：探究：对照上节课问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?

方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为________，即将方程变为__________和____________两个一

元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x

1＝__________，x

2

＝

___________．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋____)2＝4，进

行降次，得到__________＝__ ，方程的根为x

1＝ ____，x

2

＝____.

师生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p 或mx＋n＝±p.

互动2 学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

解下列方程：

(1)2(x－8)2＝50； (2)4x2－4x＋1＝0.

解：(1) 2(x－8)2＝50 (2)4x2－4x＋1＝0

点拨：观察以上各个方程能否化成(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

三、测评训练：

1、用直接开平方法解下列方程

自主讨论交流解题思路，派三位学生代表上黑板展示

(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；

(3)9n2－24n＋16＝11.

解：(1) （2）（3）

师点拨：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．课本第6页练习第（3）、（4）、（5）、(6)

四、课堂小结：

学生总结本堂课的收获与困惑．

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?

本课课时安排数：总课时数：

21．2.1解一元二次方程——配方法(1)

学习目标：

1．掌握配方法和推导过程

2．能使用配方法解一元二次方程．

学习重难点

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．

学习过程

一、激趣定标

1、若x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是____．

2、引入新课，板书课题，展示目标。

二、自学互动（适时点拨）

互动问题：探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?

师精讲：对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x2＋6x＝16，

两边都加上____即____，使左边配成x2＋bx＋(b

2

)2的形式，得

____＋____＋____＝____＋____，

左边写成平方形式，得

______＝____，

开平方，得

______＝______，(降次)

即 ________或________，

解一次方程，得x1＝____，x

2

＝____．

师归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

互动2：解下列方程：

(1)x2-8x+1＝0；(2) x2＋16x＋9＝0；

解：(1) (2)

师生归纳：利用配方法解方程时的步骤：

(1)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

(2)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(3)此时方程的左边是一个完全平方式，

（4）然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

三、测评训练：

1．解下列方程：

(1)x2＋6x＋5＝0; (2)x2＋6x＋2＝0；

解：(1)移项

配方得

由此可得

即

(2) (1)移项

配方得

由此可得

即

2.课本第9页第1和第2题第（1）、（2）小题

四、课堂小结：

学生总结本堂课的收获与困惑．

师：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式

本课课时安排数：总课时数：

学习目标：

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法的步骤，能使用配方法解一元二次方程．

学习重难点：

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．

学习过程：

一、激趣定标

1．填空：

(1)x2－8x＋__＝(x－__)2；

(2)x2＋12x＋___＝(x＋__)2；

(3)x2＋px＋___＝(x＋_)2.

2.回顾配方法解一元二次方程的解法步骤。引入新课，板书课题

二、自学互动（适时点拨）

互动1：解下列方程：

(2)2x2+1＝3x； (3)3x2-6x＋4＝0.

师引导学生看书后解答

解：(2)

(3)

归纳：利用配方法解方程时应注意：

(1)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

(2)方程两边同时除以二次项系数a；

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)此时方程的左边是一个完全平方式，通过降次把一元二次方程化为两个一元

一次方程来解．

三、测评训练

1．课本P9练习第2题的第（3）、（4）、（5）、（6）题

2．同步练习册第4页练习题

四、课堂小结

学生总结本堂课的收获与困惑．

1．用配方法解一元二次方程的步骤．

2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

本课课时安排数：总课时数：

学习目标

1. 知道求根公式的推导过程，了解公式法的概念。

2.掌握根的判别式及求根公式

学习重、难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用．

难点：一元二次方程求根公式的推导．

学习过程

一、激趣定标

1、回顾配方法解一元二次方程过程步骤

2、引入新课，板书课题，展示目标。

二、自学互动（适时点拨）

互动1：用配方法配一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0

方式：先让学生看课本的推导过程，后师引导学生一起用配方法进行配方板书过程，并和学生交流讨论。

推导后，熟记根的判别式，并指导运用

利用判别式判定下列方程的根的情况：

(1)2x2－3x－3

2

＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；

(3)x2－42x＋9＝0 ;

解：(1)有两个不相等的实数根；

(2)有两个相等的实数根；

(3)无实数根；

互动2 师讲解：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；

(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提

下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac

2a

(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两

个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．用公式法解下列方程：

(1)x2-4x－7＝0 ;

解：(1)

