《计算理论》复习题总结
《计算理论》复习题总结
1、自动机、可计算性、复杂性内涵及关系；
计算理论的三个传统的核心领域：自动机、可计算性和复杂性。通过“计算机的基本能力和局限性是什么？“这一问题将这三个领域联系在一起。可计算理论与复杂性理论是密切相关的，在复杂性理论中，目标是把问题分成容易计算的和难计算的；而在可计算理论中，是把问题分成可解的和不可解。自动机阐述了计算的数学模型的定义和性质，主要包含两种模型：有穷自动机模型；上下文无关文法模型。可计算性理论和复杂性理论需要对计算机给了一个准确的定义。自动机理论允许在介绍与计算机科学的其他非理论领域有关的概念时使用计算的形式化定义。
2、有穷自动机、正则语言、正则表达式、非确定有穷自
动机、非正则语言；
有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。是一个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是一个有穷集合，称为状态集。2）∑是一个有穷集合，称为字母表。3）δ：Q×∑→Q是转移函数。4）q0∈Q是起始状态。5）F?Q是接受状态集。
正则语言：如果一个语言能被有穷自动机识别。
正则表达式：用正则运算符构造描述语言的表达式。称R是正则表达式，如果R是：1）a，a是字母表中的一个元素；2）ε；3）?;4）（R1?R2）；5）(R1 R2)；6）(R1*)
非确定有穷自动机：是一个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是有穷状态集。2）∑是有穷字母表。3）δ：Q×∑ε→P（Q）是转移函数。4）q0∈Q是起始状态。5）F?Q是接受状态集。
3、上下文无关语言及上下文无关文法、歧义性、乔姆
斯基范式、下推自动机、等价性、非上下文无关语言；
上下文无关语言：用上下文无关文法生成的语言。
上下文无关文法：是一个4元组（V，∑，R，S）且1）V是一个有穷集合，称为变元集2）∑是一个与V不相交的有穷集合，称为终结符集3）R是一个有穷规则集，每条规则由一个变元和一个由变元及终结符组成的字符串构成，4）S∈V是起始变元
歧义性：如果字符串W在上下文无关文法G中有两个或者两上以上不同的最左派生，则称G歧义地产生的字符串W。如果文法G歧义的产生某个字符串则称G是歧义的。
乔姆斯基范式：一个上下文无关文法如果它的每一个规则具有如下形式A→BC A→a其中a为任意终结符，ABC为任意变元且BC不是起始变元，此外允许规则S→ε其中S是起始变元。
下推自动机：是6元组Q，∑，Γ，δ，q0,F），这里Q，∑，Γ，F都是有穷集合，并且1）Q是状态集 2）∑是字母表 3）Γ是栈字母表 4）δ： Q×∑ε×Γε→P（Q×Γε）是转移函数学 5）q0∈Q是起始状态。6）F?Q是接受状态集。
4、各种等价性；
每一台非确定型有穷自动机等价于一台确定的有穷自动机；一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述；一个语言是上下文无关的则存在一台下推自动机识别它。
5、计算科学；能性问题；Church-Turing论题；计算；
可计算；
计算科学：系统的研究信息描述和变换的算法，包括其理论、分析、设计、效率、实现和应用。用计算科学涵盖并称谓计算机科学和计算机工程。计算机科学所研究问题的核心是能行问题。能行问题：什么能被（有效的）自动化？什么不能被（有效）的自动化？
Church－Turing论题：可计算性等价于Turing机可计算性。
计算：Truing机所进行的工作就是计算。
可计算：Turing机能够进行的工作就叫可计算。
6、几个计算模型；各种计算模型的特点；图灵机的特点；
计算模型：1、递归函数。G?del，Church，等人提出并完善了递归函数理论。从数学演算的思想出发，考虑从简单的、直观上可计算的函数出发构复杂的可计算函数。2、Turing机（理论模型）：Turing研究的Turing机计算模型与现代计算机更接近，在Turing机的基础上引进了大量的自动机。 3、Church－λ演算：用来描述计算过程，基本思想主要用于函数式程序语言的研制。4、Post系统（符号变换系统）：Post系统的基础上引进了大量的形式语言。
Turing机的特点：存储无穷，时间无限制。Turing机可计算只是理论上可计算，并不是现实可计算。现实可计算：研究计算复杂性。但如果Turing机不可计算则现实更不可计算。
7、原语言，指令系统，输入输出规定；
原语言：变元、标号（语句标号）、指令：X＝X＋1；X＝X－1；To A IF X≠0；To A；Y＝X输入变元用x表示 x，x1，x2，x3，……输出变元用y表示，函数只输出一个值。
对程序做如下两点规定：1、当程序开始执行时自动认为一切变元的值为0 （输入变元除外）2、当程序出现下列两种情形之一时，自动认为停机。a、转向无定义的标号b、执行程序的最后一条指令。
8、n元程序对应的n元函数的定义；
若程序P恰有n个输入变元X1，X2，……，Xn，而没有其它X变元，则称P为n元程序。
n 元程序P 对应的函数Ψp （X1，X2，……，Xn ）定义如下：
Ψp （a1，a2，……，an ）=
9、 部分可计算，全函数，可计算函数；
答：函数f （X1，X2，……，Xn ）被称为部分可计算的，若有一程序P 使得Ψp （X1，X2，……，Xn ）＝f （X1，X2，……，Xn ），“＝”表示：或者两边都无定义，或者两边都有定义并且其值相同。
