1987~2012四川大学数学分析考研试题
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
2017年四川大学652数学分析考研真题【圣才出品】
2017年四川大学652数学分析考研真题 1．计算（每小题10分，共70分） （1）设a ∈（ 0，1），求 lim[(1)]a a n n n →+∞ +- （2）求 21lim ln ln 1x x x x -→∞??++ ? ?-?? （3）设f （x ）＝x 8arctanx ，求f （n ）（0） （4）求∫max （1，|x|）dx （5）设D 是由曲线3 x y xy a b ??+= ??? 围成的区域，其中a ＞0，b ＞0，求D 的面 积。 （6）求 22d d 34S x y y x x y -+? 其中S 是椭圆2x 2＋3y 2＝1，方向沿逆时针方向。 （7）求 (,,)d S f x y z S ??
其中S 是球面x 2＋y 2＋z 2＝1 0(,,)0,0,z f x y z z z ≤≤=<>?? 2．（12分）证明：f （x ）＝|sinx|/x 在（－1，0）和（0，1）上都一致连续，但在（－1，0）∪（0，1）上不一致连续。 3．（10分）设f （x ）在实数R 上有界且二次可导，证明：存在x 0∈R 使得f ″（x 0）＝0。 4．（10分）设f （x ）在[a ，b]可积，证明： lim ()sin d 0b c c f x ax x →-∞=? 5．（10分）证明：0 (1)c n x x ∞=-∑在[0，1]上收敛但不一致收敛。 6．（12分）求a ，b 的值，使得椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1包含圆（x －1）2＋y 2＝1，且面积最小。 7．（14分）举例说明：二元函数的“两个累次极限存在”与“二重极限存在”互不蕴涵。
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答
北京大学数学分析考研试题及解答复习进程
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
四川大学数学分析考研试题(2000-2012年)
一、求下列极限（每小题10分，满分20分） 1. 3 3 1)cos 1(lim x dt t x x ò-? 2. ?=￥ ?+n k n n k n k n 1sin 2cos sin lim p p p 二、设函数),(y x u u =由方程)(u x y u j +=确定，求证])([22 2y u u y x u ????=??j （本题满分10分） 三、设 )(x f 在]1,0[上连续。证明：)0(2 )(lim 1 0220f dx x t x tf t p =+ò+? （本题满分20分） 四、证明函数项级数?￥ =+1 sin sin n x n nx x 在),0(+￥上一致收敛。 （本题满分20分） 五、计算 dx y x y dy y x x l 2 222+-+ò 其中l 是由12-=x y 与1+=x y 所围成区域的边界，沿逆时针方向。（本题满分10分） 六、计算òò -+-S dxdy z z yzdzdx zxdydz )(242 ，其中S 是yoz 平面上的曲线y e z =（20￡￡y ）绕oz 轴旋转一周所成的曲面的下侧。 （本题满分20分）
一、求极限（每小题8分，共16分） 1. 1)12(31lim +￥?-+++p p p p n n n L （其中p 是自然数） 2. ÷÷÷÷??? ???è ?++++++￥?n n n n n n n n n 1221212lim 21 L 二、（第一小题5分，第二小题10分，共15分） 1.叙述实数R 上的区间套定定理和确界原理； 2.用区间套定定理证明确界原理 三、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）设)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数且0)()(==b f a f ， 证明:1.对任意],[b a x ?， dx x f a b b x a x x f b a ò-￡--)(''1))(()( 2. dx x f x f a b b a b a x ò￡-?)('')(max 4 ] ,[ 四、（每小题7分，共14分） 1.利用公式dy e x x y ò+￥+-=+0) 1(2211，计算dx x x ò+￥+021cos a . 2.求dx x x x ò +￥ +0 2 1sin a 五、（10分）证明：若 ) (x f 在 R 上非恒为零，存在任意阶导数，且对任意的 R x ?，有 2 )1()(1 )()(n x f x f n n < --，则x n n Ce x f =￥ ?)(lim )(，其中C 是常数。 六、（10分）若13n 及03x ，03y ，证明不等式： n n n y x y x )2 (2+3+ 七、（10分）求级数?￥ =+1 )1(n n n n x 八、（10分）计算曲面积分 zdxdy x ydzdx z x xzdydz S 22)(--+òò ，其中S 是旋转抛物面 z a y x 222=+（0>a ）取10￡￡z 部分，下侧为正.