三、测评训练

课本第12页练习第1题（1）

四、小结

学生总结本堂课的收获与困惑．

用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac 的值、最后代入求根公式求解．

本课课时安排数：总课时数：

21．2.2 公式法（2）

学习目标

1. 了解公式法的概念．

2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．

学习重、难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用．

难点：一元二次方程求根公式的推导．

学习过程

一、激趣定标

1、复习根的判别式，及求根公式的复习

点拨：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．

2、引入本节课的内容，展示目标，板书课题。

二、自学互动（适时点拨）

互动1 课本的例2 用公式法解方程

（1）5x2-3x=x+1 （2）x2+17=8x

解：方式：先让学生自学课本的解答，师再点拨讲解，师引导学生共同板书完成

互动2 方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根

D．没有实数根

三、测评训练

1、课本第12页练习第1题（2）（3）(4)(5)(6)

2、同步练习册第5页第21.2降次—解一元二次方程（三）练习

四、小结

本节课学习的主要内容（学生自己小结）

本课课时安排数：总课时数：

21．2.3 因式分解法（1）

学习目标：

1. 掌握因式分解法解一元二次方程的思路

2. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．

学习重难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

学习过程：

一、激趣定标

1、将下列各题因式分解：

(1)am＋bm＋cm＝；

(2)a2－b2＝__；

(3)a2±2ab＋b2＝___．

2、引入新课，展示目标，板书课题

二、自学互动（适时点拨）

互动1 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)

设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即____ ，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：

＝0，

于是得或，②

∴x

1＝____，x

2

≈____．

上述解中，____表示物体约在2.04 s时落回地面，而x

1

＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.

点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x －1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－1或x＝1．

互动2 学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

说出下列方程的根：

1、x(x－8)＝0；

2、(3x＋1)(2x－5)＝0.

解：(1) (2)

3．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；

解：(1) (2)

三、测评训练

1、课本第14页练习第1题

2、同步练习册第6页21.2降次——解一元二次方程（四）的练习

四、小结

今天学习了什么内容？你有什么收获和困惑？

本课课时安排数：总课时数：

21．2.3 因式分解法（2）

学习目标：

1. 熟练运用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．

2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方

法的多样性．

学习重难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

学习过程：

一、激趣定标

1、直接说出方程：x(x-2)=0的根。

2、因式分解法解下列方程：

(1)x2－x＝0; (2)4x2－9＝0；

2、本节课继续学习因式分解法，板书课题，展示目标

二、自学互动（适时点拨）

互动1 例3解下列方程

(1)x(x-2)+x-2

(2)5x2－2x－1

4

＝x2－2x＋

3

4

； (3)3x2－12x＝－12.

学生先审题，讨论后尝试解题，师点拨

解：(1) (2) （3）

互动2 不解方程，判断下列方程适当用什么方法解。

（1）4x2=16 (2)x2+2x=1 （3）4x2=11x(4)x2-5x-14=0

学生先讨论判断，师纠正

答：

三、测评训练

1．用因式分解法解下列方程：（课本练习）

(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；

(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；

(5)(x－4)2＝(5－2x)2.

解：

点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程右边化为0；

(2)将方程左边分解成两个一次式的乘积；

(3)令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．

3、同步练习册第7页第三解答题

四、小结

今天学习了什么内容？你有什么收获和困惑？

本课课时安排数：总课时数：

21．3 实际问题与一元二次方程(1)

学习目标

1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．

2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．

3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．

学习重、难点

重点：列一元二次方程解决实际问题．

难点：找出实际问题中的等量关系．

学习过程：

一、激趣定标

1、师：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。本节课继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。

2、引入新课，板书课题，读本节课学习目标

二、自学互动（适时点拨）

互动问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：

①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了____人，第一轮后共有____人患了流感；

②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了____人，第二轮后共有____人患了流感．

则列方程：

解得x＝____ 或x＝____，

即平均一个人传染了____个人．

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

师生归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“审”：即审题

(2)“设”：即设未知数

(3)“列”：即根据题中等量关系列方程；

(4)“解”：即求出所列方程的根

(5)“检验”：即验证根是否符合题意

(6)“答”：即回答题目中要解决的问题

三、测评训练：学生自主完成，小组讨论交流解题思路，并展示，点评，教师巡视．

1、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留

念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A．x(x＋1)＝2550

B．x(x－1)＝2550

C．2x(x＋1)＝2550

D．x(x－1)＝2550×2

师点拨分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.

2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出____个小分支，则有____，

即

解得x

1＝____，x

2

＝____，

故每个支干长出____个小分支．

点拨精讲：本例与传染问题的区别．

四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑．

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；

(2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

(3)“列”：即根据题中等量关系列方程；

(4)“解”：即求出所列方程的根；

(5)“检验”：即验证根是否符合题意；

(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．

本课课时安排数：总课时数：