函数f （X1，X2，……，Xn ）被称为全函数，若它对一切X1，X2，……，Xn 的值都有定义。
函数f （X1，X2，……，Xn ）被称为可计算函数，若它是部分可计算的且是全函数。
10、 复合、递归、取极小，正则；初始函数，原始递
归函数
答：复合：设有函数Y=f （Z1，Z2……，Zm ） 和函数Z1=g1（X1，……，Xn ）……Zm ＝gm （X1，……，Xn ）
则n 元函数Y ＝h （X1，……，Xn ）
＝f （g1（X1，……，Xn ），……，gm （X1，……，Xn ））
被称为函数f 和g1，g2，……，g m 的复合函数。
递归：设m （X1，X2，……，Xn ）和φ（X1，X2，……，Xn ，Xn+1，Xn+2）是全函数，定义
h （X1，X2，……，Xn ，o ）＝m （X1，……，Xn ）
h （X1，X2，……，Xn ，t ＋1）＝φ（X1，……，Xn ，h （X1，……，Xn ，t ），t ）称h 是递归算子作用于函数m 和φ得到的n+1元递归函数，且是全函数。
取极小：设f （X1，X2，……，Xn ，Z ）为全函数，定义h （X1，……，Xn ）＝min{Z |f （X1，……，Xn ，Z ）＝0 }称h 是取极小算子作用n+1元函数 f 得到的n 元 取极小值函数。
正则函数：函数f （X1，……，Xn ，Xn+1）被称为正则的，若对任何一组X1，X2，……，Xn 都有Z 使得：f （X1，……，Xn ，Z ）＝0 故，对正则函数取极小算子的结果得到一全函数。
初始函数：S （X ）＝X ＋1（后继函数）n （X ）＝0（零函数）
∪i n
(X1,…, Xn)= Xi （1≤i≤n）投影函数
由初始函数S （X ），n （X ），∪i n (X1,…, Xn)= Xi （1≤i≤n）出发，只用复合和递归算子得到的函数称为原始递归函数。
由初始函数S （X ），n （X ），∪i n (X1,…, Xn)= Xi （1≤i≤n）出发，用复合，递归和取极小算子得到的函数称为部分递归函数。 由初始函数S （X ），n （X ），∪i n (X1,…, Xn)= Xi （1≤i≤n）出发，用复合，递归和对正则函数取极小算子得到的函数称为递归函数。 11、 谓词P 的特征函数，集合S 的特征函数；
答：设P （X ,…,Xn ）是n 元谓词，定义函数 ??
?为真时
当～为真时当）＝（P 1P 0
Xn ,...,X1δ 称δ为谓词P 的特征函数。
设S 是集合，则定义函数: ??
??∈时
）当（时）当（）＝（S S Xn ,...,X11Xn ,...,X10Xn ,...,X1δ 称δ为集合S 的特征函数。 12、 原始递归谓词、原始递归集合；可计算谓词、可
计算集合；
答：谓词P （集合S ）是原始递归的，如其特征函数是原始递归的。
谓词P （集合S ）是可计算的，如其特征函数是可计算的。
13、 三个定理：若P ，Q 原始递归，则～P ，P ∧Q ，P
∨Q 均原始递归；
定理1：P （X 1,…,Xn ）原始递归的?～P （X 1,…Xn ）原始递归的。
证明：设δ和δ’分别为P 和～P 的特征函数
只需证明： δ原始递归 ?δ’原始递归
由δ及δ’的定义知 δ’（X 1,…,X n ）＝α(δ（X 1,…,X n )）
δ（X 1,…,X n ）＝α(δ’（X 1,…,X n )）故得证。
定理2：P ，Q 原始递归，则P ∧Q 也是原始递归的。
证明：设δ1，δ2，δ3分别是P ，Q ，P ∧Q 的特征函数则有
δ3(Z1，…，Zk)＝α(α(δ1(X1，…，Xn ）+δ2(Y1,…,Ym)))
故δ3是原始递归函数。故得证。
定理3：P ，Q 原始递归，则P ∨Q 也是原始递归的。
证明：设δ1，δ2，δ3分别是P ，Q ，P ∨Q 的特征函数则
δ3（Z1，…，Zk ）＝δ1(X1,…,Xn)·δ2(Y1,…,Ym ）故得证。
定理4：设P 是原始递归谓词，g 、h 是原始递归函数，
则如下定义的函数f 是原始递归的
?????????为真当～），，
（为真当），，（）＝，，（P Xn X1h P Xn X1g Xn X1f 证明：设δ是P 的特征函数，f ＝g ·α（δ）＋h ·δ故得证。
定理5：P （Y ，X 1，……，X n ）是原始递归谓词，则
Y t ≤?)(P （t ，X 1，……，X n ）是原始递归谓词。
证明：令Q （Y ，X 1，……，X n ）＝Y t ≤?)(P （t ，X 1，……，X n ）
要证明Q 是原始递归谓词。令δ是P 的特征函数，并令
∏=Y
t 0Xn ,...,X1,t Xn X1,...,,Y ）（）＝（’δδ
故δ'是原始递归函数。
下面证明δ'是Q 的特征函数:
如存在一个0≤ t 0 ≤Y 使 P （t 0,X 1,…,X n ）为真，则
δ（t 0,X 1,…,X n ）＝0，故δ'（Y,X 1,…,X n ）＝0
即当Q （Y,X 1,…,X n ）为真时δ'为0;
如对 所有0≤ t ≤Y 有P （t ，X 1，……，X n ）为假，
则对 所有0≤ t ≤Y 都有δ（t,X 1,…,X n ）＝1
故δ’ （Y,X 1,…,X n ）＝1
即当Q 为假时，δ’ （Y,X 1,…,X n ）＝1
故δ’是Q 的特征函数，Q 是原始递归谓词。 证毕。
定理6 ：若P （t ，X 1，……，X n ）是原始递归的，
则Y t ≤?)(P （t ，X 1，……，X n ）是原始递归的。