最新四川大学数学分析考研真题
欢迎来主页下载---精品文档 精品文档 四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、极限（每题7分，共28分） 1. 2)11(lim x x x x e +-+∞→ 2. )11ln(lim 21 n n ne n n +-+∞→ 3. 2 1)!(lim n n n +∞→ 4. )]1ln([cos lim 22 02x x x e x x x -+--→ 二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当0≤x 时，21)(x x f +=；当0>x 时，x xe x f -=)(.求dx x f ?-3 1)2( 2.设x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f . 3.计算曲面积分dS z y x I S ??++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x R z y x S 4.计算曲线积分dy m e y dx my e y I x AmB x ))('())((-+-= ? ??，其中)(y ?、)('y ?为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点 )2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域面积为定值P （0>P ） 5.计算曲面积分dS z y x I S ??++=)cos cos cos (222γβα，其中S 为圆锥面 222z y x =+，h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦. 6.设函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数且满足方程 0)1()21()1(22222=??++???+++-??+y z p p y x z pq q p x z q q 其中x z p ??=，y z q ??=。假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明： 02=???v u w 。
2015北京大学考研专业课历年考研真题及参考答案
2015年北京大学702数学基础全套资料 温馨提示：点击蓝色字体访问原文||【Ctrl+H】搜索所需科目 ◇资料构成 本专业课考试科目的全套资料主要包括： 1．历年真题 本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。 ·北京大学2010年数学分析考研真题 ·北京大学2009年数学分析考研真题 ·北京大学2008年数学分析考研真题 ·北京大学2007年数学分析考研真题 ·北京大学2006年数学分析考研真题 ·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案） ·北京大学1996—2001年数学分析考研真题 注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。 2．指定教材配套资料 北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。 ·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版） ·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版） ·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著) ·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版） 3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义） 本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。具体包括： ·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址） ·《数学分析》教学课件（上册） 4．兄弟院校考研真题详解 本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括： ·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003 ·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004 ·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997 ·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 ·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006 ·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004 5．其他相关精品资料 ·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页） 附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！
四川大学数学类基础课程
四川大学数学类基础课程 《数学分析（I）习题课》教学大纲 课程名称：数学分析（I）习题课英文名称：Mathematical Analysis-I 课程性质：必修课程代码：20101750 本大纲主笔人：黄勇 面向专业：数学类各专业 主讲课教材名称：数学分析（上）出版单位：高等教育出版社 出版日期：2004年6月（第2版）编著：陈纪修於崇华金路 习题课指导书名称：数学分析习题课讲义（上）出版单位：高等教育出版社 出版日期：2003年7月（第1版）编著：谢惠民恽自求等 习题课讲义名称：自己编写 一、课程学时学分 课程总学时：80学时课程总学分：5学分 习题课总学时：28学时习题课总学分：2学分二、习题课的地位、作用和目的 数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业本科一、二年级学生的必修课。 数学分析习题课是数学分析课程的重要组成部分，是学生学习这门课程的一个必要环节。尤其是各位教师和学生们都应该充分地认识到习题课的重要性，习题课与主讲课同等重要。 数学分析习题课是通过学生自己严格的课堂和课外习题训练，再加上习题课教师对数学分析学习中各类习题的讲解，能使学生加深对课程内容的理解，全面系统地掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 三、习题课的教学方式与教学要求 教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
四川大学数值分析试题(word文档良心出品)
数值分析考试题 填空题（每小题3分，共15分） 已知X=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对 误差界_________________ . 设x和y的相对误差均为0.001，贝U xy的相对误差约为 若f(X)=5x4 + x2 _3,X i = i,则A4 f (x i)= a=[10,3,4,6];t=1/( x-1); n=le ngth( a) y = a n?; for k n1 : -1 : 1 y = t* yak; end 3 2 二、（10 分）设f（X）=（x -a）。 （15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中 A = （1）用X1,X2,X3,X4构造三次Newton插值多项式N3（X）,并计算x = 1.5的近似值N3（1.5）。 （2）用事后误差估计方法估计N3（1.5）的误差。 五、（15分） （1）设｛?o（x）,%（x）,d2（x）｝是定义于［-1,1］上关于权函数P（x） = x2的首项系数为1的正交 1. 2. 已知矩阵A =『2｝，则A的奇异值为 L2 1」 4. 5. F面Matlab程序所描述的数学表达式为 3. (1) 写出解f （X）= 0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。 (1) (2) 用Householder方法求矩阵 用此正交分解求矛盾方程组 A的正交分解，即， Ax=b的最小二乘解。 A=QR。 四、（15分）给出数据点：0二12 3 4 9 6 12 15
