立体几何多面体与外接球问题专项归纳 -

立体几何多面体与外接球问题专项归纳

1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是()

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()

A.3π

B.4π

C.33π

D.6π

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()

A.3π

B.4π

C.33π

D.6π

1、答案:C

解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径

R 所以球的表面积是S =4πR 2=24π. 2、答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱

长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R

所以S 球=4πR 2=3π.

3、解

将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ,球的半径为R ,则根据长方体的对角线性质,得(2R )2=a 2+a 2+(2a )2,即4R 2=6a 2.

所以R .

从而V 半球=2π3R 3=32π3?????3, V 正方体=a 3.

因此V 半球∶V 正方体3∶a 3∶2. 4

答案:A

解析:以P A ,PB ,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P -ABC 的外接球,所以

球的半径R =2,所以球的表面积是S =4πR 2=16π.