证明：令δ和δ’分别是P 和Y t ≤?)(P 的特征函数
)Xn X1t Xn X1Y Y
0t ）），，，（（（）＝，，，（’＝∑????δααδ定理7：设S 和R 是原始递归集合，则R ，S ∩R ，S ∪R 是原始递归
集合。（R 是R 的余集）
证明：令δ1，δ2分别是S 和R 的特征函数，δ3是R 的特征函数 则δ3＝α（δ2） 故R 是原始递归集合。令δ4是S ∩R 的特征函数，则δ4＝α（α（δ1＋δ2））故S ∩R 是原始递归集合。
令δ5是S ∪R 的特征函数，则 （Φ代表空元素）
δ5（X 1，……，X n ）＝δ1（X 1，……，X n ）·δ2（X 1，……，X n ）·
（δ1（X i1，…，X im1，Φ，…，Φ）___用Φ凑满n 项＋δ2（X j1，……，X jm2，Φ，……，Φ）
）因对X 1，……，X n ∈R ∪S 可能有如下三种情况：1）X 1，……，X n ∈R 2）X 1，……，X n ∈S
3）X i1，……，X im1∈R X j1，……，X jm2∈S 故得证。
14、 复合后仍然是原始递归谓词；
定理8：设P （z1,z2,…,zn ）是原始递归谓词，h 1，……，h n 是n
个k 元原始递归函数，（n ≥1，k ＞0）则P （h 1（X 1，……，X k ），……，
h n （X 1，……，X k ））也是原始递归的。
证明：令δ’为复合谓词的特征函数，δ为P 的特征函数，则有 δ’（X 1，X 2，……，X k ）
＝δ（h 1（X 1，……，X k ），……，h n （X 1，……，X k ））
δ，h 1，……，h n 均为原始递归函数。故δ’亦是。 证毕。
15、 f ，g 是原始递归函数，f ＝g 是原始递归谓词；
定理9：f ，g 是原始递归函数，f ＝g 是原始递归谓词。
证明：知X ＝Y 是原始递归谓词，由定理8知f ＝g 是原始递归谓词。
16、 受囿取极小，由谓词到函数的转换。给出了构造
递归函数的又一种方式；
受囿取极小值
设P （t ，X 1，……，X n ）为谓词，定义函数：
???????∧≤??≤否则
），，，（）＝，，，（0}
Xn X1t P Y t |min{t Xn X1t P min Y t 17、 若P 是原始递归谓词，则其受囿取极小函数是原
始递归函数；
定理10：若P （t ，X 1，……，X n ）是原始递归谓词，则
）
，，，（）＝，，，（Xn X1t P Xn X1Y f min Y t ????≤是原始递归函数。
证明：用X 表示X 1，……，X n ，设：
True t P False X 1P )X 1P X 0P 00t ，（，
）＝，－（＝，（）＝，（??=即t 0是第一个使P （t ，）取真值的t 值。
设δ是P （t ，）的特征函数。 考虑函数：∏=U t 0X t ），（δ , 不难验证：
???≥<∏=时当个时当＝），（0000t U 0)
1t ( t U 1
X t U t δ 亦不难验证：)1t (t X t 0Y 0U 0
0个）＝，（＝∑∏=U t δ
而t 0是使P （t ，）为真时最小的t 值，故有
????
????????∑∏=≤否则
）为真
，（）当（），（）＝，，，（＝0X t P t X t Xn X1Y f Y 0U 0
Y U
t δ
因Y t ≤?)(P(t,X )是原始递归（P 是原始递归）。
令’δ是其特征函数，则有：∑∏·f ）’（＝δα
18、 第i 个素数、G?del 数、配对函数；
Pi 是P （i ）的简写（P 不是前驱函数）
Pi 的值是第i 个素数的值。（约定 P0＝0是第0个素数；P1＝2是第1个素数；P2＝3是第2个素数；P3＝5是第3个素数）
???????>∧≤））
（）（＝＝）
！＋（＋Pi t t Prim (P 0P m in 1P i t 1i 0
证明：必须证明在P i ＜t ≤P i ！＋1中有素数即P i+1 ≤ P i ！＋1
若P i ！＋1是素数，则自然有P i+1≤P i ！＋1，证毕。
现假设P i ！＋1不是素数，则它一定有素数因子：
1）此因子不会是0，因0不是任何数的因子
2）P 1，P 2，……，P i 也不可能是因子因P i ！＋1＝1·2·3·4·……·P i ＋1故用P 1，P 2，……，P i 去除均应余1。
所以，P i ！＋1的素数因子大于P i ，小于等于P i ！＋1，证毕。
哥德尔数
【a1,…,an 】表示
即【a1,…,an 】＝ 任取正整数X 都有其对应的一组哥德尔数
< X ，Y > ―――求Cantor 对角线上元素的序号
19、 递归函数是可计算的；部分递归函数是部分
可计算的。
定理11．每个递归函数是可计算的
定理12．每个部分递归函数是部分可计算的。
证明上述二定理需从以下三个方面证明：
A ．每个初始函数是可计算的。
B ．复合，递归和正则函数的取极小运算保持可计算性。
C ．可计算函数取极小算子，结果为一部分可计算函数。
具体证明由以下6个引理组成：
引理1．初始函数S （X ），n （X ），n i 1n
i Xn X1U ≤≤??），，（是可计算的。
引理2．复合保持（部分）可计算性。
引理3．可计算函数经取极小算子后，得一部分可计算函数。
引理4．正则函数取极小算子，保持可计算性。
引理5．可计算函数用递归算子作用后，仍保持可计算性。
引理6．多元函数用递归算子作用后仍保持可计算性。
20、 Post_ Turing 机：数据、符号、指令、带上数