（2）利用正交多项式组｛%（X ）,?1（X ）,?2（X ）｝，求f （X ）= X 在［-」,」］上的二次最佳平方逼近多 项式。 多项式组，若已知Wo （x ） = 1,?1（X ） = X ，试求出申2（x ）。 六、(15分)设P 1(x)是f (X)的以(^^33 ),(1 +密 为插值节点的一次插值多项式, 3 3 2 试由P 1(x)导出求积分I = f(x)dx 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式 的截断误差。 七、(15分)已知求解线性方程组 Ax=b 的分量迭代格式 (k) + ?( X V c Jk)\ 「0 —送 a ij X j ), i =1,2,111,n dii j 4 又x^Va ，则有W '(X *)—旦(需)”丄二1 ^且H 0，故此迭代格式是线性收敛的。 6 3 6 3 2 (k 卅) x i ( = x i (1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； (2)证明当 A 是严格对角占优阵, =-时此迭代格式收敛 2 数值分析答案 1 、填空题(每小题3分，共15分)1.丄咒10鼻 2 2. S = 3,— =1 3. 0.002 4. 120 5. y=10+^^+— + x-1 (x-1) 6 (X-1)3 二、(10 分)解：(1)因 f(X) =(x 3 - a)2，故 f (x) = 6X 2(X 3 - a)。 由Newton 迭代公式：x k - =x^〔区), k f (Xk)， k =0,1,2,111 ,3 \2 (X k -a) / 曰 \ ck 5, 5 I a 得 xk ^xk —6x 2(x 3- ar6x k 破, k =0,1,2,川 5 (2)上述迭代格式对应的迭代函数为 W(x) = - X + 6 a 伯' 67，于是f) 5 a =—一一 X 6 3 -3
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2 判断无穷积分 1 解 根据不等式|sinu sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin x sin x 从而 (s in (叱)叱)dx 绝对收敛，因而收敛, 1 x x sin x 再根据1〒dx 是条件收敛的， 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x sin x 可知积分 sin( )dx 收 敛，且易知是是条件收敛的。 1 x 2 x 例5339设巳(x) 1 x 2! n x ，X m 是P ?m 1(x) 0的实 根, n! 求证：x m 0，且 lim x m m N ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ； 又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，Rm1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 右)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m 当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x) 0,所以F 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。 sin(Sin x )dx 的收敛性。 x ) ；
四川大学数学分析考研真题
四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、极限（每题7分，共28分） 1. 2)11(lim x x x x e +-+∞→ 2. )11ln(lim 21 n n ne n n +-+∞→ 3. 2 1 )!(lim n n n +∞ → 4. )] 1ln([cos lim 22 2x x x e x x x -+--→ 二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当0≤x 时，2 1)(x x f +=；当0>x 时，x xe x f -=)(.求 dx x f ? -3 1 )2( 2.设 x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f . 3.计算曲面积分dS z y x I S ??++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x R z y x S 4.计算曲线积分dy m e y dx my e y I x AmB x ))('())((-+-= ? ??，其中)(y ?、)('y ?为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点)2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域 面积为定值P （0>P ） 5.计算曲面积分dS z y x I S ?? ++=)cos cos cos (2 22γβα，其中 S 为圆锥面 222z y x =+， h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦. 6.设函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数且满足方程 0)1()21()1(22222=??++???+++-??+y z p p y x z pq q p x z q q 其中x z p ??=，y z q ??=。假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明： 02=???v u w 。 三、（本题10分）设)(x f 在]1,0[上具有连续导数，证明：)1()(lim 1 0f dx x f x n n n =?∞ →
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 2011年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。 证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。 任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ?∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=： 采用反证法。假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=?+?，使得在U 上满足()f x c <，特 别地1 2 ()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=. 评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。 实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。 北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x x x x x x f sin sin 1sin )(22--= ，试求)(sup lim x f x +∞ →和)(inf lim x f x +∞ →. 解:22 sin 1 ()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x -=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222 2 22sin 1sin .sin sin ,sin 11 x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以 令2,2 x k k π π=+ →+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf () sin sin x x x x x x f x f x x x x x →+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以 令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到 2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续. 证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微 12,(,), x x a b ?∈对于由 , Lagrange 中值定理存在 1 2 1 2 12 1 (,) ,( )()( x x f x f x f x ξξ'∈-=- ≤-使得. 这 显 然 就 是 12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的 1 2()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上 连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续. 显然此 1 212 1 ()( 1) (0,1) . 2(1 ) f x x f x x -'=-=-在上是可微的而1 2 1()(0,1).2(1) f x x -'= -在上是无界的 北京大学数学科学学院考研参考书目汇总 考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。2011年北京大学数学分析试题解答
北京大学数学分析答案
北京大学数学科学学院考研参考书目汇总