刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，
式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理
一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量X量描述。惯量X量是二阶对称X量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：
先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）
把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)
得到E=(1/2)m(wr)^2
由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,
K=mr^2
得到E=(1/2)Kw^2
K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。
为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？
1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量
2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。
3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质
心运动情况。
4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积
分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 （这里的K和上楼的J一样）
所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。
若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV
其中dV表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。
补充转动惯量的计算公式
转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。
对于杆：
当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对与圆柱体：
当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2
其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
转动惯量定理：M=Jβ
其中M 是扭转力矩 J 是转动惯量 β是角加速度 例题：
现在已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？ 分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m ，由公式ρ=m/v 可以推出m=ρv=ρπr^2L. 根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=500转/分/0.1s 电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr^2/2。 所以M=J β =mr^2/2△ω/△t =ρπr^2hr^2/2△ω/△t
=7.8*10^3 *3.14* 0.04^2 * 0.5 * 0.04^2 /2 * 500/60/0.1 =1.2786133332821888kg/m^2 单位J=kgm^2/s^2=N*m
刚体对轴转动惯量的计算
一、转动惯量及回转半径
在第一节中已经知道，刚体对某轴z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到z 轴距离平方的乘积的总和，即
∑=2
i i z r m J 。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成
?=M
z dm
r J 2（18-11）
由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，而与刚体的运动状态无关，它永远是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些，就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些，使得大部分质量集中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反，某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵敏度，要求零件的转动惯量尽量小一些，设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外，还要尽量将材料多靠近转轴。
工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积
2z z M J ρ=（18-12）
z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径（或惯性半径），它的意义是，设想刚体的质量集中在与z
轴相距为z ρ的点上，则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。 具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。
二、简单形状物体转动惯量的计算
1. 均质细直杆
如图18-7所示，设杆长为l ，质量为M 。取杆上微段dx ，其质量为
dx l M dm =
，则此
图18-7
杆对z c 轴的转动惯量为
220
2
20
2
12122Ml dx l M x dm x J l l
z c ===??
对应的回转半径
l
l M
J c z z 289.03
2==
=
ρ
2. 均质细圆环
如图18-8所示均质细圆环半径为R ，质量为M 。任取圆环上一微段，其质量为dm ，则对z 轴的转动惯量为
2
2MR dm R J M
z ==?
图18-8
对应的回转半径
R
M
J c z z ==
ρ
3. 均质薄圆盘
如图18-9所示均质圆盘半径为R ，质量为M 。在圆盘上取半径为r 的圆环，则此圆环
的质量为
rdr R M
rdr R M dm 2
222=?=
ππ，则
图18-9
对z 轴的转动惯量为
2
322212MR
dr r R M dm r J R
M
z ===?
?
对应的回转半径
R
R M
J c z z 707.02
≈=
=
ρ
常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的转动惯量及回转半径可由表18-1或机械设
计手册中查得。
形体
转动惯量
回转半径
12
12===y z x J ml J J
6
3===y z x l ρρρ
2
22
1mr J mr J J z y x ===
r
r z y x ===ρρρ2
2
222
14
1mr J mr J J z y x =
==
r r z y x 2
22
1=
==ρρρ
)
b a (m J ma J mb J z y x 222
241
4141+===
22
121
2
2b a a
b
z y x +=
==ρρρ
2
52mr J J J z y x =
==
r z
y x 5
10===ρρρ
2
2
2213121mr
J )
l r (m J J z y x =+== r
l r z y
x 22
6)
3(322=+==ρρρ
三、平行移轴定理
机械设计手册给出的一般都是物体对于通过质心的轴（简称质心轴）的转动惯量，而有时需要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。平行移轴定理阐明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量之间的关系。
设刚体的质心为C ，刚体对过质心的轴z ’的转动惯量为z J '，对与z ’轴平行的另外一轴z 的转动惯量为z J ，两轴间的距离为d ，如图18-10所示。分别以C 、O 两点为原点建立直角
图18-10
坐标系Cx ’y ’z ’和Oxyz ，由图可见
∑∑+==)
''('222'i i i i i z y x m r m J
∑
∑+
=
=)
(2
2
2
i
i
i
i
i
z
y
x
m
r
m
J
其中
d
y
y
x
x
i
i
i
i
+
=
='
',
代入得
∑
∑
∑
∑
∑
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
m
d
y
m
d
y
x
m
d
dy
y
x
m
d
y
x
m
J
2
'
2
2
2
'
2
2
2
2
2
)
'
'(
)
2
'
'(
]
)
'
(
'[
因质心C是坐标系Cx’y’z’的坐标原点，故
'=
∑i i y m，又m
m
i
=
∑，所以上式简化为
2
'
md
J
J
z
z
+
=（18-13）
上式表明：物体对于任一轴z的转动惯量，等于物体对平行于z轴的质心轴的转动惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。这就是转动惯量的平行移轴定理。
由公式（18-13）可知，在一组平行轴中，物体对于质心轴的转动惯量为最小。
例18-3 钟摆简化力学模型如图18-11所示，已知均质杆质量m1、杆长l，圆盘质量m2、半径R，求钟摆对水平轴O的转动惯量。
图18-11
解摆对水平轴O的转动惯量等于杆1和圆盘2对轴O的转动惯量之和，即
O
O
O
J
J
J
2
1
+
=
由转动惯量平行移轴定理得
2
1
2
1
2
1
2
1
1
13
1
4
1
12
1
)
2
(l
m
l
m
l
m
l
m
J
J
C
O
=
+
=
+
=
)
2
2
3
(
)
(
2
1
)
(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
l
Rl
R
m
R
l
m
R
m
R
l
m
J
J
C
O
+
+
=
+
+
=
+
+
=
所以
)
2
2
3
(
3
1
2
2
2
2
1
l
Rl
R
m
l
m
J
O
+
+
+
=
例18-4 如图18-12所示均质等厚度板，单位面积的质量为ρ，大圆半径为R，挖去的小圆半径为r，两圆心的距离OO1=a。试求板对通过O点并垂直于板平面的轴的转动惯量。
图18-12
解根据转动惯量的定义，板对O 轴的转动惯量等于（没有挖去小圆时）整个大圆对轴O 的转动惯量
O
J 大圆与小圆对轴O 的转动惯量
O J 小圆之差，即
O
O O J J J 小圆大圆-=
其中
4221
21R mR J O ρπ==
大圆，由转动惯量平行移轴定理得
)2(2
12
1222
2222
221a r r a r r r a r J J O O +=
?+?=
?+=ρπρπρπρπ小圆小圆
于是
)]
2([2
)2(2
1
21222422240a r r R a r r R J +-=
+-=πρ
ρπρπ