的表示、输入输出；P －T （部分）可计算；
Post —Turing 程序
1）数据——存于带上，带有一个指针，两端无穷长，永远有空白位，无穷多个格，每个格可写一个字符。
2）符号——B 1 B 代表空白符。
3）指令——6条。
① RIGHT 指针右移一格
② LEFT 指针左移一格
③ WRITE 1 将指针所指的带上的当前格改写为1
④ WRITE B 将指针所指的带上的当前格改写为B
an
n
a221a 1P ··P · P ??∏=n
i 1
ai
i
P
⑤ TO A IF 1 若当前格为1，则转到以A为标号的指令
⑥ TO A IF B 若当前格为B, 则转到以A为标号的指令
4）带上数—若N 为一个数，则在带上把它表示成N +1个1。
用X表示X的带上表示。
输入：若用一个 P—T程序计算出数f(X1,…,Xn)，则输入Xi的值
按下述方法写在带上
11 ...11 B 11 ... 11B...B 11 (11)
X1+1 X2+1 X n+1
输出：计算的结果是程序结果的带上1的个数减1如：
11BB11BBB111 结果是6
定义1.称函数f是P—T部分可计算的，有一个P—T程序计算它。
定义2.称函数f为P—T可计算的，如果它是P—T部分可计算的并且是全函数。
21、广义Post_ Turing机：字母表、指令；其它同
Post_ Turing机；
字母表：S0,S1,S2,…,Sk.（每个表示一个符号）
约定 S0=B, S1=1
指令：RIGHT
LEFT
WRITE Si (i=0,1,2,…,k)
TO A IF Si (i=0,1,2,…,k)
22、每个（部分）可计算函数是P－T（部分）可计
算函数；P—T（部分）可计算函数是广义P—T（部分）可计算函数；广义P—T（部分）可计算函数是（部分）可计算函数；
定理1.每个（部分）可计算函数是P—T（部分）可计算函数
证明：任何一个（部分）可计算函数的程序P均可模拟为等价的P—T程序。（如前面的原语言程序）
一般程序的操作对象是变元，而P—T程序操作对象是带
定理2P—T（部分）可计算的函数是广义P—T（部分）可计算函数
定理3广义P—T（部分）可计算函数是（部分）可计算的。
23、Turing机：带、读写头、控制器、程序；四元
组和五元组；停机规定；Turing机是什么？
Turing 机：
三部分：一条带，一个读写头一个控制器（控制器内存有程序）
一个字母表Σ={S0, S1, S2, …, Sk}
一个状态集 Q={q1, q2, …, qn}
1．带和读写头（指针）：
带是无穷长的，两端伸向无穷，带上划成格子，每个格子中可写一个符号。符号均属于字母表：Σ={S0, S1, S2, …, Sk}
读写头对准一个格子，它可以读写带上的符号，可以擦去或改写，读写头可以向左移动一格，向右移动一格，或保持不动；左，右移或不动分别记为l, r, h。
2．控制器：
控制器在每个时刻处于一定的状态，称为机器的内部状态。
状态集 Q={q1,q2,…,qn}，状态集中有一个特殊状态称初始状态。
3．程序：
控制器内存有一个程序，程序指令用四元组或五元组表示。
四元组有三类指令：
(每个四元组完成一个基本动作并转入下一个状态)
1. qi SjSk ql：当前状态是qi，读写头对准Sj，把Sk写在当前格内，并转入状态ql；
2. qi SjLql ：当前状态是qi，若当前格为Sj，左移指针一格，并转入状态ql；
3. qi SjRql ：当前状态是qi，若当前格为Sj，左移指针一格，并转入状态ql；
五元组指令形式：qi aj a′v q′
其中aj, a′∈Σ，qi, q′∈Q, v∈{l, r, h]
此指令含义：当机器内部状态为qi时，若读写头读进的符号
是aj，则做如下动作：
1．读写头把带上当前格的符号改写为a′；
2．根据v的值不读写头左、右移或不动；
3．机器内部状态改为q′。
Turing机是四(五)元组的有穷集，其中没有两个四(五)元组的头两个字符qi sj(或qiaj)是相同的。
Turing机停机规定：（有其它规定，例如规定终止状态）
如果当前状态qi和当前字符sj (aj)的对偶qisj (qiaj)不出现于Turing机的任何四(五)元组中，则Turing机停机。
24、Turing（部分）可计算；P—T可计算＝Turing
可计算；四元组Turing机可计算＝五元组；Turing机可计算；五元组Turing机可计算＝P—T可计算；
函数f（x1,…xn）是Turing部分可计算的。若有一个Turing机计算它（而不是程序）。
函数f（x1,…xn）是Turing 可计算的。若它是Turing部分可计算的，且是全函数。
定理4 每个P—T（部分）可计算函数都被具有相同字母表的Turing机所计算。
证明：因Turing机的初始数据和结果数据在带上的表示形式与Post_Turing机完全相同。故只要把P—T程序的每条语句模拟为P—T机的四元组形式即可。
定理5 四元组Turing机和五元组Turing机可彼此模拟。
证明：四元组到五元组转换：
qi sj sk ql qi sj sk h ql
qi sj R(L) ql qi sj sj r(l) ql
五元组到四元组转换：
qi sj sk h ql qi sj sk ql
qi sj sk l(r)ql qi sj sk ql
ql sk L(R) ql
定理6 五元组Turing机可被具有相同字母表的P-T程序模拟。
证明：设Turing机的状态为：
q1,q2,…,qn.
使每个状态对应一个P—T程序的标号，记为
A1, A2, A3, …, An.
再令每个对偶qi sj对应标号Bij。则
在标号
Ai TO Bi0 IF S0
……
TO Bik IF Sk
qi sj sk R(L) ql Bij WRITE Sk
RIGHT(LEFT)
TO Al
qi sj sk h ql Bij WRITE Sk
TO Al
若无qi sj为头的五元组则Bij TO E
A1 TO B10 IF S0…
TO B1k IF Sk…
An TO Bn0 IF S0…
TO Bnk IF Sk
B10 ………
Bnk ………
由上述证明有下列结论
25、P—T程序的数字编码（利用配对函数、
G?del数）；
Post-Turing程序的数字编号
P—T程序是二符号字母表Σ={1,B}上的程序。
数字编码的构造方法：
设P—T程序P的指令序列为：R1, R2, …, Rn
令指令Ri的编码为ri，则程序P的编码定义为（r1,…,rn）的哥德尔数：[r1,r2,…,rn]=2r1·3r2·5r3·…Pn rn。
而指令亦可带标号，若带标号则一指令可用对偶如（Ai, βi）表示，其中Ai为标号，βi为指令（无标号语句）。则取Ai的编码为i，若βi前无标号，视为（A0, βi）故（Ai，βi）的编码=
无标号指令βi的编码如下：
RIGHT 1
LEFT 2
WRITE 1 3
WRITE B 4
TO Ai IF 1 2i+4
TO Ai IF B 2i+3
如给出下面程序：
[7,20,44,13,2,9]=27·320·544·713·112·139
26、 任给的P —T 程序则一定对应一个唯一的G?del
数，反之那？
定义 由P —T 程序编码得到的数称为P —T 程序的哥德尔数
问题：任意给定P —T 程序，则一定对应一个唯一的哥德尔数。
反之，任意给定一个整数是否都有相应的P —T 程序与之对应呢？答案是否定的
设n 为一个P —T 程序的哥德尔数，则n 的素数分解中的指数是配对函数
27、 通用程序的思想；枚举定理，计步谓词，计步定
理，迭代定理；
通用程序思想：若z 是一个代表某P —T 程序的哥德尔数。通用程序的功能就是将整数z 所代表的P —T 程序的功能，用原语言编写的程序实现，且对同一个输入x ，其计算结果与z 所代表的P —T 程序一致。即把一个数转换成一个程序执行。
定义：若z 是某P —T 程序P 的哥德尔数，并且程序P 计算部分函数g （X 1，……，X n ）则定义n+1元函数：
)X ,...,X ,X ,Z (n 21)n (Φ= g （X 1，……，X n ）若Z 不是任何P-T 程序的哥德尔数或g 对给定的时，)X ,...,X ,X ,Z (n 21)n (Φ对Z ，X 1，……，X n 无定义
枚举定理:对每个n ，部分函数
)X ,...,X ,X ,Z (n 21)n (Φ是部分可计算函数。 计步谓词）
（n STP 定义如下：
）（n STP ),,...,,,(21M X X X Z n ?PROG （Z ）并且编码为Z 的P —T 程序对于输入n X X ,...,1在≤M 步内停机。（这里的一步是P —T 程序的一条指令的一次执行）
计步定理：对任意n ，谓词）（n STP ),,...,,,(21M X X X Z n 是可计算的。
证明：（函数值：若）（n STP 为真 Y=0，为假 Y=1（对于其特征函数））
①检查Z 是否某P —T 程序的哥德尔数，若不是Y=1
②模拟初始带
③建立一个步计数器j ，每执行一条指令j+1。若j>M 。Y=1。
若M 步内停止，Y 自动取0，Y=0。
程序如下： （主要利用通用程序）
TO G IF PROG （Z ）
X=）（n STP
),...,,(21n X X X
J=0
V=1
I=1
A J=J+1
TO G IF J>M TO E IF (I=0)∨(I>LT(Z))
TO R IF 1
))((=I Z r
… …
S V=V+1
TO D
G Y=1 得证。 迭代定理：对一切n ，有原始递归函数),...,,,(21)(n n X X X Z S 使
《作物栽培学》作业试题及答案
单项选择题 1、作物产量中常说的经济系数是指 1.生物产量与经济产量之比 2.经济产量与生物产量之比 3.生物产量与经济产量的百分比 4.经济产量与生物产量的百分比 2、作物品质的评价指标中，下述属于形态指标的是 1.蛋白质 2.氨基酸 3.脂肪 4.颜色 3、作物生长的“营养三要素”是指 1. C、H、O 2. N、P、K 3. S、N、P 4. N、P、S 4、下列哪种根属于产品器官 1.气生根 2.须根 3.块根
4.不定根 5、下列属于喜钾作物的是 1.水稻 2.玉米 3.马铃薯 4.小麦 多项选择题 6、影响复种的条件包括 1.热量 2.水分 3.地力与肥料 4.劳畜力与机械化等 7、下列哪些作物需经过一定时期的低温诱导才能正常开花结实。 1.大麦 2.小麦 3.黑麦 4.油菜 8、作物的播种方式包括 1.插播
2.条播 3.点播 4.重播 9、下面哪些材料可用于繁殖下一代 1.颖果 2.块茎 3.块根 4.鳞茎 10、按照土壤质地进行分类，一般可以把土壤区分为下列几大类 1.砂土类 2.黑土类 3.壤土类 4.黏土类 11、根据作物对二氧化碳同化途径的特点，下列哪些作物属于C3作物 1.小麦 2.大豆 3.玉米 4.棉花 12、间作与套作不相同点在于 1.共生期长短不一样 2.熟制不一样 3.复种指数不一样
4.前者是成行种植，后者是成带种植 13、关于土壤质地下列表述正确的是 1.沙质土壤结构良好，保水保肥。 2.壤质土耐旱耐涝，适耕期长。 3.黏质土吸附作用强，保肥性好。 4.沙质土壤保水不保肥。 14、下列属于长日照作物的是 1.小麦 2.烟草 3.大麦 4.油菜 15、种子萌发必不可少的因素包括 1.光照 2.温度 3.水分 4.氧气 16、从引种角度看，短日照作物由北方向南方引种，下列表述正确的是 1.生育期缩短 2.生育期延长 3.生育期不变 4.营养生长期缩短 17、按照作物“S”生长进程，下列说法正确的是
2015年河南省航空港区教师招聘考试真题及答案(二)
2015年河南省航空港区教师招聘考试真题及答案(二) 一、简答题(本题共5小题，每小题4分，共20分。) 1.简述科学儿童观的内涵。 2.简述德育的基本原则。 3.简述活动课程的特点。 4.简述贯彻启发性教学原则的基本要求。 5.简述合格教师需要具备的专业能力。 二、案例分析(本题共3小题，第1小题8分，第2小题9分，第3小题8分，共25分。) 1.河南省淮滨县某乡教学点有位刘老师，多年来，他一人承担该教学点四个年级的近30名学生(复式教学班)的教学工作。他既是校长，也是该教学点所有学科的教师;既是炊事员，也是承担护送学生上学，放学路上安全工作的保安。30余年来，不管是风和日丽，还是刮风下雨，无论是狂风呼啸，大雪纷飞，还是冷风凄凄，阴雨绵绵，刘老师坚持用自己家里的小船摆渡学生到淮河南岸去上学。在刘老师的精心培育和照顾下，不少学生考上了大学，走上了各行业的工作岗位。2015年6月，刘老师被推荐参加了感动中原的“河南省道德模范”选拔。他在平凡的岗位上默默奉献感动了许许多多的人。 请运用教师职业道德的相关知识对该案例进行分析。 2.某中学一名物理老师在怀孕期间，所在学校为了照顾她，将其调到政教处工作，这名女教师休完三个月产假来上班，校长找其谈话说：“你现在的工作已安排了人，你看你想做什么工作?”这位教师说：“我想教课。”校长说：“好吧，我们研究研究。” 学校研究的结果是：由于该教师在政教处的工作岗位已安排了人，又因学校不缺物理教师，故无法为其安排工作，学校决定将其解聘，让该教师自己找单位。该教师不得已向教育局提出申诉，经教育局有关部门与学校多次协调后，学校留下了这名教师，工作虽然被安排了，但这名教师觉得已经得罪了学校领导，最终还是离开了这所学校。 请运用相关教育法律知识对该案例进行分析。 3.为了让学生学会学习，某中学的班主任张老师非常重视让学生掌握学习方法，为此，他为本班学生开设了关于学习方法的讲座。从理论上讲授各种学习方法，并对讲座内容进行书面考试。一个学期结束后，该班学生能够背诵出各种学习方法，但是学生们各科成绩并没有提高。 请运用学习心理的相关知识对该案例进行分析。 三、作文(共30分) 材料： 罗杰·罗尔斯是美国纽约州历史上第一位黑人州长，在其走马上任的记者会上，一名记者问他：“是什么把你推上州长宝座的》”罗尔斯对自己的奋斗历史只字未提，而是讲到了他上学时的校长皮尔·保罗。
导数及其应用(知识点总结)
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数
作物栽培学_复习题
《作物栽培学》复习题 一、单项选择题 1.瓦维络夫（1935年）将世界栽培植物的起源中心分为（） A 8个 B 3个 C 13个 D 12个 2.以下为日照长度变长时开花的作物是（） A 水稻 B 玉米 C 大麦 D 烟草 3.薯芋类作物的产品器官是（） A 籽实 B 生殖器官 C 营养器官 D 种子 4.种子萌发过程中，无活力的死种子也能完成的过程是（） A 萌动 B 萌发 C 出苗 D 吸胀 5.干燥环境下形成的绿豆种子，其休眠的原因是（） A 胚的后熟 B 硬实 C 发芽的抑制物质 D 种子小 6.有利于提高作物的根冠比是（） A 土壤水分充足 B 干旱 C 增施氮肥 D 剪根 7．玉米的需水临界期为（） A 拔节至孕穗 B 孕穗至开花 C 开花至乳熟 D 乳熟至完熟 8．以下属喜氮作物的是（） A 棉花 B 大豆 C 小麦 D 油菜 9．油菜的收获指数大致为（） A、0.15 B、0.28 C、0.47 D、0.66 10．间套复种模式小麦/玉米/（甘薯+大豆）表示（）。 A、一年四熟 B、四熟四作 C、三熟四作 D、二年三熟 11.四川等区域稻田的最主要轮作方式是（） A 冬季作物年间轮换，夏季连作水稻 B 夏季水旱轮作 C 冬季作物和夏季作物均轮换 D 冬季和夏季均不轮换 12．作为播种材料的种子，一般发芽率不低于（） A 60% B 70% C 90% D 100% 13.水稻群体叶面积系数在以下哪个生育时期最大（） A 拔节期 B 抽穗期 C 成熟期 D 移栽期
14.属于自花授粉的作物有（） A 水稻 B 玉米 C 棉花 D 高粱 15．以下器官是“库”的为（） A 功能期内的叶 B 开花前作物的茎鞘 C 根系 D 开花后作物的茎鞘 16．作物群体内部，二氧化碳浓度较高的部位为（） A 近地面层 B 中层 C 上层 D 顶层 17．以下属喜磷作物的是（） A 水稻 B 高粱 C 花生 D 烟草 18．薯类作物的收获指数为（） A、0.15 B、0.28 C、0.7-0.85 D、0.9 19.积温为3500－5000℃可（） A 一年一熟 B 一年二熟 C 一年三熟 D 一年四熟 20.以下种植模式属于一年三熟的模式是（） A小麦+蚕豆－玉米B油菜+马铃薯－水稻C小麦/玉米－水稻 D 小麦－玉米玉米 21.能均衡利用土壤营养元素的种植方式是（） A 连作 B 复种连作 C 单作 D 轮作 22.甘蔗适宜收获期在（） A 工艺成熟期 B 生理成熟期 C 叶片成熟期 D 开花期 23．大麦的花序属于（） A 圆锥花序 B 穗状花序 C 总状花序 D 聚伞花序 24．小麦的需水临界期为（） A 拔节至孕穗 B 孕穗至抽穗 C 开花至乳熟 D 乳孰至完熟 25．禾谷类作物稻、麦的收获指数大致为（）左右。 A 0.1 B 0.5 C 0.9 D 0.8 26．千粒重25－30克的农作物为（）。 A 玉米 B 小麦 C 水稻 D 油菜 27．二氧化碳补偿点较低的作物为（）。 A 水稻 B 玉米 C 小麦 D 大麦 28．玉米起源于（）起源中心。 A 印度 B 中亚 C 墨西哥南部和中美洲 D 南美 29．属于异花授粉的作物是（）。 A 白菜型油菜 B 棉花 C 小麦 D 大豆 30．玉米的种植密度一般为（）株/亩。 A 1千左右 B 2万左右 C 1万左右 D 4千左右
河南省教师招聘考试真题大全
河南省教师招聘考试真题汇编（六） (总分100分时间120分钟) 一、单项选择题(在下列每小题列出的四个选项中只有一个是最符合题意的，请将其代码填在括号内。错选、多选或未选均不得分。本大题共15小题，每小题1分，共15分) 1.“传统教育观”的代表人物是( )。(濮阳清丰) A.赫尔巴特 B.康德 C.培根 D.卢梭 2.“诲人不倦”“学而不厌”是教师必备的( )。(濮阳清丰) A.职业道德素养 B.知识素养 C.能力素养 D.人格素养 3.教学过程是一种特殊的认识过程，有间接性、交往性、教育性和( )。(洛阳市直) A.有领导的认识 B.有差异的认识 C.有个性的认识 D.有基本的认识 4.新课程改革的基本理念是( )。(信阳) A.以人为本 B.减轻学生的学习负担 C.提高课堂教学效率 D.培养学生的实践能力 5.教师提高职业道德修养的根本途径是( )。(信阳) A.榜样学习 B.职业实践 C.社会实践 D.理论学习 6.教育者要在儿童发展的关键期，施以相应的教育。这是因为人的发展具有( )。(洛阳) A.不均衡性 B.顺序性和阶段性 C.稳定性和可变性 D.个别差异性 7.( )注重拓展学生的知识与能力、开阔学生的知识视野、发展学生各种不同的特殊能力。(洛阳) A.拓展型课程 B.实践型课程 C.研究型课程 D.工具型课程 8.教师了解学生最简单、最常用的班级管理方法是( )。(洛阳) A.观察法 B.调查法 C.谈话法 D.书面材料分析法 9.“学会如何学习”的实质是( )。(信阳) A.学会在适当条件下使用适当策略 B.掌握科学概念和原理 C.掌握大量言语信息 D.形成学习兴趣 10.身心状态的剧变，内心世界的发现，自我意识的突出，独立精神的加强，是( )所表现出来的总体性的阶段特征。(信阳) A.儿童期 B.少年期 C.青年期 D.更年期 11.《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010～2020年)》提出要把( )作为国家基本教育政策。(信阳)
指数函数知识点总结
指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -.
题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。
作物栽培学试题及答案
作物栽培学试题及答案 一、名词解释（每小题2分，共计14分） 1、温度三基点 2、冻害 3、作物需水临界期 4、复种 5、间作 6、基本耕作 7、杂草 二、单项选择题（每小题1分，共计10分） 1、（）是指作物一生中通过光合作用和吸收作物所生产和累积的各种有机物的总量。 A.生物产量 B.经济产量 C.光合产量 D.净生产量 2、（）是指栽培目的所需要的产品的收获量。 A.生物产量 B.经济产量 C.光合产量 D.净生产量 3、生物产量转化为经济产量的效率称为（）。 A.转化率 B.经济产量 C.经济系数 D.产量构成 4、（）是谷类作物产量成分中的补偿能力最大的成分。 A.单位面积穗数 B.单穗粒数 C.种子千粒重 D.颖花数 5、经济系数最低的作物是（）。 A.水稻 B.马铃薯 C.甜菜 D.大豆 6、谷类作物产量形成的主要特点是产量成分的（）。 A.光合作用 B.补偿能力 C.相互抑制 D.相互促进 7、谷类作物小穗和小花的发育除受遗传影响外，最大影响因素是（）。 A.种植密度 B.水肥供给 C.病虫危害 D.环境条件 8、作物干物质积累量最大的时期是（）。 A. 缓慢增长期 B.指数增长期 C.直线增长期 D.减慢停止期 9、作物干物质积累速度最快的时期是（）。 A. 缓慢增长期 B.指数增长期 C.直线增长期 D.减慢停止期 10、叶面积与植株干重之比称为（）。 A.相对生长率 B.净同化率 C.叶面积比率 D.比叶面积 三、多项选择题（多选、少选、漏选、错选均不给分，每小题1.5分，共计15分） 1、农田生物的生态效应有（）。 A.影响土壤肥力 B.影响农田小气候 C.改良土壤 D.固定流沙 E.保持水土 2、影响植物蒸腾速度的因素有（）。 A.植物的形态结构 B.植物的生理类型 C.温度 D.气流 E.土壤水分的有效性 3、作物通过春化，其低温诱导的时期一般在作物感光前进行，可在（）。 A.处于萌动状态的种子时期 B.苗期 C.花芽分化期 D.开花期 E.授粉期 4、冷害造成作物死亡的原因有（）。 A.细胞间隙结冰 B.水分代谢失调 C.酶促反应平衡被破坏 D.原生质被撕裂 E.物质代谢平衡被打乱 5、土壤污染的类型有（）。 A.固体废弃物污染 B.水污染 C.大气污染 D.生物污染 E.农业污染 6、节水灌溉技术主要有（）。 A.喷灌技术 B.微灌技术 C.膜上灌技术 D.地下灌技术 E.作物调亏灌溉技术
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
作物栽培学试卷A及答案
注：装订线内禁止答题，装订线外禁止有姓名和其他标记。 东北农业大学成人教育学院考试题签 作物栽培学（A） 一、名词解释（每小题4分，共计20分） 1.感光性： 2.离乳期： 3.晒田： 4.无效分蘖： 5.垩白度： 二、单项选择题（每小题2分，共计20分） 1.棉籽合点端的种皮结构，由于不具有（）细胞，在种子萌发时成为水气的主要通道。 A.海绵 B.栅栏 C.砖形 D. 叶肉 2.小麦籽粒在植物学上叫颖果，由胚、（）和胚乳三部分组成。 A.种皮 B.皮层 C.果皮 D.糊粉层 3.棉籽出苗温度比发芽高，温度在（）时，有利于下胚轴的伸长而出苗。 A.12—14℃ B.14—16℃ C.16℃以上 D.5—10℃ 4.小麦籽粒体积在（）达最大值。 A.乳熟期 B.乳熟未期 C.蜡熟期 D.蜡熟未期 5.适宜制作面包类食品的小麦籽粒胚乳一般为（）。 A.粉质 B.角质 C.半粉质 D.半角质 6.马铃薯的收获期在（）。 A. 蜡熟期 B. 膨大期 C. 生理成熟期 D.工艺成熟期 7.甘蔗的收获适期为（）。 A.蔗茎伸长期 B. 蜡熟期 C. 生理成熟期 D. 工艺成熟期 8.玉米籽粒用的最适收获期为（）。 A.蜡熟初期 B. 完熟期 C.灌浆期 D.过熟期 9.水稻种子安全贮藏水分为（）。 A. 18% B. 15% C. 13% D. 5%
注：装订线内禁止答题，装订线外禁止有姓名和其他标记。 10.小麦种子安全贮藏水分为（）。 A. 18% B. 15% C. 13% D. 5% 三、多项选择题（每小题2分，共计10分） 1.禾谷类作物产量构成因素包括哪些（）。 A.穗数 B.分蘖数 C.每穗实粒数 D.有效颖花数 E.粒重。 2.豆类作物的产量构成因素有（）。 A.株数 B.每株有效分枝数 C.每分枝荚数 D.每荚实粒数 E.粒重 3.薯类产量构成因素包括哪些（）。 A.株数 B.每株薯块数 C.单薯重 D.分枝数 E.衣分 4.棉花产量构成因素包括哪些（）。 A.株数 B.每株有效铃数 C.分枝数 D.每铃籽棉重 E.衣分 5.水稻产量构成因素包括哪些（）。 A.穗数 B.分蘖数 C.每穗实粒数 D.有效颖花数 E.粒重 四、正误判断题（每小题1.5分，共计15分） （）1.玉米的最早播种期要求温度稳定通过℃。 （）2.豆科作物接种的根瘤菌属于微生物肥料。 （）3.种肥的作用是供给作物幼苗期作物生长的养分。 （）4.多数作物只有开花期是需水临界期。 （）5.甘蔗的适宜收获期为工艺成熟期。 （）6.马铃薯的适宜收获期为生理成熟期。 （）7.作物生育期间施用的肥料称之为追肥。 （）8.将速效化肥按一定浓度溶解于水中，通过机械喷洒于叶面，养分经叶面吸收施肥方法称谓根外追肥。 （）9.运用植物生长调节剂对植物生长发育进行促进或抑制称为作物化控。 （）10.红麻施肥方法应为:施足基肥,轻施苗肥,重施长杆肥。 五、简答题（每小题8分，共计24分） 1、叙述促花肥、保花肥各自的优缺点及施用技术？ 2、水稻湿润育秧中，为什么强调培育壮秧？壮秧的形态与生理特征有哪些？
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
指数函数知识点汇总
指数函数知识点汇总
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